Đề cương ôn tập môn Toán học kì II lớp 9

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN HỌC KÌ II - NĂM HỌC 2013 - 2014
PHẦN I: LÝ THUYẾT
A. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I/ Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
Dạng tổng quát: (với a, b, c, a’, b’, c’R và a, b; a, b’ không đồng thời bằng 0)
Nghiệm của Hpt (I) là cặp số (x;y) vừa là nghiệm của pt(1), vừa là nghiệm của pt(2).
 Với a, b, c, a’, b’, c’ khác 0, 
 + Hệ có nnghiệm duy nhất ó 
 + Hệ có vô số nghiệm ó 
 + Hệ vô nghiệm ó 
II/ Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
1) Phương pháp thế:
- Bước 1: Rút x theo y (hoặc y theo x) từ một phương trình của hệ rồi thay vào phương trình còn lại.
- Bước 2: Giải phương trình một ẩn x (hoặc y).
- Bước 3: Thay giá trị x (hoặc y) vừa tìm vào phương trình còn lại để suy ra giá trị của ẩn còn lại.
- Bước 4: Kết luận.
2) Phương pháp cộng đại số:
Chú ý: Hệ số của cùng một ẩn bằng thì trừ, đối thì cộng, khác thì nhân.
B. HÀM SỐ y=ax2 (a0)
I/ Tính chất của hàm số y=ax2(a0):
	1/ TXĐ: xR
	2/ Tính chất biến thiên:
	* a>0 thì hàm số y=ax2 đồng biến khi x>0 và nghịch biến khi x<0.
	* a0.
	3/ Tính chất về giá trị:
	* Nếu a>0 thì ymin = 0 x=0	* Nếu a<0 thì ymax = 0 x=0
II/ Đồ thị của hàm số y=ax2(a0):
	1/ Đồ thị của hàm số y=ax2 (a0):
Đỉnh O(0;0); 	- Nhận Oy làm trục đối xứng
Nếu a>0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành Ox; Nếu a<0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành Ox
	2/ Các bước vẽ đồ thị của hàm số y=ax2 (a0):
	- Lập bảng giá trị tương ứng: 
x
x1
x2
0
x4
x5
y=ax2
y1
y2
0
y4
y5
	- Biểu diễn các điểm có tọa độ (x;y) vừa xác định ở trên lên trên mặt phẳng tọa độ.
	- Vẽ (P) đi qua các điểm đó.
III/ Quan hệ giữa (P): y=ax2(a0) và đường thẳng (d): y=mx+n:
	Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của Hpt: 
Phương trình hoành độ giao điểm của (P): y = ax2 và đường thẳng (d): y = mx+n là:
ax2= mx+n ax2- mx-n=0 (*)
 1/(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệtphương trình (*) có hai nghiệm phân biệt>0 (hoặc >0)
 2/(P) tiếp xúc (d) phương trình (*) có nghiệm kép=0 (hoặc=0)
 3/(P) và (d) không có điểm chung phương trình (*) vô nghiệm <0 (hoặc <0)
C. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
I/ Khái niệm phương trình bậc hai một ẩn số (x): là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0 (với a,b,c R và a 0)
II/ Cách giải phương trình bậc hai một ẩn số:
1. Dạng khuyết c (c = 0) – Dạng ax2 + bx = 0 (a 0):
ax2 + bx = 0 x.(ax+b)=0 
2. Dạng khuyết b (b = 0) – Dạng ax2 + c = 0 (a 0):
* Trường hợp ac>0: phương trình vô nghiệm 
* Trường hợp a c<0, ta có: ax2 + c = 0 
3. Dạng đầy đủ – Dạng ax2 + bx + c = 0 (với a, b, c0 :
- Bước 1: Xác định hệ số a,b,c.
- Bước 2: Lập D = b2 - 4ac (hoặc D' = b'2 – ac) rồi so sánh với 0
(Trong trường hợp D>0 (hoặc D'>0) ta tính (hoặc tính )
- Bước 3: Xác định và kết luận nghiệm theo bảng sau:
C«ng thøc nghiÖm tổng quát
C«ng thøc nghiÖm thu gän
D = b2 - 4ac
-NÕu D > 0 : Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
	 ; 
- NÕu D = 0 : Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp :
- NÕu D < 0 : Ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm
D' = b'2 - ac (víi b’ = 2b')
- NÕu D' > 0 : Ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
	 ; 
- NÕu D' = 0 : Ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: 
 - NÕu D' < 0 : Ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm
* Chú ý: Nếu a.c < 0 thì phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt (trái dấu)
III/ Định lí Vi-ét:
1/ Vi-ét thuận: NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a¹0) th×:
2/ Vi-ét đảo: Hai sè u vµ v thỏa mãn u + v = S; u.v = P thì u,v là nghiệm của ph­¬ng tr×nh:
x2 - Sx + P = 0	(§iÒu kiÖn: S2 - 4P ³ 0)
3/ NhÈm nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a¹0):
	*/ NÕu a + b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = 1 ; x2 = vµ ng­îc l¹i.
	*/ NÕu a - b + c = 0 th× ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x1 = -1 ; x2 = vµ ng­îc l¹i
* Chú ý: NÕu x1, x2 lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a¹0) th×:
ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2)
IV/ Giải các phương trình quy được về phương trình bậc hai:
1/ Phương trình tích:	 
2/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình (là ĐK của ẩn để tất cả các mẫu đều khác 0)
Bước 2: Qui đồng và khử mẫu hai vế
Bước 3: Giải phương trình nhận được trong bước 2
Bước 4: Đối chiếu giá trị ẩn vừa tìm được với ĐKXĐ và kết luận nghiệm
3/ Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 ( a 0 )
+ Đặt : x2 = t 0 , ta có PT đã cho trở thành : at2 + bt + c = 0 (*)
+ Giải phương trình (*)
+ Chọn các giá trị t thỏa mãn t0 thay vào: x2 = t x=
+ Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu
4/ Phương trình sau khi đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc hai:
	+ Đặt ẩn phụ, đặt điều kiện của ẩn phụ nếu có.
	+ Giải phương trình ẩn phụ.
	+ Chọn các giá trị ẩn phụ thỏa mãn điều kiện thay vào chỗ đặt để suy ra giá trị ẩn ban đầu.
+ Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu.
D. HÌNH HỌC
I. Quan hệ cung và dây. 
1. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau, 
hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau: 
2. Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy
3. Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy 
và ngược lại 
4. Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây 
và đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy 
5. Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây và điểm chính giữa 
của cung căng dây ấy 
6. Hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau 
II. Góc với đường tròn:
7. Số đo của góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn 
8. Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn 
9. Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn 
10. Trong một đường tròn :
a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau 
b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau (cùng chắn )
c) Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau 
d) Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90o có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng 
chắn một cung (cùng chắn cung )
e) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại, góc vuông nội tiếp 
thì chắn nửa đường tròn ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
f) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau 
 ( cùng chắn cung AB)
11.Số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn 
 (góc có đỉnh bên trong đường tròn)
12. Số đo của góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn 
 (góc có đỉnh bên ngoài đường tròn)
II. Tø gi¸c néi tiÕp:
Đn: Tứ giác có 4 đỉnh nằm trên 1 đường tròn
a) TÝnh chÊt: Tæng hai gãc ®èi cña tø gi¸c b»ng 1800. 
b) DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp:
	- Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 1800
	- Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn
	- Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm.
	- Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i d­íi mét gãc a.
III. §é dµi ®­êng trßn - §é dµi cung trßn:
- §é dµi ®­êng trßn b¸n kÝnh R: C = 2pR = pd	- §é dµi cung trßn n0 b¸n kÝnh R : 
IV. DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn:
	- DiÖn tÝch h×nh trßn: S = pR2
	- DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n0: 
V. Các công thức hình học không gian:
1. Hình trụ: Sxq = Cđáy.h (Cđáy: chu vi đáy; h: chiều cao), Sxq=2r.h (r: bán kính đáy)
	 V= Sđáy.h (Sđáy: diện tích đáy; h: chiều cao), V=r2.h (r: bán kính đáy)
2. Hình nón: Sxq =rl (l: đường sinh), V= Sđáy.h , V=r2.h 
3. Hình cầu: Sxq =4r2 , V=r3
PHẦN II: BÀI TẬP
Dạng 1: Giải hệ phương trình.
a) b) c) d) e) i)
Dạng 2: Một số bài toán quy về giải hệ phương trình.
Bài 1: Tìm a, b:	1/ để hệ phương trình có nghiệm (1;3).
2/ để hệ phương trình có nghiệm (;-).
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1;3) và B(3;2).
Dạng 4: Xác định hệ số a và vẽ đồ thị hàm số y=ax2(a0) 
Bài 1: a) Vẽ đồ thị hàm số y=x2 và y= x2 trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
	b) Cho hàm số y=ax2. Xác định hệ số a, biết đồ thị của hàm số đó đi qua điểm A(1;-1). Vẽ đồ thị của hàm số trong trường hợp đó.
Dạng 5: Quan hệ giữa (P): y=ax2(a0) và đường thẳng (d): y=mx+n:
Bài 1: Cho hàm số y = x2 (P) và y = 3x-2 (d)
Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ
Xác định tọa độ của (P) và (d) bằng phương pháp đại số.
Lập phương trình của đường thẳng (d’), biết (d’)// (d) và (d’) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 3.
Bài 2: Cho hàm số y= (P) và y= x+m (d)
Vẽ (P).
Tìm m để (P) và (d): - Cắt nhau tại hai điểm phân biệt; - Tiếp xúc nhau; - Không có điểm chung.
Dạng 6: Giải phương trình:
Bài 1: Giải phương trình: a) 2x2 + 5x = 0	b) x - 6x2 = 0	 c) 2x2 + 3 = 0	d) 4x2 -1 = 0
e) 2x2 + 5x + 2 = 0	f) 6x2 + x + 5 = 0	g) 2x2 + 5x + 3 = 0	h) 	
Bài 2: Giải phương trình: a) 3x4 + 2x2 – 5 = 0	b) 2x4 - 5x2 – 7 = 0	c) 	
d) 16 x3 – 5x2 – x = 0	e) 	f) 	
g) 	h) 
Bài 4: Giải phương trình: a) x – 7	 b) 
 c) 
Dạng 7: Không giải phương trình tính tổng, tích hai nghiệm; tính nghiệm còn lại khi biết trước một nghiệm của PTBH:
Bài 1: Cho phương trình: , không giải phương trình hãy tính:
a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Bài 2: Cho phương trình: , không giải phương trình hãy tính: a) 	b) 
Bài 3: a) Cho phương trình: có một nghiệm bằng 2, hãy tìm m và tính nghiệm còn lại.
 b)Cho phương trình: có một nghiệm bằng 5, hãy tìm q và tính nghiệm còn lại.
Dạng 8: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm:
Bài 1: Tìm hai số u và v biết:
a) u+v = 3 và u.v = 2	 b) u+v = -3 và u.v = 6	 c) u-v = 5 và u.v=36	 d) u2+v2 = 61 và u.v =30
Bài 2: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là: a) và 	b) và 
Dạng 9: Tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn về sự có nghiệm của phương trình bậc hai:
Bài 1: Cho phương trình: , tìm m để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt.	b) Có nghiệm kép.	c) Vô nghiệm.
d) Có hai nghiệm trái dấu.	e) Có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn 
Bài 2: Cho phương trình: , tìm m để phương trình:
a) Có nghiệm .	b) Có hai nghiệm trái dấu.	c) Có hai nghiệm dương.
Bài 3: Cho phương trình: mx2 – 2(m + 1)x + 4 = 0. Tìm m để phương trình: 
 a) Có nghiệm; b) Có 2 nghiệm phân biệt; c) Vô nghiệm
Dạng 10: Chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt (có nghiệm kép; vô nghiệm) với mọi tham số:
Bài 1: a) Chứng minh rằng phương trình: luôn có hai nghiệm phân biệt m. 
b) Chứng minh rằng phương trình: luôn có hai nghiệm phân biệt m.
c) Chứng minh rằng phương trình: luôn có nghiệmm.
d) Chứng minh rằng phương trình: vô nghiệm với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Dạng 11: Toán tổng hợp:
Bài 1: Cho phương trình: .
Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn: x1= 2x2.
Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn: .
Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 sao cho A=đạt giá trị nhỏ nhất.
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bước 1: Chọn ẩn (kèm theo đơn vị) và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
Bước 2: Biểu thị các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các đại lượng đã biết.
Bước 3: Lập phương trình (hệ phương trình) biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng.
Bước 4: Giải phương trình (hệ phương trình).
Bước 5: Đối chiếu giá trị ẩn vừa tìm được với ĐK và trả lời 
A. DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG.
 L­u ý:+ Q®­êng = Vtèc . Tgian; 	Tgian = Q®­êng : Vtèc; 	Vtèc = Q®­êng : Tgian 
+ v(xu«i)= v(riªng)+v(n­íc);	v(ng­îc)= v(riªng)-v(n­íc)
+ v(riªng)= [v(xu«i) + v(ng­îc)]:2;	v(n­íc)= [v(xu«i) - v(ng­îc)]:2
* Chó ý: - VËn tèc dßng n­íc lµ vËn tèc cña ®¸m bÌo tr«i, cña chiÕc bÌ tr«i.
 - VËn tèc thùc cña can« cßn gäi lµ vËn tèc riªng (hay vËn tèc cña can« khi n­íc yªn lÆng).
Bài 1: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 36 km. Khi đi từ B trở về A, người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 36 phút. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B.
Bài 2: Hai thành phố A và B cách nhau 50km. Một người đi xe đạp từ A đến B. Sau đó 1giờ 30 phút, một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn người đi xe đạp 1giờ. Tính vận tốc của mỗi người biết rằng vận tốc của người đi xe máy lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp là 18km/h.
Bài 3: Mét ca n« chạy xu«i dßng tõ bÕn A ®Õn bÕn B, sau ®ã chạy ng­îc dßng tõ B vÒ A hÕt tæng thêi gian lµ 5 giê . BiÕt qu·ng ®­êng s«ng tõ A ®Õn B dµi 60 km vµ vËn tèc dßng n­íc lµ 5 km/h . TÝnh vËn tèc thùc cña ca n«.	
Bài 4: Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14km/giờ thì đến sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4km/giờ thì đến muộn 1 giờ.Tính vận tốc dự định và thời gian dự định.
Bài 5: Mét ng­êi ®i tõ tØnh A ®Õn tØnh B c¸ch nhau 78 km. Sau ®ã 1 giê ng­êi thø hai ®i tõ tØnh B ®Õn tØnh A hai ng­êi gÆp nhau t¹i ®Þa ®iÓm C c¸ch B 36 km. TÝnh thêi gian mçi ng­êi ®· ®i tõ lóc khëi hµnh ®Õn lóc gÆp nhau, biÕt vËn tèc ng­êi thø hai lín h¬n vËn tèc ng­êi thø nhÊt lµ 4 km/h.
C. DẠNG TOÁN LÀM CHUNG – LÀM RIÊNG.
L­u ý: + Thời gian hoàn thành và năng suất là 2 số nghịch đảo của nhau
+ Được cộng năng suất, không được cộng thời gian
Bài 1: Hai ng­êi thî cïng lµm mét c«ng viÖc trong 16 giê th× xong. NÕu ng­êi thø nhÊt lµm trong 3 giê, ng­êi thî thø hai lµm trong 6 giê th× hä lµm ®­îc 25% khèi l­îng c«ng viÖc. Hái mçi ng­êi thî lµm mét m×nh c«ng viÖc ®ã trong bao l©u.
Bài 2: Hai tæ thanh niªn t×nh nguyÖn cïng söa mét con ®­êng trong 4 giê th× xong . NÕu lµm riªng th× tæ 1 lµm nhanh h¬n tæ 2 lµ 6 giê . Hái mçi ®éi lµm mét m×nh th× bao l©u sÏ xong viÖc ?
Bài 3: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể (ban đầu không chứa nước) thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu chảy một mình cho đầy bể thì vòi I cần nhiều thời gian hơn vòi II là 5 giờ. Hỏi nếu chảy một mình để đầy bể thì mỗi vòi cần bao nhiêu thời gian ?
D. DẠNG TOÁN PHÂN CHIA ĐỀU.
Bài 1: Một đoàn học sinh gồm có 180 häc sinh ®­îc ®iÒu vÒ th¨m quan diÔu hµnh. NÕu dïng lo¹i xe lín chuyªn chë mét l­ît hÕt sè häc sinh th× ph¶i ®iÒu ®éng Ýt h¬n dïng lo¹i xe nhá lµ 2 chiÕc. BiÕt r»ng mçi xe lín nhiÒu h¬n mçi xe nhá lµ 15 chç ngåi. TÝnh sè xe lín ?
Bài 2: Trong mét buæi lao ®éng trång c©y ,mét tæ häc sinh ®­îc trao nhiÖm vô trång 56 c©y .V× cã 1 b¹n trong tæ ®­îc ph©n c«ng lµm viÖc kh¸c nªn ®Ó trång ®ñ sè c©y ®­îc giao ,mçi b¹n cßn l¹i trong tæ ®Òu trång t¨ng thªm 1 c©y víi dù ®Þnh lóc ®Çu Hái tæ häc cã bao nhiªu b¹n biÕt sè c©y ®­îc ph©n cho mçi b¹n ®Òu b»ng nhau.
Bài 3: Mét phßng häp cã 360 ghÕ ngåi ®­îc xÕp thµnh tõng d·y vµ sè ghÕ cña tõng d·y ®Òu nh­ nhau. NÕu sè d·y t¨ng thªm 1 vµ sè ghÕ cña mçi d·y t¨ng thªm 1, th× trong phßng cã 400 ghÕ. Hái trong phßng häp cã bao nhiªu d·y ghÕ, mçi d·y cã bao nhiªu ghÕ?
Bài 4: Mét ®éi c«ng nh©n hoµn thµnh mét c«ng viÖc víi møc 420 ngµy c«ng. H·y tÝnh sè c«ng nh©n cña ®éi, biÕt r»ng nÕu ®éi t¨ng thªm 5 ng­êi th× sè ngµy ®Ó hoµn thµnh c«ng viÖc sÏ gi¶m ®i 7 ngµy. 
E. DẠNG TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC.
Bài 1: Mét thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 250 m. TÝnh diÖn tÝch cña thöa ruéng biÕt r»ng nÕu chiÒu dµi gi¶m 3 lÇn vµ chiÒu réng t¨ng 2 lÇn th× chu vi thöa ruéng kh«ng ®æi.
Bài 2: Mét h×nh ch÷ nhËt cã chu vi lµ 160m vµ diÖn tÝch lµ 1500m2. TÝnh chiÒu dµi vµ chiÒu réng h×nh ch÷ nhËt Êy
Bài 3: T×m hai c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng biÕt c¹n huyÒn b»ng 13 cm vµ tæng hai c¹nh gãc vu«ng b»ng 17.
F. MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC.
Bµi 1: B¹n H¶i ®i mua trøng gµ vµ trøng vÞt. LÇn thø nhÊt mua n¨m qu¶ trøng gµ vµ n¨m qu¶ trøng vÞt hÕt 10.000®. LÇn thø hai mua ba qu¶ trøng gµ vµ b¶y qu¶ trøng vÞt hÕt 9.600®. Hái gi¸ mét qña trøng mçi lo¹i lµ bao nhiªu?
Bµi 2: Tæng sè c«ng nh©n cña hai ®éi s¶n suÊt lµ 125 ng­êi. Sau khi ®iÒu 13 ng­êi tõ ®éi thø I sang ®éi thø II th× sè c«ng nh©n cña ®éi thø I b»ng 2/3 sè c«ng nh©n ®éi thø II. TÝnh sè c«ng nh©n cña mçi ®éi lóc ban ®Çu.
BÀI TẬP HÌNH HỌC:
Bài 1: Cho DABC vuông tại A (AB < AC), vẽ AH ^ BC. Gọi D là điểm đối xứng của B qua H, E là hình chiếu của C trên AD. Chứng minh:
a) Tứ giác AHEC nội tiếp, xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này.	
b) DAHE cân.
c) Biết BC = 2a, ACB = 300, tính theo a:
c1) Diện tích xung quanh và thể tích của hình tạo bởi khi quay DABC vuông tại A quanh cạnh AB.
c2) Diện tích hình giới hạn bởi các đoạn AC, CH và cung AH của (O).
Bài 2: Cho đường tròn (O; 10cm) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Qua A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B, C là tiếp điểm) sao cho góc BAC = 450.
a) Tính độ dài các cung AB của đường tròn (O);
b) Tia CO cắt AB ở D, chứng minh: DBOD và DACD là các tam giác vuông cân;
c) Tính độ dài đoạn AC;	 
d) Tính d.tích hình giới hạn bởi các đoạn AC, AB và cung BC của (O).
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác góc C cắt AB tại E. Kẻ AH vuông góc với BC và AK vuông góc với CE, gọi I là giao điểm của AH và CE. Chứng minh:
	a/ Bốn điểm A, K, H, C cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn.
	b/ OK vuông góc AH	c/ Tam giác AEI cân
Bài 4: Cho tam giaùc vuoâng ABC coù caïnh huyeàn BC baèng 2a vaø goùc B baèng 600. Treân caïnh AC laáy moät ñieåm M ( M khaùc A;C). Veõ ñöôøng troøn taâm I ñöôøng kính MC. Ñöôøng troøn naøy caét tia BM taïi D vaø caét caïnh BC taïi ñieåm thöù hai laø N .
Chöùng minh töù giaùc ABCD noäi tieáp ñöôïc trong moät ñöôøng troøn.
Chöùng minh DB laø tia phaân giaùc cuûa goùc ADN .
Khi töù giaùc ABCD laø hình thang , tính dieän tích hình troøn taâm I theo a .
Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Kẻ đường cao AH. Trên đoạn AH lấy điểm M. Đường tròn tâm O đường kính AM cắt AB ở D và AC ở E.
a) Cm: tứ giác MECH nội tiếp.	b) Chứng minh : 	c) Cm: AD.AB = AE.AC
d) Cho , AM= 3 cm. Tính diện tích phần của hình tròn ( O) nằm ngoài tam giác AEM (lấy = 3,14)
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O;R). Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ . Đường thẳng AM cắt đường thẳng BC tại S
a) Chứng minh: 	b) Cm: AC2 = AM.AS
c) Trường hợp = 600. Tính độ dài , độ dài dây AB và diện tích phần hình tròn nằm ngoài ABC theo R
Bài 7: Cho DABC nội tiếp (O;) có AB>AC, Hai tiếp tuyến của đường tròn tại A và B cắt nhau ở M.
a) C/m: Tứ giác MAOB nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn đó.	
b) Chứng minh: .
c) Đường cao AH của DABC cắt CM ở N. Chứng minh : N là trung điểm của AH.
d) Giả sử = 600. Tính diện tích hình giới hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC của (O) theo R.
BÀI TẬP ÔN THI HỌC KỲ II – TOÁN 9 (2013 – 2014)
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
 a/ 
b/ 
c/ 
 d/ 
 e/ Cộng từng vế hai phương trình ta được: 
 Thay vào được: Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2 ; 8) 
 f/ Đặt Điều kiện 
Ta có hệ phương trình Giải ra ta được 
Giải hệ phương trình ( Thỏa điều kiện ).Vậy (x;y)=
h/ 
Vậy 
Bài 2:
 Câu 1: Với giá trị nào của a và b thì hệ phương trình Có nghiệm là 
 Câu 2: Với giá trị nào của m và n thì hệ phương trình nhận cặp số (-2 ; 3) là nghiệm.
Giải câu 1: Do là nghiệm của hệ phương trình 
 Nên 
 Câu 2: Do là nghiệm của hệ phương trình 
 Nên 
Bài 3:
Câu 1: Cho hệ phương trình: . Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
Câu 2: Tìm giá trị của a để hệ phương trình a/ Có một nghiệm duy nhất ; b/ Vô nghiệm.
Câu 3: Cho hệ phương trình Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm, vô số nghiệm.
Giải
Câu 1: Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
Câu 2: a/ Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất 
 b/ Hệ phương trình vô nghiệm 
 Câu 3: .Ta có .Nếu thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
 Nếu thì hệ phương trình vô nghiệm.
Bài 4:
 Câu 1: Xác định hàm số biết rằng đồ thị của nó đi qua hai điểm 
 a/ A(2 ; 4) và B(-5 ; 4) ; b/ A(3 ; -1) và B(-2 ; 9)
 Câu 2: Xác định đường thẳng biết rằng d0ồ thị của nó đi qua điểm
 A(2 ; 1) và đi qua giao điểm B của hai đường thẳng và 
Giải
 Câu 1:a/ Vì đồ thị hàm số đi qua A(2; -4) nên 
 Và qua B(-5 ; 4) nên Ta có hệ pt Vậy 
 b/ Vì đường thẳng qua A(3 ; -1) nên Và qua B(-2 ; 9) nên 
Ta có hệ phương trình Vậy 
Câu 2:
.Xác định giao điểm B của hai đường thẳng : và 
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng:Vậy B(1 ; -1)
.Xác định tiếp đường thẳng đi qua A(2 ; 1) và B(1 ; -1) được 
Bài 5: Cho hàm số y = -x2 có đồ thị (P) và y = -2x +m có đồ thị là (d)
a/ Xác định m biết rằng (d) đi qua điểm A trên (P) có hoành độ bằng 1.
b/ Trong trường hợp m = -3 .Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ các giao điểm của chúng .
 c/ Với giá nào của m thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt ; (d) tiếp xúc với (P) ,(d) không cắt (P) 
Giải
 a/ 
 b/ Bảng giá trị của y=-2x-3 và y = - x2 
x
0 -3/2
y=-2x-3
-3 0
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
 y=-x2
-9 -4 -1 0 -1 -4 -9
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là :
 Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là B(-1 ;-1) ; C(3 ;-9)
 c/ Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là :
 (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt 
 Với m<1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt 
 d/ (d) tiếp xúc với (P) 
 (d) không cắt (P) 
Bài 6: Giải phương trình :
Giải :
1/ Nên phương trình vô nghiệm.
2/ 
3/
4/
5/
Bài 7: Giải phương trình sau ( dùng thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn )
Giải : 1/ 
 2/ ;= 25-240 = -215<0 .Phương trình vô nghiệm 
 3/  ;=(-10)2 -25.4 =0
 Phương trình có nghệm kép : 
Bài 8: Định m để phương trình :
Giải a/  ;= (-1)2 -3m = 1-3m
 Để phương trình vô nghiệm <0 suy ra 1-3m<0 hay 
 Với thì phương trình đã cho vô nghiệm 
 b/ 2x2 + mx - m2 = 0 (a = 2;b = m; c =- m2) ;= m2 -4.2(-m2)= m2 +8 m2=9 m2
 Phương trình có hai nghiệm phân biệt 
 c/ 25 x2 + mx +2 = 0 (a = 25;b = m;c = 2);= m2 -4.25.2= m2 -200
 Để phương trình có nghiệm kép thì =0
Bài 9:Cho phương trình :x2 + (m+1)x + m = 0 (1)
1/ Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m .
2/ Tìm m sao cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm . Tính nghiệm còn lại .
3/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau 
4/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo nhau 
5/ Tìm m sao cho x1 - x2 = 2 ; 
6/ Tìm m để đạt gía trị lớn nhất 
7/ Tìm m để cả hai nghiệm đều dương ;
8/ Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m.
9/ Tính 
Giải:
 1/ x2 + (m+1)x + m = 0 (a = 1;b = m+1;c = m) =(m+1)2 -4.1.m= (m+1)20 với mọi m
 2/Thay x = -2 vào (1) ta được (-2)2 +(m+1)(-2) + m = 0 ó4-2m-2+ m = 0m = 2
 3/ Phương trình có hai nghiệm đối nhau x1 +x2 =0-(m+1) = 0m = -1
 4/Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau x1 x2=1m = 1
5/Theo hệ thức Vi-et
Vậy với m = -1 hoặc m = 3 thì 
6/ Theo hệ thức Vi-et
Dấu ‘ =’ xảy ra khi m=0
Vậy : GTNN là 1 khi m=0
7/ Phương trình có hai nghiệm đều dương 
 Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có hai nghiệm đều dương 
8/Ta có 
Vậy biểu thức trên không phụ thuộc vào m
9/Ta có
Bài 10: Giải phương trình :
1/ 
(Thỏa điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là x1 =-3 và x2 = 5
2/ 
Vậy phương trình vô nghiệm .
3/ 2x4 - 7x2 – 4 = 0
Đặt .Ta có phương trình :
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = 2
 và x2 = -2
4/ 
Vậy nghiệm của phương trình là 
Bài 1: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn AB lấy điểm M ( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đường thẳng d vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh :
 a/. Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn.
 b/. Tứ giác CMPO là hình bình hành.
 c/. Tích CM.CN không đổi. 
GT
Cho đường tròn(O;R)
AB, CD: đường kính, AB CD tại O.
MAB, CM cắt (O) tại N
Đường thẳng d AB tại M
Tiếp tuyến của (O) tại N cắt d tại P
 KL 
a/. OMNP nội tiếp được 1 đường tròn
b/. CMPO là hình bình hành
c/. CM.CN không đổi.
 a/. Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn:
 Ta có: ( d AB)Và ( Tiếp tuyến vuông góc với bán kính)
 Nên: Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn ( Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp nhìn 1 
 cạnh dưới 1 góc không đổi).
 b/. Chứng minh tứ giác CMPO là hình bình hành:
 Ta có: sđ ( Định lí góc có đỉnh bên trong đường tròn(O))
 và sđ ( Định lí góc tạo bởi tiếp tuyến và 1 dây cung)
 mà sđ= sđ= ( do AB CD)
 Do đó: = (1)
 Ta lại có: = ( cùng bù với ) (2)
 Từ (1), (2) = 
 Mà , ở vị trí so le trong. =>: CM // OP (3)
 Mặt khác: PM // CO ( Cùng vuông góc với AB) (4)
 Từ (3), (4) CMPO là hình bình hành ( Tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song)
 c/. Chứng minh tích CM.CN không đổi: 
 Ta có: ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn)
 Nên ta chứng minh được: (g.g) 
 Hay CM.CN = CO. CD = R.2R= 2R 
 Mà R không đổi 2R không đổi
 Nên: CM.CN không đổi (đpcm)
Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, một điểm A trên nửa đường tròn ấy sao cho BA = R. Lấy M là một điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC tại I. Tia BA cắt tia CM tại D. 
 a/. Chứng minh: DI BC.
 b/. Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn.
 c/. Giả sử .Tính độ dài đoạn thẳng AD theo R và diện tích hình quạt AOM.
GT
Cho đường tròn (O), đường kính :
BC = 2R
A(O): BA = R; Mcung AC nhỏ.
BM cắt AC tại I, BA cắt CM tại D.
 : (c)
 KL 
 a/. DI BC
 b/. AIMD nội tiếp (O)
 c/. Tính độ dài AC và S?
 a/. Chứng minh : DI BC:
 Ta có: ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn)
 CA BD hay CA là đường cao cuả tam giác BDC. (1)
 Và ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn)
 BM CD hay CA là đường cao cuả tam giác BDC. (2)
 Từ (1), (2) I là trực tâm của tam