Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 8 - Chủ đề: Phép nhân đa thức

B. Nhân đa thức với đa thức
1. Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích vào với nhau
 Với là các đơn thức
 Với là các đơn thức
Ví dụ: 
2. Lưu ý: Thu gọn các hạng tử đông dạng (nếu có) trước khi nhân và sau khi nhân
- Nếu phải nhân nhiều đa thức, mỗi lần chỉ nhân hai đa thức với nhau
B. Bài tập áp dụng và các dạng toán
Dạng 1: Làm phép tính nhân đa thức với đa thức
I. Cách giải: 
Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức
II. Bài toán
Bài 1.1: Thực hiện phép tính (Nhân đa thức với đa thức)
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải
a) 
b) 
c) 
d) 
Bài 1.2: Thực hiện phép tính (Nhân đa thức với đa thức)
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải
a) 
b) 
c) 
d) 
Bài 1.3: Thực hiện phép tính (Nhân đa thức với đa thức)
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải
a) 
b) 
c) 
d) 
Bài 1.4: Thực hiện phép tính (Nhân đa thức với đa thức)
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải
a) 
b) 
c) 
d) 
Bài 1.5: Thực hiện phép tính (Nhân đa thức với đa thức)
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải
a) 
b) 
c) 
d) 
Bài 1.6: Thực hiện phép tính (Nhân đa thức với đa thức)
a) 
b) 
c) 
d) 
Lời giải
a) 
b) 
c) 
d) 
Bài 1.7: Thực hiện phép tính (Nhân đa thức với đa thức)
a) 
b) 
c) 
d) 
Lời giải
a) 
b) 
c) 
d) 
Bài 1.8: Thực hiện phép tính:
a) 	b) 
Lời giải
a) 
b) 
Bài 1.9: Làm tính nhân
a. 	b. 
c. 	d. 
e. 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
c) Ta có: 
d) Ta có: 
Bài 1.10: Làm tính nhân
a. 	b. 
c. d. 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
c) Ta có:
d) Ta có: 
Bài 1.11: Thực hiện các phép nhân
a. 
b. 
c. 
d. 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
c) Ta có: 
d) Ta có: 
Bài 1.12: Thực hiện các phép nhân
a. 
b. 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Thực hiện phép tính
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
c) Ta có: 
d) Ta có: 
.
Bài 2: Thực hiện phép tính
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
c) Ta có: 
.
d) Ta có: 
..
Bài 3: Thực hiện phép tính
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
c) Ta có: 
.
d) Ta có: 
.
Bài 4: Thực hiện phép tính
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
c) Ta có: 
d) Ta có: 
.
Bài 5: Tính các tích sau
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
c) Ta có: 
d) Ta có: 
.
Bài 6: Tính các tích sau
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
c) Ta có: 
.
d) Ta có: 
.
Bài 7: Tính
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
c) Ta có: 
d) Ta có: 
Bài 8: Tính
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
c) Ta có: 
d) Ta có: .
Bài 9: Thực hiện phép tính
a) 	
b) 
c) 	
d) 
Lời giải
a) Ta có: 
.
b) Ta có: 
c) Ta có: 
d) Ta có: 
Bài 10: Thực hiện phép tính
a) 	
b) 
c) 	
d) 
Lời giải
a) Ta có: 
.
b) Ta có: 
c) Ta có: 
d) Ta có: 
.
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức cho trước
I. Cách giải:
Bước 1: Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức và nhân đa thức với đa thức để rút gọn biểu thức đã cho
Bước 2: Thay các giá trị của biến vào biểu thức sau khi đã rút gọn ở bước 1
II. Bài toán
Bài 2.1: Tính giá trị của biểu thức tại 
Lời giải
Tại . Khi đó có giá trị là 
Bài 2.2: Tính giá trị của biểu thức
a) tại .
b) tại .
c) tại .
d) tại 
Lời giải
a) tại thì 
b) tại thì 
c) tại thì 
d) tại thì 
Bài 2.3: Tính giá trị của các biểu thức sau
a. với 
b. với 
c. với 
d. với 
e. với 
Lời giải
a) Ta có: 
Thay vào biểu thức ta được: 
b) Ta có: 
c) Ta có: 
d) Ta có: 
Thay vào biểu thức ta được: 
e) Ta có: 
Thay vào biểu thức ta được: .
Bài 2.4: Tính giá trị của các biểu thức sau
a. với 
b. với 
c. với 
d. với 
e. với 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
c) Ta có: 
d) Ta có: 
Dạng 3: Chứng tỏ giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
I. Cách giải:
- Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức
- Áp dụng các quy tắc rút gọn đa thức để thu được kết quả không còn chứa biến
II. Bài toán
Bài 3.1: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến.
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Lời giải
a) nên giá trị của không phụ thuộc vào giá trị của biến 
b) nên giá trị của không phụ thuộc vào giá trị của biến 
c) nên giá trị của không phụ thuộc vào giá trị của biến 
d) nên giá trị của không phụ thuộc vào giá trị của biến 
e) nên giá trị của không phụ thuộc vào giá trị của biến 
Bài 3.2: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
a. 
b. 
c. 
Lời giải
a) Ta có: 
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
b) Ta có: 
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
c) Ta có: 
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
Bài 3.3: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
a. 
b. 
c. 
Lời giải
a) Ta có: 
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
b) Ta có: 
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
Bài 3.4: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến
a. 
b. 
c. 
Lời giải
a) Ta có: 
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
b) Ta có: 
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
c) Ta có: 
Vậy biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến
Dạng 4: Tìm x biết x thỏa mãn điều kiện cho trước
I. Cách giải:
Bước 1: Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để phá ngoặc
Bước 2: Nhóm các đơn thức đồng dạng và rút gọn biểu thức ở hai vế để tìm 
II. Bài toán
Bài 4.1: Tìm biết 
Lời giải
Ta có 
 Vậy 
Bài 4.2: Tìm biết
a) 
b) 
c) 
d) 
Lời giải
a) 
b) 
c) 
d) 
Bài 4.3: Tìm biết
a) 
b) 
c) 
Lời giải
a) 
b) 
c) 
Bài 4.4: Tìm , biết rằng
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Lời giải
a) Ta có: 
Vậy 
b) Ta có: 
Vậy 
c) Ta có: 
Vậy 
d) Ta có: 
Bài 4.5: Tìm , biết rằng
a. 
b. 
Lời giải
a) Ta có: 
Vậy 
b) Ta có: 
Vậy 
Dạng 5: Chứng minh đẳng thức
I. Cách giải: 
+ Thực hiện nhân đa thức với đa thức để biến đổi vế phức tạp của đẳng thức
+ Rút gọn biểu thức và biến đổi để thu được kết quả như ở vế còn lại
+ Nếu cả hai vế đẳng thức cùng phức tạp, ta có thể biến đổi đồng thời cả 2 vế của đẳng thức sao cho chúng cùng bằng 1 biểu thức thứ ba.
II. Bài toán
Bài 5.1. Chứng minh các đẳng thức sau
a) 	
b) 
c) 	
d) 
Lời giải
a) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
d) 
Xét vế trái của đẳng thức 
 .
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 5.2. Chứng minh các đẳng thức sau
a) 	
b) 
c) 	
d) 
Lời giải
a) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) 
Xét vế trái của đẳng thức 
 .
Vậy đẳng thức được chứng minh.
d) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 5.3. Chứng minh các đẳng thức sau
a) 	
b) 
c) 	
d) 
Lời giải
a) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) 
Xét vế trái của đẳng thức 
 .
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) 
Xét vế trái của đẳng thức 
 .
Vậy đẳng thức được chứng minh.
d) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 5.4. Chứng minh các đẳng thức sau
a) 	
b) 
c) 	
d) 
Lời giải
a) 
Xét vế trái của đẳng thức 
.
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) 
Xét vế trái của đẳng thức 
 .
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
d) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 5.5. Chứng minh các đẳng thức sau
a) 	
b) 
c) 	
d) 
Lời giải
a) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
d) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 5.6. Chứng minh các đẳng thức sau
a) 	
b) 
c) 	
d) 
Lời giải
a) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
d) 
Xét vế trái của đẳng thức 
.
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 5.7. Chứng minh các đẳng thức sau
a) 	
b) 
c) 	
d) 
Lời giải
a) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
d) 
Xét vế trái của đẳng thức 
.
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 5.8. Chứng minh các đẳng thức sau
a) 	
b) 
c) 	
d) 
Lời giải
a) 
Xét vế trái của đẳng thức 
.
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) 
Xét vế trái của đẳng thức 
.
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) 
Xét vế trái của đẳng thức 
.
Vậy đẳng thức được chứng minh.
d) 
Xét vế trái của đẳng thức 
.
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 5.9. Chứng minh các đẳng thức sau
a) 	
b) 
c) 	
d) Cho . Chứng minh rằng: 
Lời giải
a) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) 
Xét vế trái của đẳng thức 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
d) Cho . Chứng minh rằng: 
Xét vế trái của đẳng thức
Theo bài ra ta có: 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 5.10. Chứng minh các đẳng thức sau thỏa mãn các điều kiện cho trước
a) Cho . Chứng minh 	
b) Cho . Chứng minh 
c) Cho . Chứng minh 	
d) Cho . Chứng minh 
Lời giải
a) Cho . Chứng minh 	
Xét vế trái của đẳng thức 
Theo bài ta có , thay vào ta được:
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b) Cho . Chứng minh 
Xét vế trái và vế phải của đẳng thức ta có:
 (1)
 (vì ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Vậy đẳng thức được chứng minh.
c) Cho . Chứng minh 	
Vì 
Vậy (đpcm)
d) Cho . Chứng minh 
Xét vế trái và vế phải của đẳng thức ta có:
 (1)
Theo bài ta có , thay vào (1) ta được:
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài 5.11: Chứng minh rằng
a. 
b. 
c. 
Lời giải
a) Ta có: 
 đpcm
b) Ta có: 
 đpcm
c) Ta có: đpcm
Bài 5.12: Chứng minh rằng đẳng thức sau
 với 
Lời giải
Ta có: 
 (đpcm)
Bài 5.13: Chứng minh các đẳng thức sau
a. 
b. 
c. 
d. 
Lời giải
a) Ta có: đpcm
b) Ta có: đpcm
c) Ta có: đpcm
d) đpcm
Bài 5.14: 
a) Chứng minh rằng nếu thì 
b) Áp dụng câu a) để viết ngay kết quả của phép nhân: và 
Lời giải
a) Ta có: 
a) Ta có: 
+) Ta có: 
+) Ta có: 
Dạng 6: Chứng minh các bài toán về số nguyên
I. Cách giải:
Bước 1: Gọi số phải tìm và đặt điều kiện
Bước 2: Biểu diễn các dữ kiện của đề bài theo số phải tìm
Bước 3: Áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để tìm ra đáp án của bài toán
Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận
II. Bài toán
Bài 6.1: Chứng minh rằng:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
Lời giải
a) Ta có 
 với mọi 
b) Ta có 
 với mọi 
c) Ta có 
 với mọi 
d) Ta có 
 với mọi 
f) Ta có 
 với mọi 
g) Ta có 
 với mọi 
Bài 6.2: Cho và là hai số tự nhiên. Biết chia cho dư chia dư 
Chứng minh chia dư 
Lời giải
Vì chia dư nên với 
Và chia dư nên với 
Khi đó chia dư 
Bài 6.3: Cho là hai số tự nhiên, biết chia dư chia dư 
Hỏi chia dư bao nhiêu?
Lời giải
Vì chia dư nên với 
Vì chia dư nên với 
Khi đó chia dư 
Bài 6.4: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích của hai số đầu nhỏ hơn tích của hai số sau là 50
Lời giải
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: 
Theo bài ra ta có: 
Vậy ba số là: 
Bài 6.5: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 52
Lời giải
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: 
Tích của hai số sau là: 
Tích của hai số đầu là: 
Theo bài ra ta có: (thỏa mãn)
Vậy ba số cần tìm là: 
*) Lưu ý: Có thể gọi ba số lần lượt là: 
Bài 6.6: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết rằng nếu cộng ba tích của hai trong ba số ấy ta được 242
Lời giải
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: 
Ta có: 
Vậy ba số cần tìm là: 
Bài 6.7: Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 24
Lời giải
Gọi ba số tự nhiên chẵn liên tiếp là: 
Theo bài ra ta có: 
Vậy ba số cần tìm là: 
Bài 6.8: Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết nếu ta lấy bình phương của số ở giữa trừ đi tích của số lớn nhất và số bé nhất thì kết quả thu được đúng bằng của số bé nhất.
Lời giải
Cách 1:
Gọi ba số tự nhiên chẵn liên tiếp là: 
Tìm được ba số thỏa mãn bài toán là: 
Cách 2: gọi ba số cần tìm là: ( thuộc ; chia hết cho 2 )
Bài 6.9: Cho và là hai số tự nhiên. Biết rằng chia 5 dư 1, chia 5 dư 4. Chứng minh rằng chia hết cho 5
Lời giải
Vì a chia cho 5 dư 1 nên đặt 
Vì b chia 5 dư 4 nên đặt 
Ta có: đpcm.
Bài 6.10: Cho và là hai số tự nhiên và . Biết chia 4 dư 1, chia 4 dư 3. Chứng minh rằng chia hết cho 4
Lời giải
Đặt 
Bài 6.11: Chứng minh rằng với mọi thì
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Lời giải
a) Ta có: (đpcm)
b) Ta có: (đpcm)
c) Ta có: (đpcm)
d) Ta có: (đpcm)
e) Ta có: (đpcm)