Đề cương ôn tập Toán học kỳ I lớp 11

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP TỐN HỌC KỲ I LỚP 11
NĂM HỌC 2011 - 2012
PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
A. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác 
Chú ý : 1) cĩ nghĩa khi B (A cĩ nghĩa) ; cĩ nghĩa khi A
	2) 
3) 
4) 
5) Hàm số y = tanx xác định khi 
 Hàm số y = cotx xác định khi 
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau 
1) y = cosx + sinx	2) y = cos	3) y = sin
4) y = cos	5) y = 	6) y = 
7) y = 	8) y = tan(x + )	9) y = cot(2x - 
10) y = 
B.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC.
I:LÍ THUYẾT .
1/Phương trình lượng giác cơ bản .
2/ Phương trình đặc biệt :
 sinx = 0 Û x = kp , sinx = 1 Û x = + k2p ,sinx = -1 Û x = - + k2p 
 cosx = 0 Û x = + k p , cosx = 1 Û x = k2p , cosx = -1 Û x = p + k2p .
 3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . 
 Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a2 + b2 ¹ 0 
 Cách 1: acosx + bsinx = c Û = c với
 asinx +bcosx = c Û = c với .
Cách 2 : 
 Xét phương trình với x = p + kp , k Ỵ Z
 Với x ¹ p + kp đặt t = tan ta được phương trình bậc hai theo t :
 (c + b)t2 – 2at + c – a = 0 
Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm Û a2 + b2 - c2 ³ 0 .
Bài tập :Giải các phương trình sau:
1. , 2. 
3. , 4. 
5. , 6. 
7. 	8. 	 	
 4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :
Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0
 với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx.
 Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0 .
Bài tập: Giải các phương trình sau:
1. 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 	2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 
3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1
5. sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6. 
7. 	8. 5tan x -2cotx - 3 = 0
9. 	10. 
5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :
 a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0 .
 Cách 1 : 
Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .
Xét chia hai vế của phương trình cho cos2x rồi đặt t = tanx.
Cách 2: Thay sin2x = (1 – cos 2x ), cos2x = (1+ cos 2x) , 
 sinxcosx = sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x .
 b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x = + kp ,kỴZ.
Bài tập :
2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2 
 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 - 9)cos2x = 0
4sin2x +3 sin2x – 2cos2x = 4
6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx.
7. Các phương trình lượng giác khác.
Bài 1: Giải các phương trình sau :
 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0,
 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 4sin4 +12cos2x = 7
IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC .
 Giải các phương trình sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx	 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 
3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ sin4 + cos4 = 1 – 2sinx 	 5/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 	6/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 	
7/ sin4x + cos4x – cos2x = 1 – 2sin2x cos2x
D. TỔ HỢP
Tĩm tắt giáo khoa
I. Quy tắc đếm
1. Quy tắc cộng: Giả sử cơng việc cĩ thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A cĩ thể thực hiện bởi n cách; phương án B cĩ thể thực hiện bởi m cách. Khi đĩ, cơng việc được thực hiện theo n + m cách.
2. Quy tắc nhân: Giả sử cơng việc bao gồm hai cơng đoạn A và B. Cơng đoạn A cĩ thể thực hiện bởi n cách; cơng đoạn B cĩ thể thực hiện bởi m cách. Khi đĩ, cơng việc được thực hiện bởi n.m cách.
II. Hốn vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Hốn vị:
a. Định nghĩa: Cho tập A cĩ n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đĩ theo một thứ tự định trước là một phép hốn vị các phần tử của tập A.
b. Định lý: Số phép hốn vị của tập hợp cĩ n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3n
2. Chỉnh hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A cĩ n phần tử. Xét số mà . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đĩ theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là: .
3. Tổ hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A cĩ n phần tử và số mà . Một tập hợp con của A cĩ k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
b. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:
III. Khai triển nhị thức Newton
Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì: 
Các Dạng bài tốn cơ bản
Dạng 1: Bài tốn về quy tắc đếm
Phương pháp giải: Cần phân biệt cơng việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm cơng đoạn A và B để chọn quy tắc nhân.
Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 cĩ 3 màu khác nhau, cỡ 41 cĩ 4 màu khác nhau. Hỏi X cĩ bao nhiêu cách chọn?
Bài 2: Cho tập . Cĩ bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các phần tử của A?
Bài 3: Từ tập hỏi cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, cịn các chữ số khác xuất hiện một lần?
Dạng 2: Thực hiện phép hốn vị
Phương pháp giải:
Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử cĩ thứ tự: Pn = n! = 1.2.3n
Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân
Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X cĩ bao nhiêu cách xếp đặt?
Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt cĩ thứ tự của k phần tử trong n phần tử: 
Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Cĩ bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong các điểm đĩ?
Bài 6: Từ tập cĩ thể lập được bao nhiêu số cĩ 4 chữ số khác nhau?
Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp
Phương pháp giải: Phép xếp đặt khơng cĩ thứ tự của k phần tử chọn trong n phần tử: 
Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt khơng tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên cĩ thể lập được bao nhiêu tam giác?
Bài 8: Tìm , nếu cĩ: .
Bài 9: Tìm , nếu cĩ: 
Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b)n.
Phương pháp giải: Sử dụng cơng thức khai triển của nhị thức Newton:
(khai triển theo lũy thừa của a tăng, b giảm)
(Chú ý: khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần)
Bài 10: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (11 + x)11.
Bài 11: Trong khai triển , (x > 0), hãy tìm số hạng khơng chứa x.
Bài 12: Tìm hệ số của x8 trong khai triển (3- x2)8
Bài 13: Tìm số hạng trong các khai triển sau
Số hạng thứ 13 trong khai triển 
Số hạng thứ 18 trong khai triển 
 Số hạng khơng chứa x trong khai triển 
Hệ số của số hạng chứa trong khai triển 
CẤP SỐ CỘNG
 Kiến thức cần nhớ:
 1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai.
 Gọi d là công sai, theo định nghĩa ta có: un+1 = un + d (n = 1, 2, ...).
 Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng nhau.
 Để chỉ rằng dãy số (un) là một cấp số cộng,ta kí hiệu u1, u2, ..., un, ....
Số hạng tổng quát
 Định lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công thức: un = u1 + (n - 1)d
Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Định lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số hạng cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là (k 2).
Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
 Định lí: Để tính Sn tacó hai công thức sau:
Sn tính theo u1 và d 
Sn tính theo u1 và un 
BÀI TẬP ÁP DỤNG
 Bài 1: Xác định cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30.
Bài 2: Cho cấp số cộng: 
 Tìm số hạng đầu và công sai của nó.
Bài 3: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là 165.
Bài 4: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công sai là 25.
Bài 5: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80.
 Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.
Bài 6: Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 176. Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm cấp số đó.
Bài 7: cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = -3. Tính a10.
Bài 8: Tính u1, d trong các cấp số cộng sau đây:
 ĐS: 1/ u1 = và d = ; 2/ u1 = 3 và d = 4.
 3/ u1 = 0 và d = ; 4/ u1 = và d = . 
Bài 9: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u14 = 18.
Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên.
Bài 10: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = 3.	Tính u20 và S20.
 ĐS: u20 = 74, S20 = 910
Bài 11: Cho cấp số cộng (un) có a10 = 10, d = -4.
Tính u1 và S10. ĐS: u1 = 46, S10 = 280
Bài 15: Cho cấp số cộng (un) có u6 = 17 và u11 = -1.
Tính d và S11. ĐS: d = và S11 = 187
Bài 16: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u4 = 18.
Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên. ĐS: S20 = 1350 
CẤP SỐ NHÂN
Kiến thức cần nhớ:
Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công bội.
 Gọi q là công bội, theo định nghĩa ta có
 un+1 =un.q (n = 1, 2, ...).
 Số hạng tổng quát
 Định lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức:
 un = u1 (q)
Tính chất các số hạng của cấp số nhân
 Định lí: Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) đều có giá trị tuyệt đối là trung bình nhân của hai số hạng kề bên nó, tức là: 
Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân.
 Cho một cấp số nhân với công bội q 1
 u1, u2, ...,un, ... 
 Định lí: Ta có: (q 1)
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết:
1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u1 = 243 và u6 = 1
2/ Cho q = , n = 6, S6 = 2730. Tìm u1, u6.
Bài 2: Cho cấp số nhân có: u3 = 18 và u6 = -486.
Tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó
Bài 3: Tìm u1 và q của cấp số nhân biết: 
Bài 4: Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có: u3=12, u5=48.
Bài 5: Tìm u và q của cấp số nhân (un) biết: 
Bài 6: Tìm cấp số nhân (un) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai.
Bài 7: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó.
HẦN II. HÌNH HỌC
CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH
Câu 1: Trong mặt phẳng oxy,phép tịnh tiến theo vectơ biến điểm M(x;y) thành M’(x’;y’) . Tìm tọa độ điểm M'
Câu 2:Trong mặt phẳng oxy cho điểm M (1;2) .Phép tịnh tiến theo vectơ biến điểm M thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N.
Câu 3: Trong mặt phẳng oxy cho điểm A(4;5). Tìm điểm B(x,y) sao cho A là ảnh của điểm B qua phép tịnh tiến theo : 
Câu 4: Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+y -5=0 .Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến vectơ ?
Câu 5: Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-5)2 +(y-4)2 =36 . Phép tịnh tiến theo vectơ biến (C) thành (C’). Tìm phương trình (C')
Câu 6 :Cho hình vuông ABCD .Gọi O là giao điểm của hai đường chéo .Thực hiện phép quay tâm O biến hình vuông ABCD thành chính nó. Tìm số đo của góc quay đó?
Câu 7 : trong mp oxy cho điểm M( -2;4 ). Phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 biến điểm M thành điểm N. Tìm tọa độ điểm N
Câu 8 : trong mpoxy cho đường thẳng d có PT: 2x + y – 4 = 0. Phép vị tự tâm O tỉ số k = 3 biến d thành đường thẳng d'. Tìm phương trình d'?
Câu 9 : trong mpoxy cho đường tròn (C) có phương trình : ( x -1 )2 + y2 = 16. phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 biến (C) thành đường tròn (C'). Tìm phương trình (C')
CHƯƠNG 2. QUAN HỆ SONG SONG
Vấn đề 1 : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG a VÀ b :
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng a và b ta đi tìm hai điểm chung I ; J của a và b 	” a ÇÈ b = I J
Khi tìm điểm chung ta chú ý :
 	­ Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung 
	­ M Ỵ d và d Ì a ” M Ỵ a 
	­ ” M là điểm chung 
1. 1: 1)Cho tứ diện ABCD cĩ E là trung điểm của AB. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD)
 	 2)Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng trong (ABC) cắt AB; BC tại J ; K. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I,d) với các mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC)
1. 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S khơng nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm giao tuyến của : 
 a) (SAC) và (SBD)	b) (SAB) và (SCD)	 	c) (SAD) và (SBC)
 	2)Cho hình chĩp S.ABCDE. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) với các mặt phẳng (SAD) ; (SCE) 
1. 3: Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm trong DABC; N là điểm nằm trong DACD. Tìm giao tuyến của : a) (AMN) và (BCD)	b) (CMN) và (ABD)
1. 4: Cho tứ diện ABCD .M nằm trên AB sao cho AM = MB ; N nằm trên AC sao cho AN = 3NC; điểm I nằm trong DBCD. Tìm giao tuyến của : 
a) (MNI) và (BCD)	b) (MNI) và (ABD)	c) (MNI) và (ACD)
Vấn đề 2: 	TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG a
Giả sử phải tìm giao điểm d Ç a = ? 
 Phương pháp 1: 
 Tìm a Ì a 
 Chỉ ra được a ,d nằm trong cùng mặt phẳng và 
 chúng cắt nhau tại M 	” d ÇÈ a = M ( hình vẽ )
 Phương pháp 2: 
 Tìm b chứa d thích hợp 
 Giải bài tốn tìm giao tuyến a của a và b 
 Trong b : a ÈÇ d = M ” d È a = M ( hình vẽ b)
4.1: Cho tứ diện ABCD ; M là trung điểm AB; N và P lần lượt là các điểm nằm trên AC; AD sao cho AN : AC = 3 : 4 ; AP : AD = 2 : 3. Tìm giao điểm :
a) MN với (BCD)	b) BD với (MNP)	
c) Gọi Q là trung điểm NP.Tìm giao điểm của MQ với (BCD)
4. 2: A; B ; C ; D là bốn điểm khơng đồng phẳng. M; N lần lượt là trung điểm của AC; BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của :
a) CD với (MNP)	b) AD với (MNP)
4.3: Cho hình chĩp SABC ; O là điểm trong DABC ; D và E là các điểm năm trên SB ; SC.Tìm giao điểm của a) DE với (SAO)	b) SO với (ADE)
4.4: Cho tứ diện SABC. I ; H lần lượt là trung điểm SA; AB. Trên đoạn SC lấy điểm K sao cho CK = 3KS.
a)Tìm giao điểm của đường thẳng BC với (IHK) ?
b)Gọi M là trung điểm HI. Tìm giao điểm của đường thẳng KM với (ABC) ?
4.5: Gọi I ; J lần lượt là hai điểm nằm trong DABC; DABD của tứ diện ABCD. M là điểm tuỳ ý trên CD. Tìm giao điểm IJ và mặt phẳng (AMB) 
4.6: Hình chĩp SABCD đáy là hình bình hành ABCD. M là trung điểm SD
a)Tìm giao điểm I của BM và (SAC) ? Chứng minh : BI = 2IM ?
b)Tìm giao điểm J của của SA và (BCM) ? Chứng minh J là trung điểm SA ?
c) N là điểm tuỳ ý trên BC. Tìm giao điểm của MN với (SAC) ?
Vấn đề 3: 	THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG (a) VỚI KHỐI ĐA DIỆN
Lần lượt xét giao tuyến của a với các 
mặt của khối đa diện đồng thời xét giao điểm của 
các cạnh của đa diện với mặt phẳng a 
	Khi các đoạn giao tuyến tìm được khép
kín thành đa giác ta được thiết diện phải tìm.
 	Việc chứng minh tiết diện cĩ hình 
dạng đặc biệt như hình bình hành; hình thang ; 
. . . trong mặt phẳng a cũng nhờ vào quá trình 
đi tìm giao tuyến và giao điểm ở trên 
 	Trong phần này ta chỉ xét hai cách làm cơ bản :
I. Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến 
II.Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ 
5. 1: 1) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm AA’ ; AD ; DC . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua M; N; P với hình lập phương ?
 	 2) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm DC ; AD ; BB’. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình hộp và giao tuyến của (MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’)
5. 2: 1)Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành . Gọi E; F; K lần lượt là trung điểm của SA ; AB ; BC. Xác định thiết diện của hình chĩp và mặt phẳng đi qua ba điểm E; F ; K
 	 2) Cho hình chĩp S.ABCD. Gọi A’ ; B’ ; C’ lần lượt là các điểm nằm trên SA ; SB; SC. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A’B’C’) với hình chĩp
5. 3: Hình chĩp SABCD cĩ đáy ABCD là hình thang với AB là đáy . Gọi M ; N là trung điểm SB ; SC .
a)Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) ?
b)Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AMN) ?
c)Tìm tiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN) với hình chĩp 
d)Gọi N là một điểm trên cạnh AB .Tìm giao điểm của MN với (SBD) ?
5.4. Cho hình chĩp SABCD. Gọi I ; M ; N là ba điểm trên SA ; AB ; CD 
a) Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM) ?
b) Hãy xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với hình chĩp 
BÀI TẬP TỔNG HỢP 
1: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm 
SD; E là điểm trên cạnh BC
a) Tìm giao điểm N của SC với (AME) ?
b) Tìm giao tuyến của (AME) với (SAC) ?
c) Tìm giao điểm của K của SA với (MBC) ? Chứng minh K là trung điểm SA
2: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành .F là trung điểm CD; E là điểm trên cạnh SC sao cho SE = 2EC .Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình 
3: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành .I là trung điểm SD; E là điểm trên cạnh SB sao cho SE = 3EB .
a) Tìm giao điểm F của CD với mặt phẳng (AIE) ?
b) Tìm giao tuyến d của (AIE) với (SBC) ?
Vấn đề 6: MẶT PHẲNG SONG SONG
 Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp :
* Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia .
8.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi H,I,K lần lượt là trung điểm của SA,SB,SC.
	a) Chứng minh (HIK)// (ABCD).
	b) Gọi M là giao điểm của AI và KD, N là giao điểm của DH và CI .Chứng minh (SMN) //(HIK).
8.2 Cho hình hộp ABCD.ÁB’C’D’. 
	a) Chứng minh (BA’D) // (B’D’C).
b) Chứng minh AC’ qua trọng tâm G và G’ của tam giác A’BD và CB’D’
8.3 Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA ,CD.
	a) Cm: (OMN) //(SBC).
	b) Giả sử tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE,A F là các đường phân giác trong của tam giác ACD và SAB . Cm: E F //(SAD).
8.4 Cho hai hình vuông ABCD, ABE F không cùng nằm trong một mặt phẳng . Trên các đường chéo AC,BF lần lượt lấy các điểm M,N sao cho AM=BN . Các dường thẳng // AB vẽ từ M,N lần lượt cắt AD, A F tại M’,N’.
	a)Cm: (CBE) //(AD F).	b) Cm: (DE F)//(MNN’M’).