Đề cương ôn tập Toán lớp 11- Học kỳ 2

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 11- HỌC KỲ II
I. NỘI DUNG ÔN TẬP
A. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
- Phương pháp quy nạp, Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân.
- Giới hạn của dãy số. Giới hạn của hàm số. Hàm số liên tục và ứng dụng
- Đạo hàm và bài toán tiếp tuyến 
B. HÌNH HỌC
- Các bài toán về vec tơ trong không gian
- Quan hệ vuông góc cùng với các bài toán xác định góc, khoảng cách, tính diện tích
- Hệ thống các hình không gian: hình chóp đều, hình lăng trụ đứng, đều, hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
C. CHÚ Ý
- Yêu cầu học sinh làm tất cả các bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm cuối mỗi chương trong Sách giáo khoa, sách bài tập và làm thêm một số bài tập tham khảo sau đây.
- Những bài đánh dấu * dành riêng cho học sinh học ban tự nhiên.
II. MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO
A. Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân.
Bài 1: Chứng minh rằng:
 1. = (với mọi n nguyên dương).
 2. ( với mọi n ).
 3. 11n+1 + 122n – 1 chia hết cho 133 với mọi n N*.
 4*. (1 +a)n 1 + na + a2 với mọi n N*, a là hằng số dương.
Bài 2: Cho dãy số ( un ) với un = , n N* 1, Xét tính đơn điệu của dãy (un). 2, CM dãy (un) bị chặn.
Bài 3: Cho cấp số cộng (un) có: Tìm u1, d, S2012
Bài 4: Năm số lập thành cấp số cộng. Biết tổng của chúng bằng 15 và tích của chúng bằng 45, tìm năm số đó.
Bài 5*: 
1, CMR trong ABC: Nếu cotA, cotB, cotC lập thành cấp số cộng thì a2, b2, c2 cũng lập thành cấp số cộng.
2, Cho ABC có ba cạnh a,b,c lập thành cấp số cộng. 
Chứng minh rằng ac = 6Rr ( R,r là bán kính vòng tròn ngoại, nội tiếp tam giác).
Bài 6: Tìm m để pt 1, x4 - 2(2m-1)x2 + 3m = 0. có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
2, có 3 nghiệm phân biệt lập a, một cấp số cộng b, một cấp số nhân.
Bài 7: Cho cấp số nhân (un) có: Tìm u1, q, S2012, u2010.
Bài 8: Cho ba số có tổng bằng 26 lập thành cấp số nhân. Nếu lần lượt thêm vào ba số đó 1, 6, 3 thì được một cấp số cộng. Tìm ba số đã cho.
Bài 9: Cho dãy số (un) xác định bởi: n N*.,n2.
1, Xác định công thức tính số hạng tổng quát un. 2, Tính tổng u1 + u2 + +un+10
Bài 10: Tính tổng S= 9 + 99 + 999+  + 999 (số hạng thứ n tương ứng có n chữ số 9).
B. Giới hạn. hàm số liên tục
Bài 1: Tìm giới hạn dãy số
1. lim 2. lim 3. lim () 4. lim 
 6. lim với |a|<1. 7*. Lim 
Bài 2: Tìm giới hạn hàm số
1. 2. 3. 
4. 5*. 6*. 
 7. 8. 9. (-3x+2 + )
 10*.( – ) 11. 12. 
13. 14. 15. 
16*. 17. 18. .
Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số ;
 1. f(x) = tại x=1. 2. f(x) = tại x=2 (m là tham số)
Bài 4: Tìm a, b để hàm số sau liên tục trên R: f(x) = 
Bài 5: Chứng minh rằng:
1, Phương trình 2x3 – 7x +1 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.
2, Phương trình a(x-b)(x-c)+b(x-a)(x-c)+c(x-a)(x-b) = 0 có nghiệm với R.
3*, Phương trình x4 – x – 3 = 0 có nghiệm lớn hơn .
4, Phương trình luôn có ít nhất một nghiệm với mọi giá trị của tham số m.
III. ĐẠO HÀM
Bài 1: Chứng minh rằng:
1, Hàm số f(x) = liên tục tại x=0 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.
2, Hàm số f(x) = liên tục tại x=2 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.
Bài 2*: Tìm a,b để hàm số f(x) = có đạo hàm tại x =1.
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1. y = x3-3x2 – + 3 + 2 sinx 2. y = 3. y = (x2 -11)(2x3 – x2 + x – 3) 4. y= 
5. y = (x8 – x)10 6. y = x 7. y= 8. y = cos 9.y=sin(cos23x) 10*. y= sin [cos2(tan3x) ]
11, 12, 13, 14, 15, 
Bài 4: Cho hàm số y = x3 +3x+ 2 có đồ thi (C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết:
1, Tiếp điểm có hoành độ x0 = 2. 2, Tiếp điểm có tung độ y0 = 6. 3, Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d có phương trình . 4, Tiếp tuyến tạo với tia Ox góc 600. 5, Tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;1).
Bài 5 1.Cho hàm số y = x3 – sin x + 2x – 13 . Chứng minh rằng: y” – x – sin x = 0.
2. Cho hàm số y = . Chứng minh rằng: a. 2 y’ =y b. 4(1 + x2)y” + 4xy’ – y = 0.
Bài 6: Giải phương trình f’(x) = 0 biết:
1, f(x) = cos 2x – 5 cosx 2, f(x) = cosx + sinx – 2x – 5 3, 
Bài 7*: Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
 1. y = . 2. y = sinx; 3. y= sin4x +cos4x; 4. y= 
Bài 8 Chứng minh rằng các hàm số sau thoả mãn các hệ thức:
a, thoả mãn: . b, y = cot2x thoả mãn y’ + 2y2 + 2 = 0
c, thỏa mãn d, y = a.cosx +b.sinx thỏa mãn hệ thức: y’’ + y = 0 .
Bài 9 Giải phương trình : y’ = 0 biết rằng:
1, 
2, 
3, 
4, 
5, 
6, 
7, 
8, 
9, 
10, 
11, 
Bài 10 Giải các bất phương trình sau:
1, y’ > 0 với 2, y’ < 4 với 3, y’ ≥ 0 với 
4, y’>0 với 5, y’≤ 0 với 6, với 
Bài 11 Cho hàm số .
1, Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình y’ = 0
a, Có 2 nghiệm b, Có 2 nghiệm trái dấu. c, Có 2 nghiệm dương d, Có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu.
2, Tìm m để y’ > 0 với mọi x.
PHẦN B. HÌNH HỌC.
Bài 1: Cho tam giác ABC. Dựng hai hình bình hành ABEF và ACHK nằm trong hai mặt phẳng khác nhau và khác với mp(ABC). 1, CM ba véc tơ EF, EH và BC đồng phẳng. 2, Gọi I, J, L lần lượt là trung điểm của FK, EH và BC. Chứng minh tứ giác AIJL là hình bình hành. 3, CM ba véc tơ CH, LJ, BE đồng phẳng.
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, AB = 4a, AD = a. Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại A lấy điểm S sao cho . Gọi () là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, () cắt SB, SC,SD lần lượt tại M, N, P. 1, Chứng minh: AM SB, AP SD và SM.SB = SN.SC = SP.SD = SA2. 2, Tìm điểm E cách đều 5 điểm S,A,B,C,D. 3, Tìm điểm F cách đều 7 điểm A,B,C,D,M,N,P. 4, Chứng minh tứ giác AMNP nội tiếp và tính diện tích tứ giác AMNP. 5, Tính góc giữa các cạnh bên với mặt đáy. 6, Tính góc giữa các mặt bên và mặt đáy. 7, Tính góc giữa (SBD) và (ABCD). 8, Tính góc giữa BD và SC. 9, Tính khoảng cách từ A, O đến mp(SBC). 10, Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mp(SCD).
 11*. Tìm điểm A’ trên AB sao cho diện tích tam giác SA’C nhỏ nhất.
Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SO=2a . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB,CD. 1, Tính độ dài các cạnh bên của hình chóp. 2, Chứng minh: (SỊJ) (SCD). Tính khoảng cách từ O đến (SCD). 3, Tính khoảng cách giữa AB và SC. 4, Tính góc giữa SC và (SBD). 5, Tính góc giữa (SAB) và (SCD). 6, Tính góc giữa (SAD) và (SDC). 7, Giả sử hình vuông ABCD cố định, S di động trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABCD) tại O. Chứng minh hình chiếu vuông góc của O trên mp(SCD) luôn luôn nằm trên một đường tròn cố định.
Bài 4: Cho tứ diện đều SABC cạnh 2a. Gọi I là trung điểm BC. M là điểm nằm trên đoạn thẳng SI sao cho IM/IS = 3/5. 1.Tính cosin của góc AIS và độ dài AM. 2, Gọi () là mphẳng chứa AM và song song vói BC. Tính diện tích thiết diện tạo bới () và tứ diện. 3, Tính khoảng cách từ I đến ().4, Tính góc giữa AB và ().
Bài 5: Cho tam giác đều SAD và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi I,M,F lần lượt là trung điểm của AD,AB,SB; K là giao điểm của CM và BI. 1, Chứng minh: (CMF) (SIB).
2, Chứng minh: BKF cân. 3, Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và SD.
4, Tính khoảng cách giữa CM và SA.
Bài 6*: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. 1, Nếu cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ cùng bằng a . Gọi M,N,E lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CC’,C’A’ và mặt phẳng (P) đi qua M,N,E.
a, Xác định thiết diện của (P) cắt lăng trụ. Chứng minh (P) (AA’B’B). b, Tính diện tích thiết diện.
c, Tính tổng diện tích tất cả các mặt của hình lăng trụ.
2, Tìm hệ thức liên hệ giữa cạnh bên và cạnh đáy của lăng trụ để A’B B’C.
Bài 7*: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
1, Tính khoảng cách và góc giữa AC’ và A’B. 2, Tính khoảng cách và góc giữa AC và A’B.
Bài 8 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy a , cạnh bên . Tính tổng diện tích các mặt bên của hình chóp S.ABC và tính khoảng cách từ mỗi đỉnh của đáy đến mặt bên đối diện. 
Bài 9 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và khoảng cách từ G đến mặt bên SCD bằng a . Tính khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên SCD và tổng diện tích các mặt của hình chóp S.ABCD 
Bài 10* Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm SB , SC . Biết (AMN) vuông góc (SBC) . Tính theo a diện tích tam giác AMN 
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ THAM KHẢO- Thời gian 100 phút- Đề tham khảo giúp học sinh biết cấu trúc đề.
A. Phần chung ( Dành cho tất cả học sinh )
Câu 1 (2 điểm) Cho bốn số lập thành một cấp số cộng, biết rằng tổng của chúng bằng 16 và 
tổng các bình phương của số hạng thứ nhất và số hạng thứ tư bằng 50. Tìm cấp số cộng đó .
Câu 2 (1,5 điểm) Tính các giới hạn sau 
 a. b. . 
Câu 3 (1,5 điểm)
 a. Cho hàm số . Chứng minh rằng : y ’ = .
b. Cho , giải bất phương trình f ’(x) < 0 .
Câu 4 (2 điểm) Cho tứ diện ABCD , có AB, BC, CD đôi một vuông góc với nhau và cùng có 
độ dài bằng a . Gọi C’ và D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm B trên AC và AD . 
a. Chứng minh rằng hai mặt phẳng ( ABC) và (ACD ) vuông góc với nhau .
b. Tính diện tích tam giác AC’D’ theo a.
B. Phần riêng ( Học sinh chỉ được làm phần đề riêng theo ban mình học )
Phần A: Ban khoa học cơ bản 
Câu 5a (2 điểm) 
a. Cho Giải phương trình f ’(x) = (1)
b. Cho hàm số , có đồ thị là (C). Trong tất cả các tiếp tuyến của (C) , hãy viết phương trình tiếp tuyến cú hệ số gúc nhỏ nhất .
Câu 6a (1 điểm) Cho tứ diện ABCD , biết AB = CD = 2x ( x > 0 ) và các cạnh còn lại đều có độ dài bằng 1. Tìm giá trị của x để hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vuông góc với nhau.
Phần B : Ban khoa học tự nhiên 
Câu 5b (2điểm) 
a. Cho . Tính f ’.
b. Chứng minh rằng trên đồ thị (C) của hàm số , có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại các cặp điểm đó song song song với nhau.
Câu 6b( 1điểm) Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là các điểm di động trên các cạnh AB, AC sao cho hai mặt phẳng (DMN) và (ABC) luôn vuông góc với nhau. Đặt AM = x, AN = y . Chứng minh rằng : x + y = 3xy.
HẾT