Đề cương ôn tập Toán lớp 11 học kỳ II

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ( HÀ NỘI )
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN LỚP 11.
HỌC KỲ II_NĂM HỌC 2008-2009.
PHẦN A. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH.
Kiến thức cần ôn tập:
 Chương III: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân.
 Chương IV: Giới hạn của dãy số. Giới hạn của hàm số. Hàm số liên tục.
 Chương V: Đạo hàm.
Yêu cầu học sinh làm tất cả các bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm cuối mỗi chương trong Sách giáo khoa, sách bài tập và làm thêm một số bài tập tham khảo sau đây.
 Chú ý:Những bài đánh dấu * dành riêng cho học sinh học theo chương trình Toán nâng cao.
I.Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân.
Bài 1: Chứng minh rằng:
 1. = 1+ 2++ n (với mọi n nguyên dương).
 2. ( với mọi n ).
 3. 11n+1 + 122n – 1 chia hết cho 133 với mọi n N*.
 4*. (1 + h)n 1 + nh + h2 với mọi n N*, h là hằng số dương.
Bài 2: Cho dãy số ( un ) với un = , n N* 
Xét tính đơn điệu của dãy (un).
Chứng minh dãy (un) bị chặn.
Bài 3: Cho cấp số cộng (un) có: Tìm u1, d, S2005
Bài 4: Năm số lập thành cấp số cộng. Biết tổng của chúng bằng 15 và tích của chúng bằng 45, tìm năm số đó.
Bài 5*: 
Chứng minh rằng trong ABC: Nếu cotA, cotB, cotC lập thành cấp số cộng thì a2, b2, c2 cũng lập thành cấp số cộng.
Cho ABC có ba cạnh a,b,c lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng: 
 ac = 6Rr ( R,r là bán kính vòng tròn ngoại, nội tiếp tam giác).
Bài 6: Cho phương trình: x4 + 2(2m+1)x2 – 3m = 0. Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
Bài 7: Cho cấp số nhân (un) có: Tìm u1, q, S2005, u2005.
Bài 8: Cho ba số có tổng bằng 26 lập thành cấp số nhân. Nếu lần lượt thêm vào ba số đó 1, 6, 3 thì được một cấp số cộng. Tìm ba số đã cho.
Bài 9: Cho dãy số (un) xác định bởi: n N*.,n2.
Xác định công thức tính số hạng tổng quát un.
Tính tổng u1 + u2 + + un.
Bài 10: Tính tổng S= 8 + 88 + 888 +  + 888 (n chữ số 8).
II. Giới hạn. hàm số liên tục
Bài 1: Tìm giới hạn dãy số
1. lim 2. lim 3. lim () 4. lim 
 6. lim với |a|<1. 7*. Lim 
Bài 2: Tìm giới hạn hàm số
1. 2. 3. 
4. 5*. 6*. 
 7. 8. 9. ( -3x + )
 10*.( – ) 11. 12. 
13. 14. 15. 
16*. 17. 18. .
Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số ;
 1. f(x) = tại x=1. 2. f(x) = tại x=2.
Bài 4: Tìm a, b để hàm số liên tục trên R: f(x) = 
Bài 5: Chứng minh rằng:
Phương trình 2x3 – 7x +1 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Phương trình a(x-b)(x-c)+b(x-a)(x-c)+c(x-a)(x-b) = 0 có nghiệm với R.
3*. Phương trình x4 – x – 3 = 0 có nghiệm lớn hơn .
III. Đạo hàm
Bài 1: Chứng minh rằng:
Hàm số f(x) = liên tục tại x=0 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.
Hàm số f(x) = liên tục tại x=1 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.
Bài 2*: Tìm a,b để hàm số f(x) = có đạo hàm tại x =1.
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
 1. y = x3 -3x2 – + 3 + 2 sinx 2. y = 
 3. y = (x2 -11)(2x3 – x2 + x – 3) 4. y= 
 5. y = (x8 – x)100. 6. y = 
 7. y= 8. y = cos 
 9. y = sin(cos3x) 10*. y= sin [cos2(tan3x) ].
Bài 4: Cho hàm số y = x3 + 2 có đồ thi (C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết:
Tiếp điểm có hoành độ x0 = 2.
Tiếp điểm có tung độ y0 = 10.
 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y = x+1.
Tiếp tuyến tạo với tia Ox góc 600.
Tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;1).
Bài 5: 
 1.Cho hàm số y = x3 – sin x + 2x – 3 . Chứng minh rằng: y” – x – sin x = 0.
 2.Cho hàm số y = . Chứng minh rằng:
 a. 2 y’ =y b. 4(1 + x2)y” + 4xy’ – y = 0.
Bài 6: Giải phương trình f’(x) = 0 biết:
f(x) = cos 2x – 5 cosx
f(x) = cosx + sinx – 2x – 5 
Bài 7: Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
 1. y = . 2. y = sinx; 3*. y= sin4x +cos4x; 4*. y= 
PHẦN B. HÌNH HỌC.
Kiến thức cần ôn tập:
 - Véc tơ trong không gian.
 - Quan hệ vuông góc.
Yêu cầu học sinh làm tất cả các bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm cuối mỗi chương trong sách giáo khoa, sách bài tập và làm thêm một số bài tập sau.
Bài 1: Cho tam giác ABC. Dựng hai hình bình hành ABEF và ACHK nằm trong hai mặt phẳng khác nhau và khác với mp(ABC).
Chứng minh ba véc tơ EF, EH và BC đồng phẳng.
Gọi I, J, L lần lượt là trung điểm của FK, EH và BC. Chứng minh tứ giác AIJL là hình bình hành.
Chứng minh ba véc tơ CH, LJ, BE đồng phẳng.
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, AB = 2a, AD = a. Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại A lấy điểm S sao cho SA = a . Gọi () là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC, () cắt SB, SC,SD lần lượt tại M, N, P.
Chứng minh: AM SB, AP SD và SM.SB = SN.SC = SP.SD = SA2.
Tìm điểm I cách đều 5 điểm S,A,B,C,D.
Tìm điểm J cách đều 7 điểm A,B,C,D,M,N,P.
Chứng minh tứ giác AMNP nội tiếp và tính diện tích tứ giác AMNP.
Tính góc giữa các cạnh bên với mặt đáy.
Tính góc giữa các mặt bên và mặt đáy.
Tính góc giữa (SBD) và (ABCD).
Tính góc giữa BD và SC.
Tính khoảng cách từ A, O đến mp(SBC).
10.Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mp(SCD).
 11*. Tìm điểm A’ trên AB sao cho diện tích tam giác SA’C nhỏ nhất.
Bài 3: Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O,
SO =a/2 . Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB,CD.
Tính độ dài các cạnh bên của hình chóp.
Chứng minh: (SỊJ) (SCD). Tính khoảng cách từ O đến (SCD).
Tính khaỏng cách giữa AB và SC.
Tính góc giữa SC và (SBD).
Tính góc giữa (SAB) và (SCD).
Tính góc giữa (SAD) và (SDC).
Giả sử hình vuông ABCD cố định, S di động trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABCD) tại O. Chứng minh hình chiếu vuông góc của O trên mp(SCD) luôn luôn nằm trên một đường tròn cố định.
Bài 4: Cho tứ diện đều SABC cạnh a. Gọi I là trung điểm BC. M là điểm nằm trên đoạn thẳng SI sao cho IM/IS = 3/5. 
 1.Tính cos AIS và độ dài AM.
 2. Gọi () là mặt phẳng chứa AM và song song vói BC. Tính diện tích thiết diện tạo bới () và tứ diện.
 3. Tính khoảng cách từ I đến ().
 4. Tính góc giữa AB và ().
Bài 5: Cho tam giác đều SAD và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Gọi I,M,F lần lượt là trung điểm của AD,AB,SB; K là giao điểm của CM và BI.
Chứng minh: (CMF) (SIB).
Chứng minh: BKF cân.
Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và SD.
Tính khoảng cách giữa CM và SA.
Bài 6*: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’.
Nếu cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ cùng bằng a . Gọi M,N,E lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CC’,C’A’ và mặt phẳng (P) đi qua M,N,E.
Xác định thiết diện của (P) cắt lăng trụ. Chứng minh (P) (AA’B’B).
Tính diện tích thiết diện.
Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của lăng trụ.
Tìm hệ thức liên hệ giữa cạnh bên và cạnh đáy của lăng trụ để A’B B’C.
Bài 7*: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
Tính khoảng cách và góc giữa AC’ và A’B.
Tính khoảng cách và góc giữa AC và A’B.
Chúc các em ôn tập và thi học kỳ thật tốt!
Đáp số:
PHẦN A. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH:
Bài 2/I: Dãy giảm , bị chặn dưới bởi 0; chặn trên bởi 2/3.
Bài 3/I: u1 = 1 ; d= 3 ; S =3007.2005 
Bài 4/I: Gọi 5 số là: a-2d,a-d,a,a+d,a+2d với d>0.Tìm được a=3.
Bài 5/I: 1. Áp dụng ct: cotA=; 2. r=4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2).
CM:tan(A/2).tan(C/2)=1/3 (Vì a,b,c lập thành cấp số cộng).
Bài 6/I: m=-3.Bài 7/I: q=3;1/3;.Bài 8/I: 2;6;18.Bài 9/I:un=2n-1+1
Bài 10/I:S= (HD: S=8/9[(10-1)+(102-1)++(10n-1) ])
Bài 1/II: 1) – 3; 2) +; 3) +; 4) -1/15; 5) 2/3; 6) 1/1+a; 7*) - 
Bài 2/II: 1) 1/2; 2) 1/2 ; 3) -3/2; 4) -11/10; 5*)-3/16; 6*) 61/15; 7)-1; 8) 3/8. 
9) -1/6 và+ ; 10) 0 và +; 11) =+;=1/2; 12) 0; 13) a/b; 14) 1/8; 15) 1/2;
16*) 7; 17) 12; 18) 0
Bài 3/II: 1) liên tục; 2) không liên tục. Bài 4/II: a=3,b= - 8; Bài 5/II: 1)Tính 
f(-2),f(0),f(1),f(2); 2) Tình(a),f(b),f(c); 3) f( ) 0.
Bài 1/III: 1) f’(0+)= -2, f’(0 -)= 2; 2) f’(1+)=1/5, f’(1 -)= -1/5; Bài 2*/III: a=1,b= -1; 
Bài 3/III: 1) y’= 3x2 – 6x +2x -2 + x -1/2+ 2cosx; 2) y’= 
3) y’= 10x4 - 4x3 – 36x2 + 16x – 11; 4) -2/ (sinx – cosx)2; 5) y’ = 100(x8-x)99(8x7 -1);
6) y’= ; 7) - ; 8) ; 9) -3 sin3x. cos(cos3x);
10*) y’ = -6cos(cos2(tan3x)).cos(tan3x).sin(tan3x).tan2x.(1/cos2x).
 Bài 4/III: 1) y=12x – 14; 2) y=12x – 14; 3) y=3x và y= 3x+4; 4)y = x;
 5) y= 3x+4 và y= x + ;
Bài 6/III: 1) x = k; 2) x = - 
Bài 7/III: 1) y(n) = ( - 1)n.2n.n! (2x+1) –n-1; 2) y(n) = sin ( x + n.); 3*) y = + cos4x
Y(n) = - 4n. sin [4x + (n -1). ]; 4*) y = , y(n) = (-1)n [7.(x-3)-n-1 – 5(x-2)-n-1 ]