Đề cương ôn tập Toán Lớp 7 - Chương 1: Số hữu tỉ - Bài 1: Tập hợp số hữu tỉ (Phần 1)

CHƯƠNG 1: SỐ HỮU TỈ
Bài 1: TẬP HỢP SỐ HỮU TỈ
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm số hữu tỉ và biểu diễn số hữu tỉ trên trục số: 
a) Khái niệm: Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng phân số với 
Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là .
*) Chú ý: Mỗi số hữu tỉ đều có một số đối. Số đối của số hữu tỉ là 
*) Nhận xét: Các số thập phân đều viết được dưới dạng phân số thập phân nên chúng đều là các số hữu tỉ. Số nguyên, hỗn số cũng là các số hữu tỉ
b) Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số
+ Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số: Tương tự như đối với số nguyên, ta có thể biểu diễn mọi số hữu tỉ trên trục số
+ Trên trục số, điểm biểu diễn số hữu tỉ được gọi là điểm 
+ Nhận xét: Trên trục số, hai điểm biểu diễn hai số hữu tỉ đối nhau và nằm về hai phía khác nhau só với điểm và có cùng khoảng cách đến 
2. Thứ tự trong tập hợp các số hữu tỉ
+ Ta có thể so sánh hai số hũu tỉ bất kì bằngg cách viết chúng dưới dạng phân số rồi só sánh hai phân số đó
+ Với hai số hữu tỉ ta luôn có hoặc hoặc hoặc . 
+ Cho ba số hữu tỉ , ta có:
Nếu và thì (tính chất bắc cầu)
+ Trên trục số, nếu thì điểm nằm trước điểm 
*) Chú ý:
+ Số hữu tỉ lớn hơn 0 được gọi là số hữu tỉ dương;
+ Số hữu tỉ nhỏ hơn 0 được gọi là số hữu tỉ âm.
+ Số 0 không là số hữu tỉ dương cũng không là số hữu tỉ âm.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Nhận biết các số hữu tỉ, quan hệ trên tập hợp số
Phương pháp giải:
+ Muốn xác định xem một số có là số hữu tỉ hay không, ta hãy biến đổi xem số đó có dạng với hay không.
+ Mối quan hệ giữa các tập hợp số đã biết với tập hợp số hữu tỉ: .
+ Sử dụng các kí hiệu để biểu diễn mối quan hệ giữa số và tập hợp hoặc giữa các tập hợp với nhau.
Bài 1:
Cho các số sau: , hãy cho biết số nào là số hữu tỉ, số nào không phải là số hữu tỉ?
Lời giải
Ta viết: . Vậy các số hữu tỉ là 
Số không phải số hữu tỉ là (vì có mẫu số là 0).
Bài 2:
Số nguyên có là số hữu tỉ không? Vì sao?
Lời giải
Vì các số nguyên đề có thể viết được dưới dạng phân số với mẫu số là 1 nên các số nguyên đều là số hữu tỉ.
Bài 3:
Điền kí hiệu thích hợp vào ô trống:





Lời giải
Bài 4:
Điền kí hiệu thích hợp vào ô trống:





Lời giải
Bài 5:
Điền các kí hiệu vào ô trống cho đúng (điền tất cả các khả năng có thể):
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải
a) Có thể điền 
b) Có thể điền 
c) Có thể điền 
d) Có thể điền 
Bài 6:
Điền các kí hiệu thích hợp vào ô trống:
Hướng dẫn giải
Bài 7:
Điền các kí hiệu thích hợp vào ô trống:
Lời giải
Chú ý:
+ Kí hiệu là “thuộc”.
+ Kí hiệu là “không thuộc”.
+ Kí hiệu là “tập hợp con”.
+ Kí hiệu là “chứa trong” hoặc “chứa”.
+ Kí hiệu là “tập hợp các số tự nhiên”.
Bài 8:
Điền kí hiệu thích hợp và ô trống:
Lời giải
Bài 9:
Điền các kí hiệu thích hợp vào ô trống (điền tất cả các khả năng có thể):
Lời giải
Bài 10:
Khẳng định nào dưới đây sai?
A. Số 19 là một số tự nhiên.	B. Số là một số nguyên âm.
C. Số là một số hữu tỉ.	D. Số 0 là một số hữu tỉ dương.
Lời giải
Chọn đáp án D
Vì số 0 không là số hữu tỉ âm, cũng không là số hữu tỉ dương.
Bài 11:
Viết Đ vào ô có khẳng định đúng và S vào ô có khẳng định sai:
1. Số nguyên là số hữu tỉ	 
2. Số nguyên âm không là số hữu tỉ âm	 
3. Tập hợp gồm các số hữu tỉ âm và các số hữu tỉ dương	 
4. Số là số hữu tỉ	 
5. Số không là số hữu tỉ	 
Lời giải
1. Đ	2. S	3. S	
4. Đ	5. S
Bài 12:
Các số hữu tỉ sau là âm hay dương?
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 
Lời giải
Số hữu tỉ dương là 
Số hữu tỉ âm là ; ; ; 
Bài 13:
Các số hữu tỉ sau là âm hay dương?
a) 	b) 	
c) 	d) 	
Lời giải
a) là số hữu tỉ dương
b) là số hữu tỉ dương
c) là số hữu tỉ âm
d) không là số hữu tỉ âm cũng không là số hữu tỉ dương.
Bài 14:
Tìm số đối của các số sau: 
Lời giải
Số đối của lần lượt là 
Bài 15:
Tìm số đối của các số sau: 
Lời giải
Số đối của lần lượt là 
Bài 16:
Dãy số nào dưới đây cùng biểu diễn một số hữu tỉ
a) 	b) 
c) 	d) 
Lời giải
a) Ta có: . Dãy số này không biểu diễn một số hữu tỉ
b) Ta có: . Dãy số này không biểu diễn một số hữu tỉ
c) . Dãy số này không biểu diễn một số hữu tỉ
d) . Dãy số này không biểu diễn một số hữu tỉ
Bài 17:
Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ , từ đó rút ra dạng tổng quát của các phân số bằng phân số .
Lời giải
Rút gọn các phân số ta được: 
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ là 
Dạng tổng quát của các phân số bằng phân số là 
Bài 18:
a) Tìm 3 phân số bằng cạc phân số 
b) Tìm 3 phân số bằng cạc phân số 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
Bài 19:
Viết dạng chung của các số hữu tỉ bằng:
a) 	b) 
Lời giải
a) Ta có: 
Vậy dạng chung của số hữu tỉ là với 
a) Ta có: 
Vậy dạng chung của số hữu tỉ là với 
Bài 20:
Cho các số sau: . Hãy cho biết số nào là số hữu tỉ, số nào không phải là số hữu tỉ?
Lời giải
Các số hữu tỉ là 
Số không phải là số hữu tỉ là 
Bài 21:
Các số hữu tỉ sau là âm hay dương?
; ; ; 
Lời giải
Số hữu tỉ dương là: ;
Số hữu tỉ âm là: ;
Bài 22:
Tìm số đối của các số:.
Lời giải
Số đối của lần lượt là: 
Bài 23:
Trong các phân số sau, những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ ?
Lời giải
Ta có . Rút gọn các phân số đã cho ta được:
Vậy các phân số biểu diễn số hữu ti là: .
Bài 24:
Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên cùng một trục số.
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 
Lời giải
Ta có: ; ; ; .
Bài 25:
Hãy tìm năm phân số bằng phân số .
Lời giải
Năm phân số bằng phân số là: 
Bài 26:
Tìm số nguyên để các số sau là số hữu tỉ:
a) 	b) 	c) 
Lời giải
a) Để là số hữu tỉ thì 
b) Để là số hữu tỉ thì và . Suy ra là số nguyên khác .
c) Để là số hữu tỉ thì và . Suy ra là số nguyên khác .
Bài 27:
Tìm số nguyên để các số sau là số hữu tỉ:
a) 	b) 
Lời giải
a) Để là số hữu tỉ thì và . 
Vậy khi là số nguyên khác thì là số hữu tỉ
b) Để là số hữu tỉ thì và . 
Vậy khi là số nguyên khác thì là số hữu tỉ.
Bài 28:
Tìm tất cả các số nguyên để các phân số sau có giá trị là số nguyên:
a) 	b) 
Lời giải
a) 
Ư(6)	
, 
b) . Làm tương tự câu a ta được .
Bài 29: 
Cho số thỏa mãn . Hỏi số có là số hữu tỉ không?
Lời giải
 không thể là số hữu tỉ.
Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ
Bài toán 1: Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số
*) Phương pháp giải:
Để biểu diễn một số hữu tỉ trên trục số, ta thường làm như sau:
Bước 1. Ta viết số đó dưới dạng phân số có mẫu dương. Khi đó mẫu của phân số sẽ cho ta biết đoạn thẳng đơn vị được chia thành bao nhiêu phần bằng nhau.
Bước 2. Lấy đoạn thẳng mới làm đơn vị.
Bước 3. Số hữu tỉ dương (âm) nằm bên phải (trái) điểm 0 và cách điểm 0 một khoảng bằng giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ đó.
Bài 1: 
Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số.
Lời giải
Chia các đoạn thẳng đơn vị ra làm 4 phần bằng nhau.
Lấy đoạn thẳng mới làm đơn vị (bằng đơn vị cũ).
Lấy điểm nằm bên trái điểm 0, cách điểm 0 một đoạn bằng 3 đơn vị mới.
Điểm vừa lấy là điểm phải tìm.
Bài 2: 
Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số.
Lời giải
Ta có 
Chia các đoạn thẳng đơn vị ra làm 5 phần bằng nhau.
Lấy đoạn thẳng mới làm đơn vị (bằng đơn vị cũ).
Lấy điểm nằm bên trái điểm 0, cách điểm 0 một đoạn bằng 3 đơn vị mới.
Điểm vừa lấy là điểm phải tìm.
Bài 3: 
Điền số thích hợp vào chỗ trống:
Lời giải
Bài 4: 
Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số.
Lời giải
Biểu diễn số hữu tỉ 
Biểu diễn số hữu tỉ 	
Biểu diễn số hữu tỉ 
Bài toán 2: Biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng các phân số bằng nhau
*) Phương pháp giải:
Số hữu tỉ thường được biểu diễn dưới dạng phân số tối giản với .
Bài 1
Cho các phân số sau: 
Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ ?
Hướng dẫn giải
Ta có . Rút gọn các phân số đã cho ta được: 
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ là: và .
Bài 2:
Biểu diễn các số hữu tỉ sau trên trục số: 
Lời giải
Biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số như sau:
Bài 3:
Cho các phân số sau . Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ ?
Lời giải
Ta có: .
Rút gọn các phân số đã cho ta được: 
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ là: và .
Bài 4:
a) Cho các phân số . Những phân số nào biểu diễn số hữu tỉ ?
b) Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số.
Lời giải
a) Ta có: 
Vậy các phân số biểu diễn số hữu tỉ là: và .
b) Biểu diễn các số hữu tỉ trên trục số như sau:
Bài 5:
Trong các phân số sau, phân số nào không bằng phân số ?
A. 	B. 	
C. 	D. 
Lời giải
Các đáp án B, C, D sau khi rút gọn ta đều được phân số .
Bài 6:
Biểu diễn các số: bởi các điểm trên cùng một trục số ta được bao nhiêu điểm phân biệt?
A. Một điểm.	B. Hai điểm.	
C. Ba điểm.	D. Bốn điểm.
Lời giải
Đưa các số hữu tỉ về dạng phân số tối giản, ta có: 
Vậy các số trên cùng biểu diễn bởi điểm trên trục số.
Bài 7:
Trong các phân số có bao nhiêu phân số bằng phân số ?
A. 1.	B. 2.	
C. 3.	D. 4.
Lời giải
Vậy có hai phân số biểu diễn phân số .
Dạng 3: So sánh hai số hữu tỉ
*) Phương pháp giải:
+ Viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số có cùng mẫu dương: So sánh các tử số, phân số nào có tử nhỏ hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
+ So sánh các số trung gian ();
+ So sánh với phần hơn hoặc phần bù;
+ So sánh thương hai số hữu tỉ (khác ) với ;
+ Áp dụng tính chất bắc cầu và các bất đẳng thức đã chứng minh trong bài
Bài 1:
So sánh các số hữu tỉ sau: và .
Hướng dẫn giải
Ta có 
Vì nên hay 
Bài 2:
So sánh các số sau: 
a)  và ;	b)  và ;	c)  và .
Hướng dẫn giải
a) Ta có và nên .
b) Ta có . Vì nên 
c) Ta có: và . Do đó 
Bài 3:
So sánh các số hữu tỉ sau:
a)  và ;	b)  và ;	c)  và .
Hướng dẫn giải
a) Ta thấy nên ta so sánh hai phân số qua phần bù
Ta có 
Vì nên hay 
b) Ta thấy nên ta so sánh hai phân số bằng cách cộng thêm 1.
Ta có 
Vì nên hay .
c) Ta có nên 
Lại có nên 
Do đó .
Chú ý:
Ngoài phương pháp so sánh bằng cách quy đồng mẫu số, ta có thể sử dụng các phương pháp khác như:
+ So sánh qua một phân số trung gian.
+ So sánh qua phần bù.
+ Đưa về so sánh hai phân số có cùng tử số.

Bài 4:
So sánh các số hữu tỉ sau:
a)  và ;	b)  và ;	
c)  và ;	d) và .
Lời giải
a) Ta có 
Vì nên hay .
b) Ta có 
Vì nên hay 
c) Ta có 
Vì nên hay 
d) Ta có 
Suy ra .
Bài 5:
So sánh các số hữu tỉ sau:
a)  và ;	b)  và ;	
c)  và ;	d) và .
Lời giải
a) Ta có 
Vì nên hay 
b) Ta có 
Vì nên hay 
c) Ta có 
Vì nên hay 
d) Ta có nên .
Bài 6:
Sắp xếp các số hữu tỉ theo thứ tự giảm dần.
Lời giải
Vì nên 
Sắp xếp các số theo thứ tự giảm dần: 
Bài 7:
Sắp xếp các số hữu tỉ theo thứ tự tăng dần.
Lời giải
Có nên . Suy ra 
Lại có nên 
Vậy .
Sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần: 
Bài 8: 
So sánh các số hữu tỉ sau.
a) và 	b) và 
c) và 	d) và 
Lời giải
a) và 
 Vì nên 
b) và 
Vì nên 
c) và 
Ta có: ; 
Vì nên 
d) và 
Ta có: 
Vậy 
Bài 9: 
So sánh các số hữu tỉ sau:
a) c).
Lời giải
a) Ta có 
b) Ta có 
c) Ta có 
Bài 10: 
Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự giảm dần: 
Lời giải
Ta có : 
Các số được sắp xếp theo thứ tự giảm dần là:
Bài 11: 
Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự tăng dần.
Lời giải
Ta có : 
Các số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: 
Bài 12: 
So sánh các số hữu tỉ sau một cách nhanh nhất:
a) 	 	
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
c) Ta có: 
Bài 13: 
So sánh các số hữu tỉ sau một cách nhanh nhất:
a) 
b) b) 
c) 
Lời giải
a) 
Ta có:
Vậy 
b) 
 Ta có: 
Vậy 
c) 
Ta có:
Vậy 
Bài 14: 
So sánh các số hữu tỉ sau một cách nhanh nhất:
a) 	b) 	c) 
Lời giải
a) Ta có: 
b) Ta có: 
c) Ta có: 
Bài 15: 
So sánh các số hữu tỉ sau một cách nhanh nhất:
a) 
b) 
c) và 	 
Lời giải
Ta có . Ta lại có 
Vậy .
b) Ta có: 
c)Ta có: 
Mà 
Vậy 
Bài 16: 
So sánh các số hữu tỉ sau một cách nhanh nhất:
a) và 	b) và c) và 
Lời giải
a) và 
Ta có : 
Vậy 
b) và 
Ta có: 
Vậy . 
c) và
Ta có: . Vậy 	
Bài 17: 
Quy đồng rồi sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự từ bé đến lớn: 
Lời giải
Ta thực hiện quy đồng mẫu số với mẫu số chung là 12: 
Do 
Bài 18: 
Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự từ lớn đến bé: 
Lời giải
Các số hữu tỉ dương: Sắp xếp theo thứ tự từ lớn đến bé ta được: 
Các số hữu tỉ âm: Sắp xếp theo thứ tự từ lớn đến bé ta được: 
Vậy sắp xếp theo thứ tự từ lớn đến bé ta được: 
Bài 19: 
Lớp có  số học sinh thích học toán,  số học sinh thích học văn,  số học sinh thích học anh. Môn học nào được nhiều bạn học sinh lớp yêu thích nhất?
Lời giải
Ta có:  
Vì nên 
Hay lớn nhất.
Vậy môn tiếng anh được nhiều bạn học sinh lớp yêu thích nhất.