Đề cương ôn thi tốt nghiệp môn Toán 12

Năm học: 2011 – 2012, ban cơ bản




Chủ đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN

I. CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
*) Tìm TXĐ D.
*) Tính y’.
*) Tìm các nghiệm của phương trình y’=0 và các điểm mà tại đó y’ không xác định.
*) Tìm 
*) Tìm các tiệm cận đứng, ngang (nếu có).
*) Lập bảng biến thiên và điền đầy đủ các yếu tố.
*) Nêu sự đồng biến,nghịch biến và cực trị (nếu có).
*) Tìm các điểm đặc biệt ( giao với trục Ox, giao với trục Oy) và một số điểm.
*) Vẽ đồ thị.
2) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
	Cho hàm số y = f(x).
	Dạng 1: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại một điểm M(x0;y0) 
Xác định x0; y0.
Tính y’ sau đó tính y’(x0) hay f’(x0).
Viết phương trình 
Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
Tính y’ suy ra f’(x0).
Giải phương trình f’(x0) = k tìm x0.
Có x0 tìm y0, viết phương trình .
3) Biện luận số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị (C ): y=f(x)
- Đưa phương trình về dạng f(x) = A(m).
- Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = A(m).
- Vẽ hai đồ thị lên cùng một hệ trục tọa độ và biện luận kết quả.
Lưu ý: Đôi khi bài toán chỉ yêu cầu tìm m để phương trình có 3, 4 nghiệm, ta chỉ trả lời đúng yêu cầu của mỗi bài toán đưa ra.
4) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]
	- Nhận xét: Hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b].
	- Tính y’.
	- Giải phương trình y’=0 tìm nghiệm xi trên [a;b], tìm xj trên [a;b] sao cho f(xj) không xác định.
	- Tính f(a), f(b), f(xi), f(xj),
	- So sánh các giá trị và kết luận.
5) Điều kiện để hàm số có cực trị
	- Hàm số đạt cực trị tại x0 thì f’(x0) = 0 (f(x) có đạo hàm tại x0).
	- Nếu y’ là một tam thức bậc hai có biệt thức thì y’ đạt cực trị .
6) Số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x)
 	- Giải phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x).
	- Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị đã cho.
II. BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1: Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình .
Bài giải
a)
TXĐ: D = R.


Giới hạn: 
Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên (0 ; 2); hàm số nghịch biến trên và .
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = -1.
Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1)
Đồ thị:

b)

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y = m – 1.
Vậy:
: Phương trình có 1 nghiệm.
: Phương trình có 2 nghiệm.
: Phương trình có 3 nghiệm.
:Phương trình có 2 nghiệm.
: Phương trình có 1 nghiệm.
Bài 2: Cho hàm số có đồ thị (C ).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 = 2.
Bài giải
a)
TXĐ: D = R.


Giới hạn: 
Bảng biến thiên: 

Hàm số đồng biến trên (-1; 0) và (1; ); hàm số nghịch biến trên (; 0) và (0;1).
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ = 0; hàm số đạt cực tiểu tại , yCT = -1.
Điểm đặc biệt: 
Đồ thị:

b)
Hàm số và x0 = 2.


Phương trình tiếp tuyến:

Bài 3: Cho hàm số có đồ thị (C).
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Bài giải
a)
TXĐ: 

Giới hạn: , 
Vậy: y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
	 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Bảng biến thiên:

Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Hàm số không có cực trị.
Điểm đặc biệt: 
Đồ thị: 

b)
Tại giao điểm với trục tung thì x0 = 0.


Phương trình tiếp tuyến:

Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) trong các trường hợp:
a) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.
b) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x.
c) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
Bài giải
a)

Hệ số góc k = 9 
Với x0 = 2
Phương trình tiếp tuyến: 

Với x0 = -2
Phương trình tiếp tuyến: 

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến: và .
b)
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x nên có hệ số góc k = 24.



Phương trình tiếp tuyến:

c)
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng nên có hệ số góc k = -2.


Với 
Phương trình tiếp tuyến:

Với 
phương trình tiếp tuyến:

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: và .
Bài 5: Cho hàm số có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên [0; 2].
Bài giải
a)
	Thực hiện các bước tương tự như bài tập 2, ta được đồ thị hàm số sau:

b)

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y=m+1.
Dựa vào đồ thị , phương trình có 4 nghiệm phân biệt 
c)
Hàm số liên tục trên [0;2].



Vậy: tại x = 2.
 tại .
Bài 6: Cho hàm số .
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
Tìm m để hàm số có cực trị.
Bài giải
a)
	
Thực hiện các bước tương tự bài 1, ta được đồ thị như sau:
	
b)
TXĐ: D = R.

Hàm số có cực trị có hai nghiệm phân biệt.
Xét 

Vậy với thì phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt. Hay với thì hàm số có cực trị.
Bài 7: Cho hàm số có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
Bài giải
a)
	Thực hiện tương tự các bước khảo sát bài 3, ta có đồ thị (C) như sau:
	
b)
Đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Xét phương trình: 

	Có 
	 
Vậy với mọi m thì đường thẳng y = x – m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt.
III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có tung độ bằng 0.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.




Bài 2: Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
Tìm giá trị của m để hàm số đạt cực trị tại x = 1. Khi đó xác định giá trị cực trị của hàm số tại đó.
Bài 3: Cho hàm số có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng .
Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên [1; 3].
Bài 4: Cho hàm số , m là tham số.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số khi m = 3.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng .
Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2.
BT 5: Cho hàm số 
Định m để hàm số đồng biến trên TXĐ.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị với m = 1.
Bài 6: Cho hàm số có đồ thị (Cm).
Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1;4).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = -2.
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Bài 7:Cho hàm số có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ x0 = 2.
Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 
BT8: Cho hàm số .
Khảo sát hàm số khi m = 1.
Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình .
BT 9: Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Tìm các điểm trên đồ thị của hàm số có hoành độ là những số nguyên.

BT 10: Cho hàm số 
Khảo sát hàm số.
Cho đường thẳng d có phương trình 2x-y+m = 0. CMR d luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B phân biệt với mọi m.
Tìm m để AB ngắn nhất.
Bài 11:Cho hàm số, m là tham số
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y’’ = 0.
Bài 12:Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
Bài 13: Cho hàm số có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng và tiếp xúc với đồ thị (C).
Bài 14: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số:
a) trên [ -2;2].
b) trên [-1; 2].
c) trên 
d) 
e) trên [-1;0].














Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

I. CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1) Công thức lũy thừa
Cho a>0, b>0 và . Khi đó
	
	
	

Nếu a>1 thì 
Nếu 0 < a < 1 thì 
2) Công thức lôgarit
Với các điều kiện thích hợp ta có:
	
	
	
	
	
	
 với a>0.
Nếu a>1 thì 
Nếu 0<a<1 thì 
3) Phương trình mũ
a) Phương pháp đưa về cùng cơ số
	
b) Phương pháp đặt ẩn phụ
Đặt .
Thay vào phương trình để biến đổi phương trình theo t.
Giải phương trình tìm t, đối chiếu điều kiện.
Nếu có nghiệm thỏa thì thay để tìm x và kết luận.
c) Phương pháp lôgarit hóa
	lấy lôgarit 2 vế đưa phương trình về dạng đơn giản hơn.
4) Phương trình lôgarit
a) Phương pháp đưa về cùng cơ số
	
b) Phương pháp đặt ẩn phụ
Đặt .
Thay t vào phương trình và biến đổi phương trình theo t.
Giải phương trình tìm t.
Thay tìm .
c) Phương pháp mũ hóa
	mũ hóa hai vế của phương trình với cơ số hợp lí để đưa phương trình về dạng đơn giải hơn.
5) Bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit
	Cách giải tương tự như cách giải phương trình mũ và lôgarit.
II. BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1: Giải cac phương trình sau
	
Bài giải

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 và x = -4.

Vậy phương trình có nghiệm x = 5 và x = -2.

Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Bài 2: Giải các phương trình sau
	
	
Bài giải

	Đặt . 
	Phương trình trở thành:
	
	
	Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 2.

	Đặt 
	Phương trình trở thành:
	
	
	Vậy phương trình đã cho có nghiệm .

	Đặt 
	Phương trình trở thành:
	
	
	Vậy phương trình có nghiệm x = 2.

	Đặt 
	Phương trình trở thành
	
	
	Vậy phương trình có nghiệm x = -1 và x = 1.
Bài 3: Giải các phương trình sau
	
	
	
Bài giải
 (1)
Điều kiện: x > 0.


Vậy phương trình có nghiệm x = 64.
(2)
Điều kiện: x > 0.


Vậy phương trình có nghiệm .
 (3)
Điều kiện: x > 0.
Đặt .



Vậy phương trình có nghiệm x = 4 và x = 8.
 (4)
Điều kiện x > 0.
 (4’)
Đặt 



Vậy phương trình có nghiệm và 
 (5)
Điều kiện x > 0
Đặt 



Vậy phương trình có hai nghiệm x = 27 và .
 (6)
Điều kiện 

Vậy phương trình có nghiệm x = 5.
Bài 4: Giải các bất phương trình sau:
	
Bài giải

	
	Xét dấu VT ta được tập nghiệm của bất phương trình S = [-3; 1].


	
	Xét dấu VT ta được tập nghiệm của bất phương trình 
 (1)
	Đặt 
	Bất phương trình trở thành: 
	
	Xét dấu VT, kết hợp điều kiện ta được 
	
	Vậy bất phương trình có nghiệm S = (0; 1).
Bài 5: Giải các bất phương trình sau:
	
	
Bài giải

	Điều kiện 
	
	Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm 

	Điều kiện
	
	Kết hợp điều kiện bất phương trình có nghiệm 

	Điều kiện: 
	
	Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có nghiệm 

	Điều kiện: 
	
	Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm 
III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình
	
	
	
	
	
	
	
Bài 2: Giải các phương trình sau
	
	l	
Bài 3: Giải các bất phương trình sau
	
	
	
	
Bài 4: Giải các bất phương trình sau
	
	
	















Chủ đề 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

I. CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
1) Công thức nguyên hàm
Nguyên hàm của hàm số cơ bản
Nguyên hàm mở rộng


















2) Công thức tích phân
	F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì
	
3) Phương pháp đổi biến số
A. Dạng 1 : Tính I = 
+ Đặt t = 
+ Đổi cận : 
x
 a b
t
 
 	 I = 
* Nhớ : đổi biến thì các em phải đổi cận.
* Chú ý : Thường các em đặt t là căn, mũ, mẫu.
 - Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất.
	- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số.
	- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức.
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
 - Nếu tích phân chứa thì đặt .
B. Dạng 2 : Tính I = bằng cách đặt x = 
- Dạng chứa  : Đặt x = asint, t (a>0)
4) Phương pháp tích phân từng phần
 * Công thức tính : 

ò Đặt 
Ta thường gặp hai loại tích phân như sau:
* Loại 1: 
 Trong đó là đa thức bậc n. 
*Loại 2: 
5) Tính chất tích phân
Tính chất 1
 , k: hằng số
Tính chất 2:

Tính chất 3:


6) Diện tích hình phẳng
 Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là:
 (*)
Lưu ý: 
 vô nghiệm trên (a;b) thì
 
 có 1 nghiệm thì 
 
 Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là: 
 (**)
	Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối của công thức (**) thực hiện tương tự đối với công thức (*).
7) Thể tích vật thể tròn xoay
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 
y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: 
 

Lưu ý: Diện tích , thể tích đều là những giá trị dương.






II. BÀI TẬP MINH HỌA
BÀI 1: Tính các tích phân sau
a) 	
	
Bài giải
a) 
Đặt u = 2x+1 
Đổi cận: 


Đặt 



Đặt 



Đặt 
Đổi cận : 


Đặt 
Đổi cận: 


Đặt 
Đổi cận: 

Bài 2: Tính các tích phân sau
a) 	
Bài giải
a) 









Bài 3: Tính các tích phân sau
	
Bài giải




Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a) , trục hoành và hai đường thẳng x=-2, x=1.
b) , và hai đường thẳng x =0, x=2.
c) 

Bài giải
a) , trục hoành và hai đường thẳng x=-2, x=1.
Trên [-2; 1] ta có:
 	
Diện tích của hình phẳng đã cho:

b)
Đặt 
Ta có: 

Diện tích hình phẳng đã cho

	 
c)
Ta có:

Diện tích hình phẳng

Bài 5: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình (D) quanh trục Ox biết (D) giới hạn bởi 
Bài giải
Ta có: 
Áp dụng công thức: 
Ta có: 
 
 	
III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Tính các tích phân sau
1.	2. 	3. 	
4. 	5. 	6. 
7. 	8. 	9. 
10. 	11. 	12. 
13. 	14. 	15. 
16. 

Bài 2: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số
1. 	2. 	3. 
4. 	5. 	6. 
7. 	8. 	9.
12. 	11. 	12. 
13. 	14. 	15. 
16. 	17. 	18. 
19. 	20. 	21. 
22. 	23. 	24. 
Bài 3: Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần
1. 	2. 	3. 
4. 	5. 	6. 
7. 	8. 	9. 
10. 	11. 	12. 
13. 	14. 	
Bài 4 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) , trục hoành, x = 0 và x = 2.
b) và trục hoành.
c) 
d) và tiếp tuyến của nó tại điểm có tung độ bằng -2.
e) 
f)
g) 
Bài 5: Tính thể tích vật tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục hoành:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 












Chủ đề 4: SỐ PHỨC

I. CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC
Số i: 
Số phức: 
Số phức liên hợp: .
Môđun của số phức: 
Phép toán trên tập số phức:
	
Căn bậc hai của số thực a âm là : 
Phương trình bậc hai trên tập số phức :
	* Nếu = 0 thì p.trình có một nghiệm kép (thực) x = - 
* Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực x1,2 = .
* Nếu < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức x1,2 = .
II. BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1: Thực hiện các phép tính
	
c) 	d) 
e) 	f) 
Bài giải


c) 
d) 
e) 
f) 
Bài 2: Tìm cặp số thực a, y biết

Bài giải
 
Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức
	
Bài giải



căn bậc hai của là 
Phương trình có nghiệm: 


Căn bậc hai của là .
Phương trình có nghiệm: 

Đặt t = z2.
Phương trình trở thành:
	
Vậy phương trình có 4 nghiệm: -1, 1, 
III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Tìm nghịch đảo của các số phức sau:

Bài 2:Thực hiện các phép tính sau:

Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức


Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức:





Bài 5: Tìm phần thực,phần ảo, số phức đối và số phức liên hợp của các số phức sau :

Bài 6 : Tìm các số thực x và y, biết:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) f) 
Bài 7 :Tính biết:
	a) 	b) 	c) 
Bài 8 : Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện:
	a) Phần thực của bằng hai lần phần ảo của nó.
	b) Phần thực của thuộc đoạn .
	c) Phần thực của thuộc đoạn và phần ảo của thuộc đoạn .
	d) .	e) .
	f) và phần ảo lớn hơn hoặc bằng .	g) 
Bài 9 : Giải các PT sau trên tập hợp số phức:
	a) 	b) 	c) 	d) 
	e) 	f) 	g) 	h) 
 i) 	 j) 	 k) 

















Chủ đề 5: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I. CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1) Một số phép toán vectơ

11. M là trung điểm AB
 
12. G là trọng tâm tam giác ABC

 
2) Phương trình mặt phẳng
*). Phương trình mp(a) qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt = (A;B;C)
A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0
 (a) : Ax + By + Cz + D = 0 thì ta có vtpt = (A; B; C)
*).Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là

 Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định tọa độ điểm đi qua và 1 véctơ pháp tuyến.

*). Vị trí tương đối của hai mp (a1) và (a2) :
 	° cắt
	° 
	° 
 ° 
*). Khoảng cách từ M(x0,y0,z0) đến (a) : Ax + By + Cz + D = 0
 	
*).Góc giữa hai mặt phẳng : 
 	 

3) Phương trình đường thẳng
*).Phương trình tham số của đường thẳng d qua M(xo ;yo ;zo) có vtcp = (a1;a2;a3)

*).Phương trình chính tắc của d : 
 
*).Vị trí tương đối của 2 đường thẳng d , d’ : Ta thực hiện hai bước
 + Tìm quan hệ giữa 2 vtcp , 
 + Tìm điểm chung của d , d’ bằng cách xét hệ: 
Hệ (I)
Quan hệ giữa , 
Vị trí giữa d , d’
Vô số nghiệm
Cùng phương

Vô nghiệm


Có 1 nghiệm
Không cùng phương
d cắt d’
Vô nghiệm

d , d’ chéo nhau
*). Góc giữa 2 đường thẳng : Gọi là góc giữa d và d’


4) Một số dạng toán thường gặp
íDạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác
 A,B,C là ba đỉnh tam giác Û không cùng phương. 
íDạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
 ABCD là hình bình hành 
íDạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:
	+ Viết phương trình (BCD) .
	+ Thay tọa độ A vào phương trình mp(BCD) và cm
íDạng4: Tìm hình chiếu của điểm M
 a. H là hình chiếu của M trên mp(a)
Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc (a) : ta có 
H = d (a)
 + Gọi H (theo t) d 
 + H(a) t = ? tọa độ H
 b. H là hình chiếu của M trên đường thẳng d 
d có vtcp 
Gọi H (theo t) d 
Tính 
Ta có tọa độ H
íDạng 5 : Điểm đối xứng
 a.Điểm M/ đối xứng với M qua mp(a)
Tìm hình chiếu H của M trên mp(a) (dạng 4.a)
M/ đối xứng với M qua (a)H là trung điểm của MM/ 
 b. Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d:
Tìm hình chiếu H của M trên d ( dạng 4.b)
M/ đối xứng với M qua d H là trung điểm của MM/ 
* Dạng 6: Khoảng cách
a). Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng D: 
	+ Viết phương trình mp(a ) chứa A và D.
	+ Tìm giao điểm H của D và (a ).
	+ Tính d(A, D) = AH
b). Khoảng cách giữa đường thẳng D và (a ) với : 
	+ Lấy M trên D
	+ 
c). Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau D, D’ : 
 	+ Viết phương trình mặt phẳng (a ) chứa D’ và //D
	+ Lấy M trên D.
	+ 
5) Phương trình mặt cầu
a.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R 
 (1)
 *(2) ()
	 Ta có: Tâm I(a ; b ; c) và	
b.Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
 Cho và ( a) : Ax + By + Cz + D = 0 
	Gọi d = d(I,(a)) : khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp(a).
d > r : (S) Ç (a) = 
d = r : (a) tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, (a): tiếp diện)
 *Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mp(a) )
+ Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp(a) : ta có 
+ H = d (a)
Gọi H (theo t) d 
H(a) t = ? tọa độ H
d < r : (a) cắt (S) theo đường tròn (C): 
 *Tìm bán kính R và tâm H của đường tròn giao tuyến:
	+ Bán kính 
	+ Tìm tâm H ( là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mp(a) )
II. BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho A(1;3;-2), B(-1;1;2) và C(1;1;-3)
Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông tại A. Tính diện tích tam giác ABC.
Viết phương trình tham số của đường thẳng AM, với AM là trung tuyến của tam giác ABC.
Viết phương trình tổng quát của mp(P) đi qua 3 đỉnh của tam giác ABC.
Tính khoảng cách từ D(2;1;2) đến mp(ABC).
Bài giải
a)
Ta có: 
Suy ra: 
Hay tam giác ABC vuông tại A.
Diện tích tam giác ABC: 
b)
M là trung điểm của BC nên 
Đường thẳng AM qua A(1;3;-2) nhận làm VTCP có phương trình tham số:
	

c)
Gọi 
Mp(P) qua A(1;3;-2) nhận làm VTPT có phương trình tổng quát:
	
d)
khoảng cách từ D đến mp(ABC):
	
Bài 2: Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) và mp(P) 
Viết phương trình mặt cầu tâm B qua A.
Viết phương trình mặt cầu đường kính BC.
Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc mp(P).
Bài giải
a)
	Mặt cầu tâm B, qua A nên có bán kính r = AB.
	
	Phương trình mặt cầu cần tìm:
	
b)
	Gọi I là trung điểm BC
	Khi đó: 
	Mặt cầu đường kính BC có tâm , bán kính r = có phương trình:
	
c)
	Mặt cầu tâm C tiếp xúc với (P) nên có bán kính 
	
	Phương trình mặt cầu cấn tìm:
	
Bài 3: Cho mặt cầu (S): .
Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).
Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại M(1;1;1).
Bài giải
a)
	Từ phương trình mặt cầu ta có: 
	Tọa độ tâm I(1; -3; 4).
	Bán kính: 
b)
	Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại M nên IM vuông với mp.
	
	Mp(P) qua M(1;1;1), có VTPT có phương trình:
	
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
(P) đi qua 3 điểm A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1).
(P) qua DE và song song với GH với D(1;1;1), E(2;1;2), G(-1;2;2) và H(2;1;-1)
(P) là mặt phẳng trung trực của MN với M(2;3;1), N(-4;1;5).
Bài giải
a)
	Ta có: 
	
	Mp(P) qua A(0;1;2), có VTPT có phương trình:
	
b)
	
	Mp(P) qua D(1;1;1), có VTPT có phương trình: 
	
c)
	Gọi I là trung điểm MN, .
	.
	Mp(P) làmp trung trực của MN qua , nhận làm VTPT có phương trình:
	
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2), B(-3;1;4), C(1;-2;-1). Viết phương trình tham số của đường thẳng d biết:
d qua điểm A và trung điểm I của đoạn thẳng BC.
d qua C và vuông góc với mp(ABC).
Bài giải
a)
	I là trung điểm BC nên .
	VTCP: .
	Phương trình tham số đường thẳng d:
	
b)
	
	VTCP: 
	Phương trình đường thẳng d cần tìm:
	
Bài 6: Xét vị trí tương đối của d với các đường thẳng:
a) 	b) 	c) 
Bài giải
	d có VTCP .
a)
	 có VTCP .
	Xét hệ phương trình: vô nghiệm.
	Và 
	Suy ra: d // .
b)
	Thực hiện tương tự: d và cắt nhau.
c)
	Thực hiện tương tự: d và chéo nhau.
III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M(1; 1 ; 0) và mặt phẳng 
 (P): x + y – 2z + 3 = 0. 
1/ Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) qua M và song song với mặt phẳng (P).
2/ Viết phương trình mặt cầu tâm M và tiếp xúc với mp(P). 
3/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm.
Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1 ; 2 ; 0), B(-3 ; 0 ; 2), 
C(1 ; 2 ; 3), D(0 ; 3 ; - 2). 
1/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
2/ Viết phương trình mặt phẳng qua CD và song song với đường thẳng AB.
3/ Viết phương trình đường thẳng AD. 
4/ Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD.
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0 và điểm M(1, -2 ; 3). 
1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mp(P).Tính khỏang cách từ M đến mp(P). 
2/ Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M lên mp(P). 
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm D(-3 ; 1 ; 2) và mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1 ; 0 ; 11), B(0 ; 1 ; 10), C(1 ; 1 ; 8). 
1/ Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng (P). 
2/Viết phương trình mặt cầu tâm D, bán kính R = 5. Chứng minh rằng mặt cầu này cắt mặt phẳng (P).
Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1 ; 4 ; 0), B(0 ; 2 ; 1), 
C(1 ; 0 ; -4). 
1/ Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành và tìm tọa độ tâm của hình bình hành . 
2/ Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC).
Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1 ; -2 ; 2), B(1 ; 0 ; 0), C(0 ; 2 ; 0), 
D(0 ; 0 ; 3).
1/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện. 
2/ Tìm điểm A’ sao cho mp(BCD) là mặt phẳng trung trực của đọan AA’.
Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho hai điểm A(2 ; 1 ; 1), B(2 ; -1 ; 5). 
1/ Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB. 
2/ Viết phương trình mặt phẳng qua tiếp điểm với mặt cầu (S) tại A.
3/ Tìm điểm M trên đường thẳng AB sao cho tam giác MOA vuông tại O.
Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3 ; 0 ; -2), B(1 ; -2 ; 4). 
1/ Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt phẳng trung trực của đọan AB. 
2/ Viết phương trình mặt cầu tâm A và đi qua điểm B. Tìm điểm đối xứng của B qua A.
Bài 9 :Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)
a)Viết phương trình mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC)
b)Viết phương trình mp qua A và song song với mp (P):2x- y- 3z- 2 = 0