Đề cương Toán 11 học kì 1

	ĐẠI SỐ
Chương I: Giới hạn
Dạng 1: Tính giới hạn:
1/ Giới hạn dãy: (lim un)
Đặt nk với k là số mũ cao nhất làm nhân tử chung
VD: Tính giới hạn của dãy un với un=4n6+5n3-2nn3-2n2n3-3
Giải:
Limun= lim 4n6+5n3-2nn3-2n2n3-3= lim n6*4+5n3-2n5n3*1-2n2*n3*2-3n3
=lim 4+5n3-2n51-2n22-3n3 =4+0-01-02-0 =2
2/ Giới hạn hàm số: limx→axn (1)
Các dạng của giới hạn dãy:
Lim có dạng m/n với m,n xác định : Thay a ở (1) vào để tính giới hạn
Lim có dạng m/0 : Giải thích 3 lí do:
+ lim tử có giá trị a âm (hay dương) (BẰNG BAO NHIÊU KHÔNG QUAN TRỌNG, QUAN TRỌNG LÀ NÓ ÂM HAY DƯƠNG)
+ lim mẫu bằng 0
+ Mẫu âm (hay dương) khi x→a
Từ các lí do trên, suy ra lim của cả biểu thức ( Thường chỉ là ±∞)
Lim có dạng 0/0: Rút nhân tử chung để rút gọn
Lim có dạng limx→±∞xn :Đặt xk với k là số mũ cao nhất làm nhân tử chung
Lim có dạng ∞±∞ phải nhân liên hợp để tính giới hạn
*Chú ý : Trường hợp lim có dạng 0/0 còn có thể tách để tính:
limx→aA+BC00=limx→aA+DC+limx→aB+DC
VD: Tính các giới hạn sau:
a/ limx→3(3-4x)2
Giải
(Ta thấy đây là dạng xác định nên thay x=3 vào)
limx→3(3-4x)2
= (3-4*3)2=81
b/ limx→-∞(2x+3)(2x2-3)
Giải
(Ta thấy đây là dạng tìm lim khi x→±∞ nên sẽ đặt xk với k là số mũ cao nhất để giải )
Ta có: limx→-∞(2x+3)2x2-3 = limx→-∞x(2+3x)x(2-3x2) = limx→-∞(2+3x)-(2-3x2) (vì x→-∞)
=2+0-2-0 = -2
Dạng 2: C/m hàm số liên tục/ hàm số gián đoạn
Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 ó limx→x0f(x) = f(x0)
Hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x0 ó limx→x0f(x) ≠ f(x0) hoặc không tồn tại limx→x0f(x)
Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a,b] 
 +∀x0 ∈a,b, limx→x0f(x) = f(x0)
 ó + Tại a, limx→a+fx=fa
 + Tại b, limx→b-f(x)=f(b)
VD: Xét tính liên tục của f(x) tại điểm x=0 với f(x) = x2với x<01-x với x≥0
Giải
Ta có:
limx→0+fx=limx→0+(1-x )=1
limx→0-fx=limx→0-x2=0
Vì limx→0+f(x)≠limx→0-f(x) nên không tồn tại limx→0f(x)
Hàm số f(x) bị gián đoạn tại x=0
*Chú ý: Kinh nghiệm khi giải dạng toán này:
Khi cho hàm số f(x) có dạng nhánh như trên:
+ Nếu f(x) bao gồm những nhánh có dạng x=m và x≠m thì ta thiên về giải theo hướng:
Tìm limx→mf(x)
Tính f(m)
So sánh 2 kết quả trên để rút ra kết luận
+ Nếu f(x) bao gồm những nhánh có dạng x>m, x<m và x=m thì ta thiên về giải theo hướng:
Tìm limx→m+fxvà limx→m-f(x) rồi suy ra limx→mf(x)(có thể tồn tại hoặc không tồn tại)
Tính f(m)
So sánh kết quả (Trường hợp limx→mf(x) không tồn tại thì kết luận f(x) bị gián đoạn tại m)
*Trường hợp tìm điều kiện để hàm số f(x) liên tục tại điểm x0:
B1: Tính f(x0)
B2: Tính limx→x0f(x) : có thể tính trực tiếp hoặc dựa vào limx→x0+f(x) hoặc limx→x0-f(x)
B3: Lí luận: Để hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 thì: 
limx→x0fx=f(x0) ó limx→x0+fx=limx→x0-fx=fx0
VD: Tìm m để hàm số fx=x+4 -2xm x≥0 (x<0) liên tục tại x=0
Giải:
+Ta có f(0)=m
+limx→0+f(x)=limx→0+(m)=m
+limx→0-f(x)=limx→0-(x+4-2x)=limx→0-x+4-2(x+4+2)x(x+4+2)=limx→0-x+4-22x(x+4+2)=limx→0-1(x+4+2)=12+2=14
+Để hàm số f(x) liên tục tại x=0 thì: limx→0fx=f0 limx→0+fx=limx→0-fx=f0m=14=m
Vậy m=1/4
Dạng 3: Chứng minh một phương trình có nghiệm trên khoảng (a,b)
*Phương pháp:
C/m 2 ý sau:
 + f(a).f(b)<0
 + f(x) liên tục trên đoạn a,b
Phương trình f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a,b)
VD: C/m phương trình: x3+1000x2+0,1=0 có ít nhất một nghiệm âm?
Giải: Ta có f(x) liên tục trên R nên suy ra: f(x) liên tục trên [-10000,0]
 Ta có f(-10000)f(0)<0
Từ 2 ý trên suy ra pt f(x)=0 có ít nhất một nghiệm x thuộc (-10000,0) hay pt đã cho có ít nhất một nghiệm âm (đpcm)
*Mở rộng cho trường hợp chứng minh pt có 2 ngo hoặc 3 ngo
*Trường hợp chứng minh pt f(x)=0 có 2 nghiệm trái dấu
C/m theo hướng sau:
C/m pt f(x)=0 có ít nhất một ngiệm thuộc khoảng (a,b) sao cho a<b<0
C/m pt f(x)=0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (c,d) sao cho 0<c<d
Phương trình f(x)=0 có ít nhất 2 ng0 trái dấu
*Trường hợp chứng minh pt f(x)=0 có 2 nghiệm cùng dấu:
C/m theo hướng sau:
C/m pt f(x)=0 có ít nhất một ng0 thuộc khoảng (a,b) sao cho a<b<0 (hoặc 0<a<b)
C/m pt f(x)=0 có ít nhất một ng0 thuộc khoảng (c,d) sao cho c<d<0 (hoặc 0<c<d)
Phương trình f(x)=0 có ít nhất 2 ng0 cùng dấu
*Trường hợp c/m pt f(x)=0 có 2 nghiệm nhỏ hơn hoặc lớn hơn số m cho trước:
Xét trường hợp c/m pt f(x)=0 có 2 nghiệm nhỏ hơn m:
Phương pháp c/m:
C/m pt f(x)=0 có ít nhất một ng0 x1 thuộc khoảng (a,b) sao cho a<b<m
C/m pt f(x)=0 có ít nhất một ng0 x2 thuộc khoảng (c,d) sao cho c<d<m
Phương trình f(x)=0 có ít nhất 2 ng0 nhỏ hơn m
Trường hợp c/m pt f(x)=0 có 2 ng0 lớn hơn m làm tương tự 
VD: C/m pt : x3-6x2-9x+10=0 có ít nhất 2 ng0 x1,x2 thỏa mãn: x1, x2 trái dấu
Giải:
Ta có: f(1)=-4, f(0)=10
Như vậy, ta có: f(1)f(0)<0
 f(x) liên tục trên (0,1) (vì f(x) liên tục trên R)
Pt f(x)=0 có ít nhất một ng0 x1 thuộc khoảng (0,1) (1)
Ta có: f(-2)=-4, f(0)=10
Như vậy, ta có: f(-2)f(0)<0
 f(x) liên tục trên khoảng (-2,0) (vì f(x) liên tục trên R)
Pt f(x)=0 có ít nhất một ng0 x2 thuộc khoảng (-2,0) (2)
Từ (1) và (2) => pt f(x)=0 hay pt đã cho có ít nhất 2 ng0 x1, x2 t/m x1>0>x2 (đpcm)
Chương II: ĐẠO HÀM
Dạng 1: Tính đạo hàm theo công thức:
*Cần nắm vững các công thức sau:
Cộng trừ: (u±v)’= u’±v’
Nhân: (u.v)’= u’.v+u.v’
Đặc biệt: (ku)’=k.u’
Chia:(uv)'=(u'.v-u.v'v2)
Đặc biệt: kv'=(-k.v'v2)
*Mẹo nhớ : Nhân cộng, chia trừ
* Đạo hàm phức tạp: 
(u)’=u'2u
(un)’= n.un-1.u’
*Đạo hàm lượng giác:
(sin(x))’=cos(x) => (sin(u))’= u’ cos(u)
(cos(x))’= -sin(x) => (cos(u))’= -u’ sin(u)
(tan(x))’=1(cosx)2 => (tan(u))’= u'(cosu)2
(cot(x))’= -1(sinx)2 => (cot(u))’=-u'(sinu)2
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm có hoành độ x0:
*Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm x0. Có thể đề bài cho sẵn x0 hoặc có thể cho các gợi ý sau đây:
Cho tung độ y0 => x0
Cho hệ số góc k => f ’(x0) =k => x0
Cho biết một điểm A(m,n) thuộc tiếp tuyến => thay m,n vào pt tiếp tuyến=> xo
Bước 2: Tại điểm có hoành độ x0, tính f(x0) và f ‘(x0)
Bước 3:
 => pt tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0: y= y’(x0)(x-x0)+y(x0)
	HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Chương I: QUAN HỆ VUÔNG GÓC
Dạng 1: C/m đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
a ⊥P ⟺a ⊥b , b⊂(P)a⊥c , c⊂(P)b⋂c≠Φ
Dạng 2: C/m 2 mặt phẳng vuông góc
P⊥(Q)⟺a⊥Qa⊂(P)
VD: Cho S.ABCD,đáy ABCD là hình vuông, SA⊥(ABCD), c/m:
a/ BC⊥SAB
b/ (SAB)⊥SAD
Giải:
a/ Ta có: BC⊥SA , SA⊂SAB( SA⊥ABCD,BC⊂ABCD)BC⊥AB, AB⊂SAB(ABCD là hình vuông)SA⋂AB=A
BC⊥(SAB) (đpcm)
b/ Ta có BC//AD, mà BC⊥SAB(cmt) => AD⊥(SAB)
Như vậy: AD⊥(SAB)AD⊂(SAD) => (SAB)⊥SAD (đpcm)
*Một số ứng dụng của 2 mặt phẳng vuông góc:
A∈aA∈PP⊥Qa⊥Q=>a⊂P
P⊥QP⋂Q=△a⊥△,a⊂P=>a⊥Q
P⋂Q=aP⊥RQ⊥R=>a⊥R
Chương II: KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
Dạng 1: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
*Phương pháp: muốn tính góc giữa đường thẳng a và mp(P), ta đi tìm đường thẳng b là hình chiếu của a lên mp(P). Khi đó, (a,(P))=(a,b)
VD: Cho S.ABCD, ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt đáy. Xác định và tính góc giữa SC và mp(SAB)?
Giải:
(Bước 1) Đi c/m BC⊥SABtại B
(Bước 2) => B là hình chiếu của C lên mp(SAB)
 S là hình chiếu của S lên mp(SAB)
Như vậy SB là hình chiếu của SC lên mp(SAB)
(Bước 3) => (SC,(SAB))=(SC,SB)
Dạng 2: Tính góc giữa 2 mp (P) và (Q)
*Có thể tính theo các cách sau:
Cách 1: △=P⋂Qa⊥△,a⊂Pb⊥△, b⊂Q=>P,Q=a,b
Không cần quan tâm a và b có cắt nhau hay không!!!
Cách 2: Tìm mp thứ 3
△=P⋂Q△⊥RP⋂R=aQ⋂R=b=>P,Q=a,b
Cách 3: Áp dụng công thức: Shc=Sbđ* cos α với α là góc giữa 2 mp
Dạng 3: Tính khoảng cách:
1/ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
*Có thể tính theo các cách sau:
Cách 1: d(A,(P))=AH với AH⊥Ptại H
Cách 2: 
Có d⊥(P)
Kẻ AH//d (H∈)
Vì d vuông góc với (P) nên AH vuông góc với (P) tại H
Khoảng cách: d(A,(P))=AH
Cách 3:
Ta có: P⊥Qvới Qchứa AP⋂Q=aKẻ AH⊥a tại H=>AH ⊥Ptại H=>dA,P=AH
2/ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng bằng đoạn vuông góc chung:
*TH1: a và b có quan hệ vuông góc:
B1: C/m: a⊥Ptại I*với P⊃b
B2: Trong (P), kẻ IJ vuông góc với b tại J (1)
IJ vuông góc với a tại I (2)
B3: Từ (1) và (2) => IJ là đoạn vuông góc chung của a và b
Khoảng cách : d(a,b)=IJ
*TH2: a và b không vuông góc:
B1: Tìm mp phụ và dựng đoạn vuông góc chung giả IJ
B2: Kẻ đoạn vuông góc chung thật EF//IJ 
Khoảng cách: d(a,b)=EF
3/ Khoảng cách giữa 2 đt bằng phép quy đổi:
B1: Tìm (P) sao cho: a//(P) và (P) chứa b
B2: => d(a,b)=d(a,(P))=d(A,(P)) với A thuộc đt a