Đề cương Toán vào lớp 10

 
 
	 PHòNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO thanh chương
 
 *** a ừ b ***

 
 







 
ĐỀ CƯƠNG ễN TẬP TOÁN
VÀO THPT
NĂM HỌC: 2012-2013
 	
 




 


 
	 

	 

	





 ôn tập vào lớp 10 năm học 2011-2012
 
 Phần 1: Các loại bài tập về biểu thức
 
Bài 1: Cho biểu thức :
Rút gọn P
Tìm giá trị của a để P<1

Bài 2: Cho biểu thức: P=
 a) Rút gọn P
b)Tìm giá trị của a để P<0
Bài 3: Cho biểu thức: P= 
Rút gọn P
Tìm các giá trị của x để P=
Bài 4: Cho biểu thức P= 
Rút gọn P
Tìm giá trị của a để P<1
Tìm giá trị của P nếu 

Bài 5: Cho biểu thức: P=
Rút gọn P
Xét dấu của biểu thức M=a.(P-)

Bài 6: Cho biểu thức: P = 
Rút gọn P
Tính giá trị của P khi x

Bài 7: Cho biểu thức: P=
Rút gọn P
Tìm x để P0

Bài 8: Cho biểu thức: P=
Rút gọn P
Xét dấu của biểu thức P.
Bài 9: Cho biểu thức P=
Rút gọn P
So sánh P với 3
Bài 10: Cho biểu thức : P= 
Rút gọn P
Tìm a để P<
Bài 11: Cho biểu thức: P=
Rút gọn P
Tìm x để P<
Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 12: Cho biểu thức: P=
Rút gọn P
Tìm giá trị của x để P<1
Bài 13: Cho biểu thức : P=
Rút gọn P
Tìm các giá trị của x để P=
Chứng minh P
Bài 14: Cho biểu thức: P= với m>0
Rút gọn P
Tính x theo m để P=0.
Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x>1
Bài 15: Cho biểu thức P=
Rút gọn P
Biết a>1 Hãy so sánh P với P 
Tìm a để P=2
Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 16: Cho biểu thức P= 
Rút gọn P
Tính giá trị của P nếu a= và b=
Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu 
Bài 17: Cho biểu thức : P=
Rút gọn P
Với giá trị nào của a thì P=7
Với giá trị nào của a thì P>6
Bài 18: Cho biểu thức: P= 
Rút gọn P
Tìm các giá trị của a để P<0
Tìm các giá trị của a để P=-2
Bài 19: Cho biểu thức P=
Tìm điều kiện để P có nghĩa.
Rút gọn P
Tính giá trị của P khi a= và b=
Bài 20: Cho biểu thức : P=
Rút gọn P
Chứng minh rằng P>0 x 
Bài 21: Cho biểu thức : P=
Rút gọn P
Tính khi x=
Bài 22: Cho biểu thức P=
Rút gọn P
Tìm giá trị của x để P=20
Bài 23: Cho biểu thức : P=
Rút gọn P
Chứng minh P 

Bài 24: Cho biểu thức P=
Rút gọn P
Tính P khi a=16 và b=4
Bài 25: Cho biểu thức: P=
Rút gọn P
Cho P= tìm giá trị của a
Chứng minh rằng P>
Bài 26: Cho biểu thức: P=
Rút gọn P
Với giá trị nào của x thì P<1

Bài 27: Cho biểu thức P=
Rút gọn P
Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 28: Cho biểu thức P=
Rút gọn P
Tìm giá trị của a để P>
Bài 29: Cho biểu thức:
 P=
Rút gọn P
Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất

Bài 30: Cho biểu thức : P= 
Rút gọn P
Tìm tất cả các số nguyên dương x để y=625 và P<0,2

Bài 31 : 
1) Đơn giản biểu thức : P = .
2) Cho biểu thức : Q = 
a) Rút gọn biểu thức Q. 
b) Tìm x để > - Q.
c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên
Hướng dẫn :
1. P = 6
2. a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : Q = .
b) > - Q x > 1.
c) x = thì Q Z
Bài 32 : Cho biểu thức P = 
a) Rút gọn biểu thức sau P.	
b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = .
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x 1. Biểu thức rút gọn : P = .
b) Với x = thì P = - 3 – 2.
Bài 33 : Cho biểu thức : A = 
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 
c) Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để = A.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x 0, x 1. Biểu thức rút gọn : A = .
b) Với x = thì A = - 1.
c) Với 0 x < 1 thì A < 0.
d) Với x > 1 thì = A.
Bài 34 : Cho biểu thức : A = 
a) Rút gọn biểu thức sau A.
b) Xác định a để biểu thức A > .
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : a > 0 và a9. Biểu thức rút gọn : A = .
b) Với 0 .
Bài 35 : Cho biểu thức: A = .
1) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.
2) Rút gọn A.
3) Với x Z ? để A Z ?
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x ≠ 0 ; x ≠ 1. 
b) Biểu thức rút gọn : A = với x ≠ 0 ; x ≠ 1.
c) x = - 2003 ; 2003 thì A Z .
Bài 36 : Cho biểu thức: A = .
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 0.
c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.

Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A = .
b) Với 0 < x < 1 thì A < 0.
c) x = thì A Z.
Bài 37 : Cho biểu thức: A = 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng: 0 < A < 2.
Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1. Biểu thức rút gọn : A = 
b) Ta xét hai trường hợp :
+) A > 0 > 0 luôn đúng với x > 0 ; x ≠ 1 (1)
+) A 2 > 0 đúng vì theo gt thì x > 0. (2)
Bài 38 : Cho biểu thức: P = (a 0; a 4)
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P với a = 9.

Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : a 0, a 4. Biểu thức rút gọn : P = 
b) Ta thấy a = 9 ĐKXĐ . Suy ra P = 4
Bài 39 : Cho biểu thức: N = 
1) Rút gọn biểu thức N.
2) Tìm giá trị của a để N = -2004. 

Hướng dẫn :
a) ĐKXĐ : a 0, a 1. Biểu thức rút gọn : N = 1 – a .
b) Ta thấy a = - 2004 ĐKXĐ . Suy ra N = 2005.
Bài 40 : Cho biểu thức 
a. Rút gọn P. 
b. Tính giá trị của P khi 
c. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.

Hướng dẫn :
a ) ĐKXĐ : x 0, x 1. Biểu thức rút gọn : 
b) Ta thấy ĐKXĐ . Suy ra 
c) Pmin=4 khi x=4.
Bài 41 : Cho biểu thức 
	a. Rút gọn P. b. Tìm x để c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Hướng dẫn :
a. ) ĐKXĐ : x 0, x 9. Biểu thức rút gọn : 
b. Với thì 
c. Pmin= -1 khi x = 0

 Bài 42: Cho A= với x>0 ,x1
Rút gọn A
Tính A với a = 
 ( KQ : A= 4a )
Bài 43: Cho A= với x0 , x9, x4 .
Rút gọn A.
 x= ? Thì A < 1.
 Tìm để 
 (KQ : A= ) 
Bài 44: Cho A = với x0 , x1.
Rút gọn A.
Tìm GTLN của A.
Tìm x để A = 
CMR : A . (KQ: A = )
Bài 45: Cho A = với x0 , x1.
a . Rút gọn A.
b. Tìm GTLN của A . ( KQ : A =	 )
Bài 46: Cho A = với x0 , x1.
a . Rút gọn A.
b. CMR : 	 ( KQ : A =	)
Bài 47: Cho A =	
 a. Rút gọn A.
 b. Tìm để 
	 ( KQ : A =	)
Bài 48: Cho A = với a 0 , a9 , a4. 
 a. Rút gọn A.
 b. Tìm a để A < 1
 c. Tìm để ( KQ : A =	)
Bài 49: Cho A= với x > 0 , x4. 
Rút gọn A.
So sánh A với ( KQ : A = ) 
Bài50: Cho A = với x0 , y0, 
Rút gọn A.
CMR : A 0 ( KQ : A = ) 
Bài 51 : Cho A = Với x > 0 , x1.
 a. Rút gọn A.
 b. Tìm x để A = 6 ( KQ : A = ) 
Bài 52 : Cho A = với x > 0 , x4.
 a. Rút gọn A
 b. Tính A với x = (KQ: A = )

Bài 53 : Cho A= với x > 0 , x1.
 a. Rút gọn A
 b. Tính A với x = (KQ: A = )
Bài 54 : Cho A= với x0 , x1.
 a. Rút gọn A.
 b. Tìm để (KQ: A = )
Bài 55: Cho A= với x0 , x1.
 a. Rút gọn A.
 b. Tìm để 
	c. Tìm x để A đạt GTNN . (KQ: A = )
Bài 56 : Cho A = với x0 , x9
. a. Rút gọn A.
 b. Tìm x để A < - ( KQ : A =	)
Bài 57 : Cho A = với x0 , x1.
 a. Rút gọn A
 b. Tính A với x = (KQ: A = )
	c . CMR : A 

Bài 58 : Cho A = với x > 0 , x1.
 a. Rút gọn A (KQ: A = )
	 b.So sánh A với 1

Bài 59 : Cho A = Với 
 a. Rút gọn A.
 b. Tìm x để A =
 c. Tìm x để A < 1.
 ( KQ : A =	)
Bài 60 : Cho A = với x0 , x1.
 a. Rút gọn A.
	b. CMR nếu 0 0
 c. Tính A khi x =3+2
	 d. Tìm GTLN của A (KQ: A = )
Bài 61 : Cho A = với x0 , x1.
 
 a. Rút gọn A.

 b. CMR nếu x0 , x1 thì A > 0 , (KQ: A = )
Bài 62 : Cho A = với x > 0 , x1, x4.

 a. Rút gọn
b. Tìm x để A = 
Bài 63 : Cho A = với x0 , x1.
 a. Rút gọn A.
 b. Tính A khi x= 0,36
 c. Tìm để 
Bài 64 : Cho A= với x 0 , x9 , x4.
 a. Rút gọn A.
 b. Tìm để 
 c. Tìm x để A < 0 (KQ: A = )
Phần 2: Các bài tập về hệ phương trình bậc 2:
Bài 1: Cho phương trình : 
Giải phương trình khi 
Tìm m để phương trình có nghiệm 
Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất
Bài 2: Cho phương trình :
 (x là ẩn )
Tìm m để phương trình có nghiệm .Tìm nghiệm còn lại 
Tìm m để phương trình 2 có nghiệm phân biệt 
Tính theo m
Bài 3: Cho phương trình :
 (x là ẩn )
Tìm m để phương trình 2 có nghiệm trái dấu 
Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Chứng minh biểu thức M= không phụ thuộc vào m.
Bài 4: Tìm m để phương trình :
 a) có hai nghiệm dương phân biệt 
 b) có hai nghiệm âm phân biệt
 c) có hai nghiệm trái dấu
Bài 5: Cho phương trình : 
Chứng minh rằng phương trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a để đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 6: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức: 
CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm 
Bài 7:Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung: 
 
Bài 8: Cho phương trình :
 
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dương lớn nhất của phương trình
Bài 9: Cho phương trình bậc hai tham số m :
 
Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm 
Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện 
 
Bài 10: Cho phương trình 
 
Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m
Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
Bài 11: Cho phương trình 
 (với m là tham số )
Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình
 Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là ; hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa mà không phụ thuộc vào m
Tìm giá trị của m để đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 12: Cho phương trình 
 với m là tham số
CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 
Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của phương trình 
Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức:
 
Bài 13: A) Cho phương trình :
 (m là tham số)
Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm với mọi m ; tính nghiệm kép ( nếu có) của phương trình và giá trị của m tương ứng 
Đặt 
Chứng minh 
Tìm m để A=8
Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng
Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
 B) Cho phương trình 
 
 a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm với mọi m.
 b) Đặt A=
CMR A=
Tìm m sao cho A=27
 c)Tìm m sao cho phương trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia.
Bài 14: Giả sử phương trình có 2 nghiệm phân biệt .Đặt (n nguyên dương)
CMR 
áp dụng Tính giá trị của : A=
Bài 15: Cho 
 f(x) = x2 - 2 (m+2).x + 6m+1
CMR phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m
Đặt x=t+2 .Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm lớn hơn 2 
Bài 16: Cho phương trình : 
 
Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm
Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương
Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau 
Gọi là hai nghiệm nếu có của phương trình . Tính theo m
Bài 17: Cho phương trình có hai nghiệm là . Không giải phương trình , hãy tính giá trị của biểu thức : 
Bài 18: Cho phương trình 
 
Giải phương trình khi m= 
Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu 
Gọi là hai nghiệm của phương trình . Tìm giá trị của m để :
 
Bài 19: Cho phương trình 
 (1) (n , m là tham số)
Cho n=0 . CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Tìm m và n để hai nghiệm của phương trình (1) thoả mãn hệ :
 
Bài 20: Cho phương trình:
 ( k là tham số)
CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
Gọi là hai nghiệm của phương trình . Tìm giá trị của k sao cho 
 
Bài 21: Cho phương trình
 (1) 
Giải phương trình (1) khi m=1
Giải phương trình (1) khi m bất kì
Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng m

Bài 22:Cho phương trình : 
 
CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn Bài tập về hàm số bậc nhất
Bài 23: 
1) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với trục tung và trục hoành Hướng dẫn :
1) Gọi pt đường thẳng cần tìm có dạng : y = ax + b.
Do đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4) ta có hệ pt : 
Vậy pt đường thẳng cần tìm là y = 3x – 1
2) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1 ; Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng .
Bài 24 Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3.
1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy.

Hướng dẫn :
1) Hàm số y = (m – 2)x + m + 3 m – 2 < 0 m < 2.
2) Do đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0 
Thay x= 3 ; y = 0 vào hàm số y = (m – 2)x + m + 3, ta được m = .
3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x – 1 là nghiệm của hệ pt : 
(x;y) = (1;1).
Để 3 đồ thị y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 và y = 2x – 1 đồng quy cần : 
(x;y) = (1;1) là nghiệm của pt : y = (m – 2)x + m + 3.
Với (x;y) = (1;1) m = 
B ài 25: Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 3.
1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.
Hướng dẫn :
1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2 m = -1.
Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta được : m = -3.
Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).
3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có 
 y0 = (m – 1)x0 + m + 3 (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0 
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).

Bà26 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phương trình đường thẳng AB.
2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).
Hướng dẫn :
1) Gọi pt đường thẳng AB có dạng : y = ax + b.
Do đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 1) và (2 ;-1) ta có hệ pt : 
Vậy pt đường thẳng cần tìm là y = - 2x + 3.
2) Để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2) ta cần : m = 2.
Vậy m = 2 thì đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2)

Bài 27 : Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3.
1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định ấy.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = .
Hướng dẫn :
1) m = 2.
2) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0). Ta có 
 y0 = (2m – 1)x0 + m - 3 (2x0 + 1)m - x0 - y0 - 3 = 0 
Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định ().
Chủ đề : Phương trình – bất phương trình bậc nhất một ần
Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn .

A. kiến thức cần nhớ :
1. Phương trình bậc nhất : ax + b = 0.
Phương pháp giải :
+ Nếu a ≠ 0 phương trình có nghiệm duy nhất : x = .
+ Nếu a = 0 và b ≠ 0 phương trình vô nghiệm.
+ Nếu a = 0 và b = 0 phương trình có vô số nghiệm.
2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn : 
Phương pháp giải :
Sử dụng một trong các cách sau :
+) Phương pháp thế : Từ một trong hai phương trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phương trình thứ 2 ta được phương trình bậc nhất 1 ẩn.
+) Phương pháp cộng đại số : 
- Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau).
- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó.
- Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai.
B. Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau đây :
 a) ĐS : ĐKXĐ : x ≠ 1 ; x ≠ - 2. S = .
b) = 2 
Giải : ĐKXĐ : ≠ 0. (*)
Khi đó : = 2 2x = - 3 x = 
Với x = thay vào (* ) ta có ()3 + + 1 ≠ 0
Vậy x = là nghiệm.
Ví dụ 2 : Giải và biện luận phương trình theo m :
 (m – 2)x + m2 – 4 = 0 (1)
+ Nếu m 2 thì (1) x = - (m + 2).
+ Nếu m = 2 thì (1) vô nghiệm. 
Ví dụ 3 : Tìm m Z để phương trình sau đây có nghiệm nguyên .
 (2m – 3)x + 2m2 + m - 2 = 0.
Giải :
Ta có : với m Z thì 2m – 3 0 , vây phương trình có nghiệm : x = - (m + 2) - .
để pt có nghiệm nguyên thì 4 2m – 3 .
Giải ra ta được m = 2, m = 1.
Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : 7x + 4y = 23. 
Giải :
a) Ta có : 7x + 4y = 23 y = = 6 – 2x + 
Vì y Z x – 1 4.
Giải ra ta được x = 1 và y = 4
Phương trình bậc hai
định lý viet và ứng dụng

A.Kiến thức cần ghi nhớ
1. Để biện luận sự cú nghiệm của phương trỡnh : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đú a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xột 2 trường hợp
a)Nếu a= 0 khi đú ta tỡm được một vài giỏ trị nào đú của m ,thay giỏ trị đú vào (1).Phương trỡnh (1) trở thành phương trỡnh bậc nhất nờn cú thể : - Cú một nghiệm duy nhất
 - hoặc vụ nghiệm
 - hoặc vụ số nghiệm
b)Nếu a 0 
Lập biệt số = b2 – 4ac hoặc / = b/2 – ac
* < 0 (/ < 0 ) thỡ phương trỡnh (1) vụ nghiệm
* = 0 (/ = 0 ) : phương trỡnh (1) cú nghiệm kộp x1,2 = - 
 (hoặc x1,2 = -)
* > 0 (/ > 0 ) : phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm phõn biệt:
 x1 = ; x2 = 
 (hoặc x1 = ; x2 = )
2. Định lý Viột.
 Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trỡnh ax2 + bx + c = 0 (a 0) thỡ 
 S = x1 + x2 = - 
 p = x1x2 = 
Đảo lại: Nếu cú hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thỡ hai số đú là nghiệm (nếu có ) của phương trình bậc 2:
 x2 – S x + p = 0 
3.Dấu của nghiệm số của phương trình bậc hai.
Cho phương trỡnh bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) . Gọi x1 ,x2 là cỏc nghiệm của phương trình .Ta có các kết quả sau: x1 và x2 trái dấu( x1 < 0 < x2 ) p < 0 
 Hai nghiệm cùng dương( x1 > 0 và x2 > 0 ) 
 Hai nghiệm cùng âm (x1 < 0 và x2 < 0) 
 Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương( x2 > x1 = 0) 
 Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x1 < x2 = 0) 

4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét
a)Tính nhẩm nghiệm.
Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) 
Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 = 
Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = - 
Nếu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn và thì phương trình có nghiệm 
x1 = m , x2 = n hoặc x1 = n , x2 = m

b) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ,x2 của nó
 Cách làm : - Lập tổng S = x1 + x2 
 - Lập tích p = x1x2
 - Phương trình cần tìm là : x2 – S x + p = 0 
c)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trước.(Các điều kiện cho trước thường gặp và cách biến đổi):
 	 *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p
 	*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p
*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp
*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22
*) = 
*) = 
*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2
*) 
(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trước phải thoả mãn điều kiện )
d)Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm x = x1 cho trước .Tìm nghiệm thứ 2
Cách giải:
Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm
+) Cách 1:- Lập điều kiện để phương trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:
 (hoặc ) (*)
 - Thay x = x1 vào phương trình đã cho ,tìm được giá trị của 
 tham số
Đối chiếu giá trị vừa tìm được của tham số với điều kiện(*)
 để kết luận
 +) Cách 2: - Không cần lập điều kiện (hoặc ) mà ta thay luôn 
 x = x1 vào phương trình đã cho, tìm được giá trị của tham số 
 - Sau đó thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và
 giải phương trình 
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà phương trình bậc hai này có < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước.

Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm
+) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải phương trình (như cách 2 trình bầy ở trên)
+) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm được nghiệm thứ 2
+) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm được nghiệm thứ 2

B . Bài tập áp dụng
 Bài 1: Giải và biện luận phương trình : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.
Ta có = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9
+ Nếu > 0 m2 – 9 > 0 m 3 .Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = m + 1 - x2 = m + 1 + 
+ Nếu = 0 m = 3
Với m =3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = 4
Với m = -3 thì phương trình có nghiệm là x1.2 = -2
 + Nếu < 0 -3 < m < 3 thì phương trình vô nghiệm
Kết kuận:
Với m = 3 thì phương trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phương trình có nghiệm x = -2
Với m 3 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt
 
 x1 = m + 1 - x2 = m + 1 + 
Với -3< m < 3 thì phương trình vô nghiệm


Bài 2: Giải và biện luận phương trình: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0
Hướng dẫn
Nếu m – 3 = 0 m = 3 thì phương trình đã cho có dạng
 - 6x – 3 = 0 x = - 
* Nếu m – 3 0 m 3 .Phương trình đã cho là phương trình bậc hai có biệt số = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18
- Nếu = 0 9m – 18 = 0 m = 2 .phương trình có nghiệm kép
 x1 = x2 = - = - 2
- Nếu > 0 m >2 .Phương trình có hai nghiệm phân biệt
 x1,2 = 
- Nếu < 0 m < 2 .Phương trình vô nghiệm
Kết luận:Với m = 3 phương trình có nghiệm x = - 
Với m = 2 phương trình có nghiệm x1 = x2 = -2
Với m > 2 và m 3 phương trình có nghiệm x1,2 = 
Với m < 2 phương trình vô nghiệm

Bài 3: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất 
2x2 + 2007x – 2009 = 0 
17x2 + 221x + 204 = 0
x2 + ()x - = 0 
x2 –(3 - 2)x - 6 = 0
Giải
2x2 + 2007x – 2009 = 0 có a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0 
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = 1 , x2 = 
17x2 + 221x + 204 = 0 có a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 , 
 x2 = - = - 12
c) x2 + ()x - = 0 có: ac = - < 0 .
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viet ta có :
 x1 + x2 = -() = - + 
 x1x2 = - = (- )

Vậy phương trình có 2 nghiệm là x1 = - , x2= 
 (hoặc x1 = , x2 = - )
 d ) x2 –(3 - 2)x - 6 = 0 có : ac = - 6 < 0 
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .áp dụng hệ thức Viét ,ta có 
 
 Vậy phương trình có 2 nghiệm x1 = 3 , x2 = - 2

Bài 4 : Giải các phương trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số)
x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0
(m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0
Hướng dẫn :
x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 có a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0 
Suy ra : x1 = 2
 Hoặc x2 = 
b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (*)
* m- 3 = 0 m = 3 (*) trở thành – 4x – 4 = 0 x = - 1
* m – 3 0 m 3 (*) 
Bài 5: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phương trình : x2 – 3x – 7 = 0 
a) Tính: 
 A = x12 + x22 B = 
 C= D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)
lập phương trình bậc 2 có các nghiệm là và 
Giải ;
Phương trình bâc hai x2 – 3x – 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 .
Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x1 + x2 = 3 và p = x1x2 = -7
a)Ta có 
+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23
+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = = 
+ C = = 
+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2 
 = 10x1x2 + 3 (x12 + x22) 
 = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1
b)Ta có :
S = (theo câu a)
p = 
Vậy và là nghiệm của hương trình :
 X2 – SX + p = 0 X2 + X - = 0 9X2 + X - 1 = 0
Bài 6 : Cho phương trình :
 x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k là tham số)
1. Chứng minh phương trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2. Tìm những giá trị của k để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x1 , x2 là nghệm của phương trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0

Giải.
1. Phương trình (1) là phương trình bậc hai có:
 = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + 9 = 5(k2 - k + )
 = 5(k2 – 2.k + + ) = 5(k - ) + > 0 với mọi giá trị của k. Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0 
 - k2 + k – 2 < 0 - ( k2 – 2.k + + ) < 0
 -(k - )2 - < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi k
3. Ta có x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)
Vì phương trình có nghiệm với mọi k .Theo hệ thức viét ta có 
 x1 + x2 = k – 1 và x1x2 = - k2 + k – 2 
x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1)
 = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)]
 = (k – 1) (4k2 – 5k + 7)
 = (k – 1)[(2k - )2 + ]
Do đó x13 + x23 > 0 (k – 1)[(2k - )2 + ] > 0 
 k – 1 > 0 ( vì (2k - )2 + > 0 với mọi k)
 k > 1 Vậy k > 1 là giá trị cần tìm
Bài 7: 
Cho phương trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)
Giải phương trình (1) với m = -5
Chứng minh rằng pt (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m
Tìm m để đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phương trình (1) nói trong phần 2.)
Giải
Với m = - 5 phương trình (1) trở thành x2 + 8x – 9 = 0 và có 2 nghiệm là x1 = 1 , x2 = - 9 
Có = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + 1 – m + 4 = m2 + m + 5 
 = m2 + 2.m. + + = (m + )2 + > 0 với mọi m
 Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2
Vì phương trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:
x1 + x2 = 2( m + 1) và x1x2 = m – 4
Ta có (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – 4 (m – 4)
 = 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m + )2 + ]
=> = 2 = khi m + = 0 m = - 
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi m = - 

Bài 8 : Cho phương trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)
Giải phương trình khi m = - 
Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm với mọi m
Tìm tất cả các giá trị củ