Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Đống Đa (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN ĐỐNG ĐA
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút
Ngày thi: 14/11/2020

 (5 điểm) 
1. Tìm tất cả các số tự nhiên n để là số nguyên tố.
2. Giải phương trình 
 (5 điểm)
1.	Cho ba số thực khác không thỏa mãn điều kiện: 
 và . Tính giá trị của biểu thức:
2.	Tìm tất cả các bộ số nguyên thỏa mãn 
 (2 điểm)
Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 (7 điểm)
Cho đoạn thẳng và một điểm nằm bất kỳ trên đoạn thẳng , một nửa mặt phẳng bờ , dựng hai hình vuông và . Gọi giao điểm của đường thẳng và là điểm , giao điểm của đường thẳng và là .
a)	Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
b)	Chứng minh rằng và 3 điểm thẳng hàng.
c)	Tìm vị trí các điểm trên đoạn thẳng để độ dài đoạn thẳng đạt giá trị lớn nhất.
 (1 điểm)
Một hình hộp chữ nhật có các kích thước
 là các số nguyên dương tính theo đơn vị cm, 
có thể tích . 
Biết khi đạt hình hộp chữ nhật đó đặt lên mặt bàn 
thì tổng diện tích của 5 mặt nhìn thấy được là 
(minh họa bằng hình vẽ bên). Tìm giá trị nhỏ nhất của .
–HẾT—
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN 9 QUẬN ĐỐNG ĐA
Năm học: 2020-2021
(5 điểm) 
1. Tìm tất cả các số tự nhiên n để là số nguyên tố.
2. Giải phương trình 
Lời giải
1.	Tìm tất cả các số tự nhiên n để là số nguyên tố.
Ta có 
Với không phải số nguyên tố
Với là số nguyên tố
Với là số nguyên tố.
Với là số nguyên tố.
Với thì và 
 và thì luôn tồn tại một số số chẵn nên khi đó P là hợp số.
Vậy P là số nguyên tố thì 
2.	Giải phương trình (*)
Điều kiện xác định: 
Đặt 
Thay vào (*) ta được
Với t=3
 hoặc 
 (5 điểm)
1.	Cho ba số thực khác không thỏa mãn điều kiện: 
 và . Tính giá trị của biểu thức:
2.	Tìm tất cả các bộ số nguyên thỏa mãn 
Lời giải
1.	Ta có 
Khi đó ta có 
2.	
-	Nếu không là số nguyên, không thể xảy ra.
-	Nếu .
Trường hợp 1. 
Trường hợp 2. 
Trường hợp 3. 
Trường hợp 4. 
-	Nếu là số chẵn và chia 4 dư 2 là số chẵn.
Mà là số chẵn và là số chẵn.
chia hết cho 4, mà không chia hết cho 4. Nên không thể xảy ra.
Vậy bộ số nguyên là 
 (2 điểm)
Cho là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Lời giải
Ta có: 
Tương tự
Dấu “ =” xảy ra khi 
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là khi .
 (7 điểm)
Cho đoạn thẳng và một điểm nằm bất kỳ trên đoạn thẳng , một nửa mặt phẳng bờ , dựng hai hình vuông và . Gọi giao điểm của đường thẳng và là điểm , giao điểm của đường thẳng và là .
a)	Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
b)	Chứng minh rằng và 3 điểm thẳng hàng.
c)	Tìm vị trí các điểm trên đoạn thẳng để độ dài đoạn thẳng đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
a)	Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
Hình vuông có đường chéo , suy ra hay .
Hình vuông có đường chéo , suy ra hay.
Suy ra tam giác vuông cân ở , suy ra 
Xét tam giác có là các đường cao và cắt nhau tại ,
suy ra là trực tâm tam giác , suy ra hay .
Tứ giác có nên là tứ giác nội tiếp
Suy ra minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
b)	Chứng minh rằng và 3 điểm thẳng hàng.
Xét tứ giác , có nên nội tiếp, suy ra (1)
Tương tự (2)
Từ (1) và (2), suy ra . Vì thẳng hàng nên .
Suy ra hay .
Xét tam giác có , từ đó theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có .
Ta có tứ giác nội tiếp vì , suy ra hay .
Mặt khác tứ giác nội tiếp, suy ra , suy ra hay mà , suy ra thẳng hàng, lại có . 
Do đó bốn điểm thẳng hàng. (đpcm).
Cách 2
Xét tứ giác , có nên nội tiếp, suy ra (1)
Tương tự (2)
Từ (1) và (2), suy ra . Vì thẳng hàng nên .
Suy ra hay .
Xét tam giác có , từ đó theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có .
Ta có tứ giác nội tiếp vì , suy ra hay .
Mặt khác tứ giác nội tiếp, suy ra , suy ra hay mà , suy ra thẳng hàng, lại có . 
Do đó bốn điểm thẳng hàng. (đpcm).
Tìm vị trí các điểm trên đoạn thẳng để độ dài đoạn thẳng đạt giá trị lớn nhất.
 	Ta có 
Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là trung điểm AB.
 (1 điểm)
Một hình hộp chữ nhật có các kích thước
 là các số nguyên dương tính theo đơn vị cm, 
có thể tích . 
Biết khi đặt hình hộp chữ nhật đó lên mặt bàn 
thì tổng diện tích của 5 mặt nhìn thấy được là 
(minh họa bằng hình vẽ bên). Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Lời giải
Gọi các kích thước của hình hộp chữ nhật đó là 
Từ giả thiết, ta có 
Ta có 
Xét hiệu 
Suy ra Dấu “=” xảy ra tại 
Vậy 
–HẾT—