Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Hai Bà Trưng (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN HAI BÀ TRƯNG
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút
 (5 điểm) 
1) Cho là các số thực khác thỏa mãn 
Tính giá trị biểu thức: 
2) Giải phương trình 
 (5 điểm)
1) Cho đa thức với hệ số thực thỏa mãn và Tìm đa thức dư trong phép chia đa thức cho đa thức 
2) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn 
3) Cho là các số nguyên dương phân biệt và là số nguyên tố lẻ sao cho đều chia hết cho Chứng minh rằng .
 (2 điểm)
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức với 
2) Với các số thực thỏa mãn: và . Chứng minh rằng 
 (6 điểm)
Cho tam giác vuông tại có và đường cao . Gọi là chân các đường vuông góc hạ từ lên . Gọi là giao điểm của và , cắt tại điểm Đường thẳng qua song song với cắt tại . 
1) Chứng minh là trung điểm .
2)cắt tại . Chứng minh: và 
3) Gọi là giao điểm của và . Kẻ vuông góc với Chứng minh rằng 
(1 điểm) Cho lục giác đều có diện tích và điểm nằm trong lục giác đều . Chứng minh rằng tồn tại tam giác có đỉnh là điểm trong điểm đã cho có diện tích không lớn hơn 
–HẾT—

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN 9 QUẬN ĐỐNG ĐA
Năm học: 2020-2021

Lời giải
(5 điểm) 
1) Cho là các số thực khác thỏa mãn 
Tính giá trị biểu thức: 
2) Giải phương trình 
Lời giải
1) Ta có: 
Suy ra 
Do đó, .
TH1: suy ra: Suy ra 
TH2: suy ra 
2) Giải phương trình 
Điều kiện xác định: 
Biến đổi phương trình về dạng 
Vì và với mọi nên 
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy nghiệm của phương trình là 
 (5 điểm)
1) Cho đa thức với hệ số thực thỏa mãn và Tìm đa thức dư trong phép chia đa thức cho đa thức 
2) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn 
3) Cho là các số nguyên dương phân biệt và là số nguyên tố lẻ sao cho đều chia hết cho Chứng minh rằng .
Lời giải
1) Đặt 
Ta có và 
Suy ra Vậy đa thức dư là 
2) Biến đổi phương trình về dạng .
TH1: 
TH2: 
TH3: 
TH4: 
Từ đó giải ra được 
3) Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng: . 
Thấy rằng đều chia hết cho suy ra đều không chia hết cho .
 Từ giả thiết đều chia hết cho ta suy ra mà suy ra ,
 Tương tự ta cũng có: suy ra và .
Ta có và .
Nếu thì dẫn đến mà là số nguyên tố lẻ nên trái với giả thiết vậy .
Sử dụng các dữ kiện: 
 (2 điểm)
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức với 
2) Với các số thực thỏa mãn: và . Chứng minh rằng 
Lời giải
1)	Vì , ta xét , do đó vì .
Dấu “=” xảy ra khi suy ra 
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất là khi 
Vì , ta xét 
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 
Do đó, , dấu “=” xảy ra khi suy ra 
Vậy đạt giá trị lớn nhất là khi 
2)	Từ giả thiết ta có: .
Sử dụng bất đẳng thức ta suy ra 
 Vì .
Chú ý: Nếu học sinh chứng minh được cho nửa số điểm.
Từ giả thiết suy ra .
Do đó, 
 (6 điểm)
Cho tam giác vuông tại có và đường cao . Gọi là chân các đường vuông góc hạ từ lên . Gọi là giao điểm của và , cắt tại điểm Đường thẳng qua song song với cắt tại . 
1) Chứng minh là trung điểm .
2)cắt tại . Chứng minh: và 
3) Gọi là giao điểm của và . Kẻ vuông góc với Chứng minh rằng 
Lời giải
1)	Do theo định lý Thales ta có: mà là trung điểm nên 
dẫn đến hay là trung điểm . 
Cách khác: Có thể nói là trung điểm dựa trên định lý đường trung bình của tam giác 
2)	Ta có . Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: . 
Từ đó suy ra .
Chứng minh tương tự ta có: .
Suy ra 
Cách khác: Theo định lý Thales ta có: , tương tự ta cũng có: dẫn đến .
3)	Sử dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông với ta có từ đó suy ra dẫn đến . Gọi là trung điểm của thì nên tam giác cân tại , suy ra . Từ đó suy ra nên nên là trực tâm của tam giác dẫn đến hay (*).
Tam giác vuông tại , có hay (**). Từ (*),(**) suy ra là trung trực của dẫn đến nên tam giác vuông tại 
(1 điểm)
Cho lục giác đều có diện tích và điểm nằm trong lục giác đều . Chứng minh rằng tồn tại tam giác có đỉnh là điểm trong điểm đã cho có diện tích không lớn hơn 
Lời giải
Bổ đề: Lấy điểm trong một hình bình hành, khi đó tam giác tạo bởi điểm đó có diện tích bé hơn hoặc bằng nửa diện tích hình bình hành.
Áp dụng: Gọi là tâm của lục giác đều, khi đó lục giác chia thành hình bình hành là . Theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại một hình bình hành chứa ít nhất điểm và theo bổ đề điểm này tạo tam giác có diện tích nhỏ hơn nửa diện tích hình bình hành, hay diện tích không lớn hơn 
–HẾT—