Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi năm học 2013 - 2014 môn: Toán 8

PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm): 
Cho biểu thức 
	a) Rút gọn Q.
	b) Tính giá trị của Q biết .
	c) Tìm giá trị nguyên x để Q có giá trị nguyên.
Câu 2 (2,0 điểm):
a) Cho ba số x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 3. 
Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + xz
b) Tìm x, y, z biết: và 
Câu 3 (2,0 điểm):
	a) Cho đa thức . Tìm a, b, c, d biết rằng khi chia đa thức lần lượt cho các nhị thức (x - 1), (x - 2), (x - 3) đều có số dư là 6 và tại x = -1 thì đa thức nhận giá trị -18.
b) Cho a > 0, b > 0 và a + b =1. Chứng minh rằng:
Câu 4 (1,5 điểm): 
Lúc 8 giờ An rời nhà mình để đi đến nhà Bình với vận tốc 4km/h. Lúc 8giờ 20 phút Bình cũng rời nhà mình để đi đến nhà An với vận tốc 3km/h. An gặp Bình trên đường rồi cả hai cùng đi về nhà Bình, sau đó An trở về nhà mình. Khi về đến nhà mình An tính ra quãng đường mình đi dài gấp 4 lần quãng đường Bình đã đi. Hãy tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình.
Câu 5 (2,5 điểm):
Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC ( E khác B và C). Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI tại G.
a) Chứng minh AE = AF và tứ giác EGFK là hình thoi.
b) Chứng minh đồng dạng với và AF2= FK.FC
c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi.
------Hết----------
Lưu ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN: TOÁN 8
Câu
ý
Hướng dẫn chấm
Thang điểm
1
a
ĐKXĐ: 
0.5
0.25
0.25
b
 x =2 ( loại); Vậy với x =-1/2 Q = -3
0.5
c
 với x {-3;-2-1}
0.5
2
a
B= xy+z(x+y) = xy+ [3-(x+y)](x+y)
= xy+3(x+y)-(x+y)2 = - x2-y2-xy+3x+3y
= 
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x= y = z = 1
1.0
b
Từ suy ra: (1)
Từ suy ra: (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Với y =2 x =1; z = -1
Với y = -2 x = -1; z = 1
1.0
3
a
 Ta có f(x) -6 chia hết cho (x-1), (x-2), (x-3)
Vì f(x) bậc ba nên có dạng f(x) -6 =m(x-1).(x-2).(x-3), m là hằng số.
Lại có f(-1) = -18 -18-6=m(-2)(-3)(-4) m=1
Vậy f(x) -6 = (x-1).(x-2).(x-3) f(x) = x3-6x2+11x
0.25
0.25
0.25
0.25
b
3(a+1+b+1) 4(a+1)(b+1)
 9 4(ab+a+b+1) ( do a+b =1)
 9 4ab+ 8 1 4ab (a+b)2 4ab
 (a - b)2 0 đúng với mọi a, b.
0.25
0.25
0.25
0.25
4
Gọi khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình là x (km), x>0. 
Theo bài ra ta có quãng đường An đi được là 2x. Suy ra quãng đường Bình đã đi là: 
0.5
Do đó quãng đường Bình đi từ nhà đến khi gặp An là , quãng đường An đi từ nhà đến khi gặp Bình là: 
Thời gian An đi từ nhà đến khi gặp Bình là: ( giờ), thời gian Bình đi từ nhà đến khi gặp An là (giờ)
0.5
Theo bài ra, ta có phương trình: 
9x - 4x =16 x =(km)
0.5
5
0.5
a
Xét hai tam giác vuông ABE và ADF có AB = AD, = (cùng phụ với DAE)
Vậy AE=AF
Vì AE=AF và AI là trung tuyến của AIEF
Hai tam giác vuông IEG và IFK có IE=IF, IEG =IFK ( so le trong) nên EG=FK
Tứ giác có EGFK có hai cạnh EG và FK song song và bằng nhau nên là hình bình hành.
Hình bình hành EGFK có hai đường chéo GK và EF vuông góc nên là hình thoi.
1.0
b
Xét hai tam giác AKF và CAF ta có = ( góc chung)
 = = 450 ( AC là đường chéo hình vuông ABCD, AK là trung tuyến của tam giác vuông cân AEF)
Suy ra AKF CAF 
1.0
c
Theo câu a) ta có: nên EB = FD
Tứ giác EGFK là hình thoi nên EK= KF
Do đó chu vi tam giác =EK+ KC + CE =CF + CE=CD + DF + CE= 2CD ( không đổi)
0.5
Tổng điểm
10.0