Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi năm học 2013 - 2014 môn: Toán khối 7

PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán - Lớp 7
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 2,5 điểm) :
a) Tính: 
b) Tìm các số: biết: 
 và 
Câu 2 ( 2,0 điểm):
a) Cho đa thức: A(x) = Chứng minh rằng: A() < 1.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = | x + 3| + (|y - 2013| + 2)2+ 2014 khi x, y thay đổi.
Câu 3 ( 2,0 điểm):
a) Tìm x biết: 
b) Cho . Chứng minh rằng: 
Câu 4 ( 2,5 điểm):
Cho tam giác ABC vuông cân tại B, có trung tuyến BM. Gọi D là một điểm bất kỳ thuộc cạnh AC. Kẻ AH, CK vuông góc với BD ( H, K thuộc đường thẳng BD). Chứng minh rằng: 
a) BH = CK.
b) Tam giác MHK vuông cân.
Câu 5 ( 1,0 điểm):
Cho tam giác ABC, AN, BP, CQ là ba trung tuyến. Chứng minh: 
------------------Hết------------------
(Người coi thi không giải thích gì thêm!)
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI 
NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán - Lớp 7
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
a
= 
=
= =
0,5
0,5
0,5
b
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Suy ra: 
0,25
0,5
0,25
2
a
Với x = thì giá trị của đa thức là:
 A = () +()2+ ()3 ++ ()1944+ ()1945 =
= +++ + + .
2A = 2.( +++ + + ) =
=1 + +++ + + 
=( +++ + + ) + 1 - 
2A = A +1 - A = 1- < 1 (Điều phải chứng minh).
0,25
0,25
0,25
0,25
b
Ta có: | y -2013| 0 y nên (|y - 2013| + 2)2 4 y; | x + 3| 0 x.
Suy ra: A 4+ 2014 =2018.
Dấu “=” xảy ra x = -3 và y = 2013
Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 2018 khi x = -3 và y = 2013.
0,25
0,25
0,25
0,25
3
a
416 – x = 0 x =416.
0,25
0,25
0,25
0,25
b
Cho nên: 
Do đó: và . Suy ra: 12x = 8y = 6z
Vậy hay .
0,5
0,25
0,25
4
a
HS vẽ hình chính xác. 
a) ( cạnh huyền- góc nhọn)
BH = CK ( 2 cạnh tương ứng)
0,25
0,5
0,25
b
vuông cân tại B 
, vuông cân tại M 
mà (Do ) 
Lại có: BH = CK (C/m trên)
 (c.g.c)
MH = MK ( 2 cạnh tương ứng); ( 2 góc tương ứng).
Lại có == 900
 vuông cân tại M.
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
5
HS vẽ hình chính xác. 
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong các tam giác: GAB, GBC, GCA, ta có:
0,5
Ta lại có: 
Thay vào trên ta được: 2
0,5
Tổng điểm
10,0
---------------------------