Đề khảo sát chất lượng ôn thi đại học lần 2 môn: Toán; khối B

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC  ĐỀ KTCL ễN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2013ư2014 
Mụn: TOÁN; Khối B 
Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số  3 2 2 3 3 3( 1) 1, y x mx m x m = - + - - +  (1) (với m  là tham số). 
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số đó cho khi  1. m = 
b) Gọi d  là tiếp tuyến tại điểm cực đại  A của đồ thị hàm số (1). Đường thẳng  d  cắt trục Oy  tại 
điểm  B . Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của  m  để diện tớch tam giỏc OAB  bằng 6, với O  là gốc tọa độ. 
Cõu 2 (1,0 điểm). Giải phương trỡnh:  sin 4 2 cos3 4sin cos . x x x x + = + + 
Cõu 3 (1,0 điểm). Giải phương trỡnh:  2 
1 
2 3 1 4 3. x x x 
x 
+ + = - + + 
Cõu 4 (1,0 điểm).  Tớnh tớch phõn: 
2 2 
2 2 
3 
. 
1 1 
x 
dx 
x x + + - 
ũ 
Cõu 5 (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp  . S ABCD  cú đỏy  ABCD  là hỡnh vuụng cạnh  2 a  ,  , SA SB = 
SA  vuụng gúc với  AC , mặt phẳng  ( ) SCD  tạo với mặt phẳng đỏy một gúc bằng 60 O . Tớnh thể 
tớch khối chúp  . S ABCD  theo  a . 
Cõu 6  (1,0 điểm). Cho  , , x y z  là ba số thực dương thỏa món  3 xy yz zx xyz + + =  . Chứng minh 
rằng: 
2 2 2 
1 1 1 3 
. 
(3 1) (3 1) (3 1) 4 x x y y z z 
+ + ³ 
- - - 
II. PHẦN RIấNG (3,0 điểm) Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) 
A. Theo chương trỡnh Chuẩn 
Cõu 7.a (1,0 điểm).  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hỡnh vuụng  ABCD  cú đỉnh  A  thuộc 
đường  thẳng  : 4 0, d x y - - =  đường  thẳng  BC  đi qua điểm  (4;0), M  đường  thẳng  CD  đi  qua 
điểm  (0;2). N  Biết tam giỏc  AMN  cõn tại  A , viết phương trỡnh đường thẳng BC. 
Cõu 8.a (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ tọa độ  Oxyz , cho điểm  (3;1; 4). A -  Tỡm tọa độ cỏc 
điểm  , B C thuộc trục Oy sao cho tam giỏc  ABC  vuụng cõn tại  A . 
Cõu 9.a (1,0 điểm). Một hộp  chứa  4  quả  cầu màu đỏ,  5  quả  cầu màu xanh và  7  quả  cầu màu 
vàng. Lấy ngẫu nhiờn cựng lỳc ra  4  quả cầu từ hộp đú. Tớnh xỏc suất sao cho  4  quả cầu được lấy 
ra cú đỳng một quả cầu màu đỏ và khụng quỏ hai quả cầu màu vàng. 
B. Theo chương trỡnh Nõng cao 
Cõu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ  , Oxy  cho hỡnh vuụng ABCD, cú  BD  nằm trờn 
đường thẳng  : 3 0 d x y + - =  , điểm  ( 1;2) M -  thuộc đường thẳng AB, điểm  (2; 2) N -  thuộc đường 
thẳng AD. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh vuụng  ABCD  biết điểm B cú hoành độ dương. 
Cõu 8.b (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) P  : 1 0 x y z - - + =  và 
điểm ( ) 3; 2; 2 A - -  . Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) Q  đi qua  A , vuụng gúc với mặt phẳng ( ) P  và 
cắt cỏc trục  , Oy Oz  lần lượt tại  , M N  sao cho OM ON =  (M, N khụng trựng với O). 
Cõu 9.b (1,0 điểm). Giải bất phương trỡnh: ( ) ( ) 2 2 log 3 1 6 1 log 7 10 x x + + - ³ - -  . 
ưưưưưưưưưưưHếtưưưưưưưưưưư 
www.VNMATH.com
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC 
KTCL ễN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2013ư2014 
Mụn: TOÁN; Khối B 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
I. LƯU í CHUNG: 
ư Hướng dẫn chấm chỉ trỡnh bày một cỏch giải với những ý cơ bản phải cú. Khi chấm bài học sinh 
làm theo cỏch khỏc nếu đỳng và đủ ý thỡ vẫn cho điểm tối đa. 
ư Điểm toàn bài tớnh đến 0,25 và khụng làm trũn. 
ư Với Cõu 5 nếu thớ sinh khụng vẽ hỡnh phần nào thỡ khụng cho điểm tương ứng với phần đú. 
II. ĐÁP ÁN: 
Cõu  í  Nội dung trỡnh bày  Điểm 
1  a  1,0 
Khi  1 m =  ta cú hàm số  3 2 3 y x x = - 
Tập xỏc định: D = Ă . 
Ta cú  2 ' 3 6 y x x = -  ; 
0 
' 0 
2 
x 
y 
x 
= ộ 
= Û ờ = ở 
0,25 
ư  Hàm  số  đồng  biến  trờn  cỏc  khoảng ( ;0) -Ơ  và  (2; ) +Ơ  ;  nghịch  biến  trờn 
khoảng  (0;2) . 
ư Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại  0, 0 CD x y = =  ; đạt cực tiểu tại  2 , 4 CT x y = = - 
ư Giới hạn:  lim , lim 
x x 
y y 
đ+Ơ đ-Ơ 
= +Ơ = -Ơ .  0,25 
Bảng biến thiờn: 
x  0  2 
y'  +  0  ư  0  + 
y  0 
ư4 
+Ơ 
+Ơ -Ơ 
-Ơ 
0,25 
Đồ thị: 
0,25 
b  1,0 
Ta cú ( ) 2 2 3 6 3 1 ; y x mx m  = - + -  2 2  1 0 2 1 0 
1 
x m 
y x mx m 
x m 
= - ộ Â = Û - + - = Û ờ = + ở  0,25
www.VNMATH.com
Suy ra hàm số cú cực đại và cực tiểu với mọi mẻ Ă . 
Ta  cú  ''( 1) 6; ''( 1) 6 y m y m - = - + =  ,  do  đú  điểm  cực  đại  của  đồ  thị  hàm  số  là 
( ) 1 ; 3 3 A m m - - +  . 
Phương trỡnh tiếp tuyến  d : ( )( )  : 3 3 A A A y y x x x y d y m  = - + Û = - + 
0,25 
Ta cú { } ( ) 0 ; 3 3 B d Oy B m = ầ ị - +  . Điều kiện cú tam giỏc là  1 m ạ  .  0,25 
Do tiếp tuyến song song với trục Ox  nờn tam giỏc OAB  vuụng tại  B . 
1 , AB m = -  3 3 OB m = - +  . Nờn diện tớch tam giỏc OAB  là 
( ) 2 
1 1 
. 1 4 
3 2 OAB 
m 
S ABOB m 
m D 
= - ộ 
= Û - = Û ờ = ở 
. 
Vậy  1 m = -  và  3 m =  thoả món yờu cầu. 
0,25 
2  1,0 
Phương trỡnh đó cho tương đương với 
4sin .cos .cos 2 2 cos3 4sin cos x x x x x x + = + + 
0,25 
( ) 2sin 2cos .cos 2 2 2 cos3 cos 0 x x x x x Û - + - - = 
( ) 2sin cos3 cos 2 2 cos3 cos 0 
(2sin 1)(cos3 cos 2) 0 
x x x x x 
x x x 
Û + - + - - = 
Û - + - = 
0,25 
*) 
2 
1  6 sin 
5 2 
2 
6 
x k 
x 
x k 
p p 
p p 
ộ = + ờ 
= Û ờ 
ờ = + ờ ở 
*)  3 cos3 cos 2 0 4cos 2cos 2 0 cos 1 2 x x x x x x k p + - = Û - - = Û = Û = 
0,25 
Vậy  phương  trỡnh  cú  cỏc  nghiệm: 
5 
2 , 2 
6 6 
x k x k p p p p = + = +  và  2 x k p = 
với  k ẻ 
0,25 
3  1,0 
ĐK: 
0 
1 
2 
1 
x 
x 
x 
ạ ỡ 
ù ùộ ³ - ớ ờ
ù ờ
ù Ê - ở ợ 
(*)  0,25 
ư Nếu  0 x >  thỡ phương trỡnh tương đương với  2 2 
3 1 3 1 
2 4 
x x x x 
+ + = - + + ( ) 1  . 
Đặt 
2 
3 1 
2 ( 0) t t 
x x 
= + + ³ ( ) 1  . Phương trỡnh (1) trở thành 
2 
0 
3 
6 
t 
t 
t t 
³ ỡ 
Û = ớ 
= - ợ 
. 
Với  3 t =  , ta cú  2 
2 
3 37 
( ) 
3 1  14 2 3 7 3 1 0 
3 37 
( . ) 
14 
x tm 
x x 
x x 
x k tm 
ộ + 
= ờ 
ờ + + = Û - - = Û 
ờ - 
= ờ 
ở 
0,25 
ưNếu  0 x <  thỡ phương trỡnh tương đương với  2 2 
3 1 3 1 
2 4 
x x x x 
+ + = - - ( ) 2  . 
0,25
www.VNMATH.com
Đặt 
2 
3 1 
2 t 
x x 
= + +  ,  ( 0) t ³  . Phương trỡnh ( ) 2  trở thành  2 
0 
2 
6 
t 
t 
t t 
³ ỡ 
Û = ớ 
= - ợ 
. 
Với  2 t =  , ta cú  2 
2 
3 17 
( . ) 
3 1  4 2 2 2 3 1 0 
3 17 
( ) 
4 
x k tm 
x x 
x x 
x tm 
ộ + 
= ờ 
ờ + + = Û - - = Û 
ờ - 
= ờ 
ở 
Kết hợp với điều kiện (*) suy ra phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm là: 
3 37 
14 
x 
+ 
=  , 
3 17 
4 
x 
- 
=  . 
0,25 
4  1,0 
Đặt  2 2 2 1 1 . t x x t xdx tdt = + ị = - ị = 
Đổi cận : 
x  3  2 2 
t  2  3 
0,25 
Ta cú 
( )( ) 
3 3 
2 
2 2 2 2 1 
tdt tdt 
I dx 
t t t t 
= = 
+ - + - ũ ũ  0,25 
3 
3 3 
2 2 
2 
1 1 2 1 2 
ln| 1| ln| 2 | 
3 1 2 3 3 
dt t t 
t t 
ộ ự = + = - + + ờ ỳ - + ở ỷ ũ  0,25 
( ) ( ) 1 2 1 ln 2 ln 5 ln 4 2 ln5 3ln 2 . 
3 3 3 
= + - = - 
Vậy ( ) 1  2ln5 3ln 2 . 
3 
I = - 
0,25 
5  1,0 
H  O  M 
D 
B 
A 
C 
S 
Gọi  O  là  tõm  của  đỏy,  M  là 
trung  điểm  của  CD .  Vỡ 
SA=SB nờn S  thuộc mặt phẳng 
trung trực của AB (cũng là mặt 
phẳng trung trực của CD). Gọi 
H là hỡnh chiếu vuụng gúc của 
S  trờn  mặt  phẳng ( ) ABCD 
suy ra  H OM ẻ  . 
Lại cú 
AC SH 
AC AH 
AC SA 
^ ỡ 
ị ^ ớ ^ ợ 
, hay 
tam giỏc AOH vuụng cõn tại A. 
0,25 
Ta  cú ( ) SHM CD ^ ị  gúc  ã SMH  là  gúc  giữa  hai  mặt  phẳng  ( ) SCD  và 
( ) ABCD  ã  60 . O SMH ị = 
0,25
www.VNMATH.com
Tứ giỏc  AOBH  là hỡnh vuụng cạnh 
3 2 
. 
2 
a 
a HM ị = 
Trong tam giỏc vuụng  SHM  ta cú  0 
3 6 
. tan 60 . 
2 
a 
SH HM = = 
0,25 
Thể tớch khối chúp  . S ABCD  là 
2 3 1 1 3 6 . 2 6 
3 3 2 ABCD 
a 
V SH S a a = = =  (đvtt). 
0,25 
6  1,0 
Từ giả thiết 
1 1 1 
3 3. xy yz zx xyz 
x y z 
+ + = Û + + = 
Đặt 
1 1 1 1 1 1 
,   ,   3. a b c a b c 
x y z x y z 
= = = ị + + = + + = 
Ta cú 
( ) ( ) ( ) 
3 3 
2 2 2 
1 
; 
3 1 3 
a a 
x x a b c 
= = 
- - + ( ) ( ) ( ) 
3 3 
2 2 2 
1 
; 
3 1 3 
b b 
y y b a c 
= = 
- - + 
( ) ( ) ( ) 
3 3 
2 2 2 
1 
. 
3 1 3 
c c 
z z c a b 
= = 
- - + 
0,25 
Bất đẳng thức đó cho tương đương: 
( ) ( ) ( ) 
3 3 3 
2 2 2 
3 
4 
a b c 
b c c a a b 
+ + ³ 
+ + + 
Áp dụng bất đẳng thức Cụưsi ta cú: 
( ) 
( ) ( ) 3 
2 
3 
8 8 4 
b c b c a a 
b c 
+ + 
+ + ³ 
+ 
; 
( ) 
( ) ( ) 3 
2 
3 
8 8 4 
c a c a b b 
c a 
+ + 
+ + ³ 
+ 
( ) 
( ) ( ) 3 
2 
3 
8 8 4 
a b a b c c 
a b 
+ + 
+ + ³ 
+ 
0,25 
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) 
3 3 3 
2 2 2 
3 1 
4 2 
a b c 
a b c a b c 
b c c a a b 
+ + ³ + + - + + 
+ + + 
0,25 
( ) ( ) ( ) 
( ) 
3 3 3 
2 2 2 
1 3 
. 
4 4 
a b c 
a b c 
b c c a a b 
Û + + ³ + + = 
+ + + 
Đẳng thức xảy ra  1 1. a b c x y z Û = = = Û = = = 
0,25 
7.a  1,0 
d 
A 
D 
B 
C 
M 
N 
Giả sử ( ) ; 4 A t t d - ẻ  , do tam giỏc  AMN  cõn tại 
đỉnh  A nờn  2 2 AM AN AM AN = Û = 
( ) ( ) ( ) 
( ) 
2 2 2 2 4 4 6 1 
1; 5 
t t t t t 
A 
Û - + - = + - Û = - 
ị - - 
0,25 
BC  đi qua ( ) 4;0 M  nờn phương trỡnh BC cú dạng 
0,25
www.VNMATH.com
( ) 2 2 4 0 0 ax by a a b + - = + > 
Do CD BC ^  và CD  đi qua ( ) 0;2 N ị phương trỡnhCD :  2 0 bx ay a - + =  . 
Do  ABCD  là hỡnh vuụng nờn khoảng cỏch ( ) ( ) , , d A BC d A CD = 
2 2 2 2 
3 0 5 5 7 
3 0 
a b a b a b 
a b a b a b 
+ = - - - ộ 
Û = Û ờ - = + + ở 
0,25 
ư Nếu 3 0 a b + =  , chọn  1 3 a b = ị = - ị phương trỡnh  : 3 4 0 BC x y - - = 
ư Nếu  3 0 a b - =  , chọn  3 1 a b = ị = ị phương trỡnh  : 3 12 0 BC x y + - =  . 
0,25 
8.a  1,0 
Gọi  H  là  hỡnh  chiếu  vuụng  gúc  của  A  trờn  trục  Oy,  suy  ra  (0;1;0) H  .  Do  đú 
(3;0; 4) 5. HA HA - ị = 
uuur  0,25 
B  thuộc Oy nờn  (0; ;0) (0; 1;0) B b HB b ị - 
uuur 
. Do  tam giỏc ABC  vuụng cõn  tại A 
nờn 
6 
| 1| 5 
4 
b 
HB HA b 
b 
= ộ 
= ị - = ị ờ = - ở 
0,25 
ưVới  6 (0;6;0) (0; 4;0) b B C = ị ị -  .  0,25 
ưVới  4 (0; 4;0) (0;6;0) b B C = - ị - ị  .  0,25 
9.a  1,0 
Số phần tử của khụng gian mẫu là  4 16  1820 C W = =  .  0,25 
Gọi  B  là biến cố “ 4 quả lấy được cú đỳng  một quả cầu màu đỏ và khụng quỏ 
hai quả màu vàng”. Ta xột ba khả năng sau: 
ư Số cỏch lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là:  1 3 4 5 C C 
ư Số cỏch lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là:  1 2 1 4 5 7 C C C 
ư Số cỏch lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là:  1 1 2 4 5 7 C C C 
0,25 
Khi đú  1 3 1 1 2 1 2 1 4 5 4 7 5 4 7 5  740 B  C C C C C C C C W = + + =  .  0,25 
Xỏc suất của biến cố  B  là ( )  740 37 
1820 91 
B P B 
W 
= = = 
W 
.  0,25 
7.b  1,0 
Gọi H là hỡnh chiếu của M  trờn d, suy ra  ( ;3 ) H t t -  . 
Ta cú  ( 1;1 ) MH t t + - 
uuuur 
, d cú vộc tơ chỉ phương  (1; 1) u - 
r 
. 
MH vuụng gúc với d suy ra 
1 1 0 0 (1;1) t t t MH + - + = ị = ị 
uuuur 
. 
0,25 
Do đú  2. 2 MB MH = =  . 
B thuộc d nờn  ( ;3 ) B b b -  ;  2 2 2 ( 1) (1 ) 4 MB b b = Û + + - = 
Suy ra  1 b =  hoặc  1 b = -  (loại). Từ đú  (1;2) B  . 
0,25 
AB đi qua M và B nờn phương trỡnh AB  là  2. y =  AD qua N và vuụng gúc với 
AB nờn phương trỡnh AD là  2 x =  . Vậy  (2;2) A  . 
0,25 
A 
D 
B 
C 
M 
H 
N
www.VNMATH.com
Tọa độ D là nghiệm hệ 
2 
(2;1) 
3 0 
x 
D 
x y 
= ỡ 
ị ớ + - = ợ 
. Gọi I là trung điểm BD suy ra 
3 3
;
2 2 
I ổ ử ỗ ữ 
ố ứ 
. I là trung điểm AC nờn  (1;1). C 
Vậy  (2;2), (1;2), (1;1), (2;1). A B C D 
0,25 
8.b  1,0 
Gọi ( ) ( ) 0; ;0 , 0;0; M a N b  trong đú  0 ab ạ  . Ta cú 
( ) ( ) 3;2 ;2 , 3;2; 2 AM a AN b = - + = - + 
uuuur uuur 
. 
0,25 
Gọi vộctơ phỏp tuyến  của ( ) Q  là  Q n 
r 
( ) , 2 2 ; 3 ;3 Q n AM AN a b ab a b ộ ự ị = = + + ở ỷ 
uuuur uuur r 
.Vộctơ phỏp tuyến của mặt phẳng 
( ) P  là ( ) 1; 1; 1 P n = - - 
r 
. 
0,25 
( ) ( )  . 0 0 P Q P Q P Q n n n n ab a b ^ Û ^ Û = Û - - = 
r r r r 
(1) và 
(2) 
a b 
OM ON a b 
a b 
= ộ 
= Û = Û ờ = - ở 
. 
0,25 
Từ (1) và (2) ta được 
+ 
0 ( ) 
2 
a loai 
a b 
a 
= ộ 
= ị ờ = ở 
. Với ( ) ( ) 2 12;6;6 :2 2 0 Q a n Q x y z = ị = ị + + - = 
r 
+  0 ( ) a b a loai = - ị =  . 
Vậy phương trỡnh ( ) : 2 2 0 Q x y z + + - =  . 
0,25 
9.b  1,0 
ĐK : 
1 
10 
3 
x - Ê Ê  . 
Bất phương trỡnh tương đương ( ) 2 2 6 3 1 log log 7 10 2 
x 
x 
+ + 
³ - - 
0,25 
( )( ) 3 1 2 10 8 4 3 1 10 23 x x x x x Û + + - ³ Û + - ³ +  0,25 
Với 
1 
10 
3 
x - Ê Ê  bất phương trỡnh tương đương với 
2  369 49 418 369 0 1 
49 
x x x - + Ê Û Ê Ê 
0,25 
Kết hợp với điều kiện ta cú nghiệm của bất phương trỡnh đó cho là : 
369 
1 
49 
x Ê Ê  0,25 
ưưưưưưưưưư Hết ưưưưưưưưưư 
www.VNMATH.com