Đề khảo sát chất lượng ôn thi đại học lần 2 môn: Toán; khối D
Bạn đang xem nội dung tài liệu Đề khảo sát chất lượng ôn thi đại học lần 2 môn: Toán; khối D, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ KTCL ễN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2013ư2014
Mụn: TOÁN; Khối D
Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2 3 3 2 1 y x m m x m m = - + - + - + , trong đú m là tham số.
a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1) với 2 m = .
b) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng 2 y = tại ba điểm phõn biệt cú
hoành độ lần lượt là 1 2 3 , , x x x và đồng thời thỏa món đẳng thức
2 2 2
1 2 3 18 x x x + + = .
Cõu 2 (1,0 điểm). Giải phương trỡnh: 2 2
4 sin
cos cos
3 3 2
x
x x p p + ổ ử ổ ử + + - = ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
.
Cõu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh: ( )
2 2 4
,
7 3 6
x y
x y
x y
ỡ + + - = ù ẻ ớ
+ + + = ù ợ
Ă
Cõu 4 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn: ( )
1
2
0
2014 x I x e dx = - ũ .
Cõu 5 (1,0 điểm). Cho hỡnh chúp . S ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang vuụng tại A và B,
, , 2 . AB a BC a AD a = = = Đường thẳng SA vuụng gúc với mặt phẳng ( ) ABCD , gúc giữa mặt phẳng
( ) SCD với mặt phẳng ( ) ABCD bằng 0 60 . Tớnh theo a thể tớch khối chúp . S ABCD và khoảng cỏch từ đỉnh
B đến mặt phẳng ( ) SCD .
Cõu 6 (1,0 điểm ). Tỡm cỏc số thực dương , x y thỏa món hệ phương trỡnh sau:
2 2
2 2
2 (4 1) 2 (2 1) 32
1
2
x x y y y
x y x y
ỡ + + + = +
ù
ớ
+ - + = ù ợ
II. PHẦN RIấNG (3,0 điểm) Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trỡnh Chuẩn
Cõu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( ) : 2 2 0 d x y - + = và hai điểm
(4;6), (0; 4) A B - . Tỡm trờn đường thẳng ( ) d điểm M sao cho vộc tơ AM BM +
uuuur uuuur
cú độ dài nhỏ nhất.
Cõu 8.a (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm ( ) ( ) ( ) 1;0; 1 , 1; 2;3 , 0;1;2 A B C - - và
( ) 1; 1 ; 1 6 D m m - + . Tỡm m để bốn điểm , , , A B C D cựng thuộc một mặt phẳng.
Cõu 9.a (1,0 điểm). Lấy ngẫu nhiờn lần lượt 3 chữ số khỏc nhau từ 5 chữ số {0;1;2;3; 4} và xếp thành hàng
ngang từ trỏi sang phải . Tớnh xỏc suất để nhận được một số tự nhiờn cú 3 chữ số.
B. Theo chương trỡnh Nõng cao
Cõu 7.b (1,0 điểm).Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cõn tại đỉnh A, biết ( ) 3; 3 A - , hai
đỉnh B, C thuộc đường thẳng 2 1 0 x y - + = , điểm ( ) 3;0 E nằm trờn đường cao kẻ từ đỉnh C. Tỡm tọa độ hai
đỉnh B và C.
Cõu 8.b (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (0; 1; 3), (3;0; 3) A B - - - và mặt cầu
(S) cú phương trỡnh : 2 2 2 2 2 2 6 0 x y z x y z + + + + + - = . Viết phương trỡnh mặt phẳng ( ) P đi qua hai điểm
, A B và mặt phẳng ( ) P cắt mặt cầu (S) theo một đường trũn cú bỏn kớnh là 5
Cõu 9.b (1,0 điểm). Giải phương trỡnh: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 2 log 4 3 log 2 log 2 4 x x x - + + - - = .
ưưưưưưưưưưưưưHếtưưưưưưưưưưư
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm!
www.VNMATH.com
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KTCL ễN THI ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2013ư2014
Mụn: TOÁN; Khối D
HƯỚNG DẪN CHẤM
I. LƯU í CHUNG:
ư Hướng dẫn chấm chỉ trỡnh bày một cỏch giải với những ý cơ bản phải cú. Khi chấm bài học sinh làm theo
cỏch khỏc nếu đỳng và đủ ý thỡ vẫn cho điểm tối đa.
ư Điểm toàn bài tớnh đến 0,25 và khụng làm trũn.
ư Với Cõu 5 nếu thớ sinh khụng vẽ hỡnh phần nào thỡ khụng cho điểm tương ứng với phần đú.
II. ĐÁP ÁN:
Cõu í Nội dung trỡnh bày Điểm
1 a Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 2 m = . 1,0
Khi 2 m = hàm số (1) cú dạng 3 3 y x x = -
a) Tập xỏc định D = Ă .
b) Sự biến thiờn
+) Chiều biến thiờn: 2 ' 3 3 y x = - , ' 0 1 y x = Û = ± .
Hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng ( ) ; 1 -Ơ - và ( ) 1;+ Ơ .
Hàm số nghịch biến trờn khoảng ( ) 1;1 - .
0.25
+) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 1, 2 CD x y = - = .
Hàm số đạt cực tiểu tại 1, 2 CT x y = = - .
+) Giới hạn: 3 3
2 2
3 3
lim lim 1 ; lim lim 1
x x x x
y x y x
x x đ-Ơ đ-Ơ đ+Ơ đ+Ơ
ổ ử ổ ử = - = -Ơ = - = +Ơ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
.
0.25
+) Bảng biến thiờn:
x -Ơ 1 - 1 +Ơ
/ y + 0 - 0 +
y
2 +Ơ
-Ơ 2 -
0.25
c) Đồ thị: 3 0 3 0 0, 3 y x x x x = Û - = Û = = ± .
Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại cỏc điểm ( ) ( ) ( ) 0;0 , 3;0 , 3;0 - .
'' 0 6 0 0 y x x = Û = Û = ị đồ thị hàm số nhận điểm ( ) 0;0 làm điểm uốn.
0.25
b Tỡm tất cả cỏc giỏ trị thực của m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng 2 y = tại
1.0
4
2
ư2
ư4
ư10 ư5 5 10
1 ư1
1
ư2
ư1
0
(Đỏp ỏn cú 06 trang)
www.VNMATH.com
ba điểm phõn biệt cú hoành độ lần lượt là 1 2 3 , , x x x và đồng thời thỏa món đẳng thức
2 2 2
1 2 3 18 x x x + + = .
Phương trỡnh hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đường thẳng 2 y = :
( ) ( ) 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 0 x m m x m m x m m x m m - + - + - + = Û - + - + - = 0.25
( ) ( ) ( )
2
2
3 0
3 0 2
x m
x m x mx m
x mx m
= ộ
Û - + - + = Û ờ + - + = ở
Đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng 2 y = tại 3 điểm phõn biệt khi và chỉ khi (2) cú hai
nghiệm phõn biệt khỏc m
( )
2 2
2
3 0 2
6 4 3 0
m m m m
m m m
ỡ + - + ạ > ộ ù Û Û ớ ờ ở ù ợ
0.25
Giả sử 1 2 3 ; , x m x x = là 2 nghiệm của (2). Khi đú theo định lớ Viet ta
được: 2 3
2 3 . 3
x x m
x x m
+ = - ỡ
ớ = - + ợ
Do đú ( ) 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3 18 2 18 x x x m x x x x + + = Û + + - =
0.25
( ) 2 2 2
3
2 3 18 12 0
4
m
m m m m m
m
= ộ
Û + - - + = Û + - = Û ờ = - ở
.
So sỏnh với điều kiện của m ta được 3 m = thỏa món.
0.25
2
Giải phương trỡnh: 2 2
4 sin
cos cos
3 3 2
x
x x p p + ổ ử ổ ử + + - = ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
1.0
Ta cú: 2 2
4 sin
cos cos
3 3 2
x
x x p p + ổ ử ổ ử + + - = ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
2 2
1 cos 2 1 cos 2
4 sin 3 3
2 2 2
x x
x
p p ổ ử ổ ử + + + - ỗ ữ ỗ ữ + ố ứ ố ứ Û + =
0.25
2 2 2
sin 2 cos 2 cos 2 0 sin 2 2cos cos 2 0
3 3 3
x x x x x p p p ổ ử ổ ử Û - - + + + - = Û - - + = ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
0.25
2 sin 2 cos 2 0 2sin sin 3 0 x x x x Û - - - = Û - - = 0.25
sin 1
3
sin ( )
2
x
x VN
= - ộ
ờ Û
ờ =
ở
2
2
x k p p Û = - + (k ẻ Z) 0.25
3
Giải hệ phương trỡnh:
2 2 4
7 3 6
x y
x y
ỡ + + - = ù
ớ
+ + + = ù ợ
1,0
Điều kiện:
2
2
x
y
³ - ỡ
ớ ³ ợ
. Ta cú:
2 2 4 7 2 3 2 10
7 3 6 7 2 3 2 2
x y x x y y
x y x x y y
ỡ ỡ + + - = + + + + + + - = ù ù Û ớ ớ
+ + + = + - + + + - - = ù ù ợ ợ
0.25
Đặt 7 2 u x x = + + + và ( ) 3 2 ; 0 v y y u v = + + - > , ta được hệ
10
5 5
2
u v
u v
+ = ỡ
ù
ớ
+ = ù ợ
10 5
25 5
u v u
uv v
+ = = ỡ ỡ
Û Û ớ ớ = = ợ ợ
0.25
Khi đú ta cú hệ
( )
( )
7 2 5 1
3 2 5 2
x x
y y
ỡ + + + = ù
ớ
+ + - = ù ợ 0.25
www.VNMATH.com
Giải pt (1) ta được: x = 2
Giải pt(2) ta được: y = 6. Khi đú
7 2 5 2
6 3 2 5
x x x
y y y
ỡ + + + = = ỡ ù Û ớ ớ = + + - = ợ ù ợ
Vậy nghiệm của hệ phương trỡnh là: (x; y) = (2; 6)
0.25
4
Tớnh tớch phõn: ( )
1
2
0
2014 x I x e dx = - ũ 1,0
Đặt
2 2
2014
1
2
x x
du dx u x
v e dv e dx
= ỡ = - ỡ ù ị ớ ớ
= = ợ ù ợ
0.25
( )
1
2 2
0
1 1 1
2014
0 2 2
x x I x e e dx ị = - - ũ 0.25
2
2 1 2013 1 1007
0 2 4
x e e = - + - 0.25
2 4029 4027
4
e -
= 0.25
5 Cho hỡnh chúp . S ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang vuụng ở A và B,
( ) , , 2 , AB a BC a AD a SA ABCD = = = ^ , gúc giữa mặt phẳng ( ) SCD với mặt đỏy
bằng 0 60 . Tớnh theo a thể tớch khối chúp . S ABCD và khoảng cỏch từ đỉnh B đến mặt
phẳng ( ) SCD .
1,0
Gọi O là trung điểm AD ta cú ABCO là hỡnh vuụng nờn ã 0 90
2
AD
CO ACD = ị =
0.25
Dễ thấy: ( ) CD SAC CD SC ^ ị ^ , do đú gúc giữa (SCD) và mặt đỏy là gúc ã SCA
ã
3
0
.
1 6
60 6 . .
3 2 2 S ABCD
AD BC a
SCA SA a V AB SA
+
ị = ị = ị = =
0.25
Trong ( ) mp SAC kẻ ( ) ( ) ( ) , AH SC AH SCD AH d A SCD ^ ị ^ ị = .
Trong tam giỏc vuụng SAC ta cú:
( ) ( ) 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3
AS 2 a 6 2
AH a
AH AC a
= + = + ị =
0.25
Vỡ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 6 / / , , ,
2 4 2 2
a a
BO SCD d B SCD d O SCD d A SCD ị = = = = 0.25
6 Tỡm , x y dương thỏa món hệ phương trỡnh sau:
2 2
2 2
2 (4 1) 2 (2 1) 32
1
2
x x y y y
x y x y
ỡ + + + = +
ù
ớ
+ - + = ù ợ
1,0
O A D
B C
S
H
www.VNMATH.com
2 2
2 2
2 (4 1) 2 y (2 1) 32(1)
1
(2)
2
x x y y
x y x y
ỡ + + + = +
ù
ớ
+ - + = ù ợ
(2) 2 2
1 1
( ) ( ) 1
2 2
x y Û - + + = . Đặt 2 2
1 1
, 1
2 2
x a y b a b - = + = ị + =
1
1
a
b
ỡ Ê ù ị ớ Ê ù ợ
0.25
(1) 3 2 3 2 8 14 8 4 4 30 a a a b b Û + + + - =
2 2 (4a 11 15)( 1) 2 ( 1) 0 a a b b Û + + - + - = (3)
Vỡ:
2 4 11 15 0
1 0
a a
a
ỡ + + >
ớ
- Ê ợ
(do 1 a Ê ) 2 (4 a 11 15)( 1) 0 a a ị + + - Ê
và: 2 2 ( 1) 0 b b - Ê ( do 1 b Ê )
0.25
ị (3)
0
1
1
0
1
b
a
b
b
a
ỡ = ộ
= ỡ ùờ Û Û = ớ ớ ở = ợ ù = ợ
(vỡ 2 2 1 a b + = ) 0.25
+ Với
1 3
1 1 2 2
0 1 1
0
2 2
x x a
b
y y
ỡ ỡ ỡ - = = ù ù ù = ù ù ù Û Û ớ ớ ớ = ù ù ù + = = -
ù ù ù ợ ợ ợ
( thỏa món)
Kết luận : Hệ phương trỡnh cú nghiệm
3 1
( ; ) ( ; )
2 2
x y =
0.25
7.a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( ) : 2 2 0 d x y - + = và hai
điểm (4;6),B(0; 4) A - . Tỡm trờn đường thẳng ( ) d điểm M sao cho vộc tơ
AM BM +
uuuur uuuur
cú độ dài nhỏ nhất.
1,0
0 0 ( ;2 2) ( ) M x x d + ẻ 0 0 ( 4;2 4) AM x x ị - -
uuuur
, 0 0 (x ;2 6) BM x +
uuuur
. 0.25
0 0 (2 4; 4 2) AM BM x x ị + = - +
uuuur uuuur
. 0.25
2
0 20 20 2 5 AM BM x + = + ³
uuuur uuuur
0.25
AM BM +
uuuur uuuur
nhỏ nhất 0 0 x Û = (0;2) M Û 0.25
8.a Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm ( ) ( ) ( ) 1;0; 1 , 1; 2;3 , 0;1;2 A B C - -
và ( ) 1; 1 ; 1 6 D m m - + . Tỡm m để bốn điểm , , , A B C D cựng thuộc một mặt phẳng.
1.0
Ta cú ( ) ( ) 0; 2;4 , 1;1;3 AB AC = - = -
uuur uuur
0.25
Suy ra ( ) , 10; 4; 2 n AB AC ộ ự = = - - - ở ỷ
r uuur uuur
.
Chọn ( ) 1 5;2;1 n
ur
làm vectơ phỏp tuyến của mặt phẳng (ABC)
0.25
( ) :5 2 4 0 mp ABC x y z ị + + - = . Để A, B, C, D đồng phẳng thỡ ( ) D ABC ẻ 0.25
( ) ( ) 5.1 2. 1 1 6 4 0 4 4 0 1 m m m m Û + - + + - = Û + = Û = - 0.25
9.a Lấy ngẫu nhiờn lần lượt 3 chữ số khỏc nhau từ 5 chữ số } {0;1;2;3;4 xếp thành
hàng ngang từ trỏi sang phải . Tớnh xỏc suất để nhận được một số tự nhiờn cú 3
chữ số.
1,0
www.VNMATH.com
{ } 0;1;2;3;4 X =
+ Số cỏch lấy 3 chữ số khỏc nhau bất kỳ từ X và xếp chỳng thành hàng ngang từ
trỏi sang phải : 3 5 60 A = ( cỏch). Khụng gian mẫu : 60 W =
0.25
+ Gọi A là biến cố: “ Nhận được 1 số tự nhiờn cú 3 chữ số khỏc nhau”
Giả sử số cú 3 chữ số khỏc nhau được tạo thành là: abc ( 0) a ạ .
0 a ạ nờn a cú 4 cỏch chọn
b cú 4 cỏch chọn
c cú 3 cỏch chọn
0.25
3.4.4 48 A ị W = = 0.25
Vậy xỏc suất cần tớnh là:
48 4
( )
60 5
A P A
W
= = =
W
0.25
7.b Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cõn tại đỉnh A, biết ( ) 3; 3 A - ,
hai đỉnh B, C thuộc đường thẳng 2 1 0 x y - + = , điểm ( ) 3;0 E nằm trờn đường cao kẻ
từ đỉnh C. Tỡm tọa độ hai đỉnh B và C.
1,0
Gọi I là trung điểm BC, do ( ) 2 1; I BC I m m ẻ ị - , mà A(3;ư3) ( ) 2 4; 3 AI m m ị = - +
uur
Do BC AI u ^
uur r
, mà ( ) 2;1 BC u
r
( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 0 1 1;1 m m m I ị - + + = Û = ị
0.25
( ) 2 1; , . B BC B b b b ẻ ị - ẻ Ă . Do C đối xứng với B qua I, suy ra
( ) 3 2 ; 2 C b b - - , ( ) ( ) 2 4; 3 , 2 ; 2 AB b b CE b b = - + = -
uuur uuur
.
0.25
Do AB CE ^
uuur uuur
nờn ta được: ( ) ( ) ( ) 3 2 2 4 2 3 0 2;
5
b b b b b b - + - + = Û = = - 0.25
Với ( ) ( ) 2 3;2 , 1;0 b B C = ị - .
Với
3 11 3 21 13
; , ;
5 5 5 5 5
b B C ổ ử ổ ử = - ị - - ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
.
0.25
8.b Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (0; 1; 3), (3;0; 3) A B - - - và mặt
cầu (S) cú phương trỡnh : 2 2 2 2 2 2 6 0 x y z x y z + + + + + - = . Viết phương trỡnh
mặt phẳng ( ) P đi qua hai điểm , A B và mặt phẳng ( ) P cắt mặt cầu (S) theo một
đường trũn cú bỏn kớnh là 5 .
1,0
Mặt cầu ( ) S cú tõm ( 1; 1; 1) I - - - , bỏn kớnh 3 R = .
Giả sử (P) cú vộc tơ phỏp tuyến ( ; ; ) n a b c
r
, 2 2 2 ( 0) a b c + + > .
mp(P) đi qua A nờn phương trỡnh mặt phẳng (P) là: ( 0) ( 1) ( 3) 0 a x b y c z - + + + + =
3 0 ax by cz b c Û + + + + =
( ) : 3 3 3 0 3 B P a c b c b a ẻ - + + = Û = -
0.25
2 2 ( , ( )) 3 ( 5) 2 d I P = - =
2 2 2
3
2
a b c b c
a b c
- - - + +
ị =
+ +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 a c a b c a c a c Û - + = + + Û - + = +
2
0
39 4 0 4
39
a
a ac c
a
= ộ
ờ Û + = Û
ờ = -
ở
0.25
Với 0 a = thỡ 0 b = . Ta cú phương trỡnh ( ) : 3 0 P z + = 0.25
Với
4
.
39
a c = - Chọn 39 c = thỡ 4 a = - 12 b = .
Ta được phương trỡnh ( ) : 4 12 39 129 0 P x y z - - - =
0.25
www.VNMATH.com
9.b Giải phương trỡnh: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 2 log 4 3 log 2 log 2 4 x x x - + + - - = . 1,0
Điều kiện:
( )
( )
( )
( ] ( )
2
2
2
3
2
4 0
2 0
; 3 2;
log 2 0
2 0
x
x
x
x
x
ỡ - >
ù
+ > ù ù Û ẻ -Ơ - ẩ +Ơ ớ
+ ³ ù
ù
- > ù ợ
(*) 0.25
Biến đổi pt đó cho ta được:
( )
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
3 3 3 3 2
4
log 3 log 2 4 0 log 2 3 log 2 4 0
2
x
x x x
x
-
+ + - = Û + + + - =
-
(3)
0.25
Đặt ( ) ( ) 2 3 log 2 0 t x t = + ³ thỡ pt (3) trở thành ( )
2
1
3 4 0
4
t
t t
t loai
= ộ
+ - = Û ờ = - ở
( ) ( ) 2 2 3
2 3 ( )
1 log 2 1 2 3
2 3
x loai
t x x
x
ộ = - +
= Û + = Û + = Û ờ
= - - ờ ở
0.25
Vậy nghiệm của phương trỡnh là 2 3 x = - - . 0.25
ưưưưưưưưưư Hết ưưưưưưưưưư
www.VNMATH.com
File đính kèm:
DE-THI-THU-TOAN-VP_LAN2-2014-D.pdf
