Đề khảo sát học sinh giỏi lớp 7 năm học : 2012 - 2013 môn : toán

Phòng giáo dục và đào tạo
THàNH phố thái bình
đề khảo sát học sinh giỏi lớp 7
Năm học : 2012 - 2013
Môn : toán
Thời gian làm bài : 120 phút





Bài 1 (4,0 điểm)
 a. Chứng minh là một số nguyên, biết rằng : 
 và 
 b. Tìm các cặp số nguyên (x ; y) thỏa mãn : x - y + 2xy = 3
Bài 2 (4,0 điểm)
 a. Tìm điểm M(x0 ; y0) thuộc đồ thị hàm số , biết : 
 b. Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện :
 (x - 1) . f(x) = (x + 4) . f(x + 8) , với mọi xR.
 Chứng minh đa thức f(x) có ít nhất một nghiệm là số nguyên tố.
Bài 3 (4,0 điểm)
 a. Tìm ba số a, b, c biết : và b.c = 3
 b. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn : x2 + y3 + z4 = 1
 Chứng minh : x5 + y6 + z7 < 1
Bài 4 (4,0 điểm)
 Cho tam giác ABC cân tại A có . Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM = BC. Vẽ tam giác đều ACN (N và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng AB). 
 a. Chứng minh .
 b. Tính số đo .
Bài 5 (4,0 điểm)
 Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABE, ACF, BMC (). Gọi H và K thứ tự là hình chiếu của E và F trên đường thẳng BC. 
 Chứng minh : a. EH + FK = BC 
 b. AB + AC = AM


HƯớNG DẫN CHấM khảo sát hSG lớp 7
Năm học : 2012 - 2013
Môn : toán

Phòng giáo dục và đào tạo
THàNH phố thái bình



Bài 1 (4,0 điểm)
Câu
Nội dung
Điểm



a
 (2đ)

 


1.0

 

0.25

 

0.25

=> là số nguyên.
0.5





b
(2đ)
 x - y + 2xy = 3
=> 2x - 2y + 4xy = 6

0.25

=> (2x + 4xy) - 2y = 6
=> 2x(1 + 2y) - (2y + 1) = 5
=> (2x - 1).(2y + 1) = 5


0.5

Vì x, y nguyên => 2x - 1 và 2y + 1 nguyên
 => 2x - 1 và 2y + 1 là ước của 5. 

0.25

Ta có bảng giá trị như sau :
2x - 1
1
5
-1
-5
2y + 1
5
1
-5
-1
x
1
3
0
-2
y
2
0
-3
-1
Thử lại
chọn
chọn
chọn
chọn




0.75


Vậy (x ; y) = (1 ; 2) ; (3 ; 0) ; (0 ; -3) ; (-2 ; -1)
0.25
 
Bài 2 (4,0 điểm)



a
 (2đ)
Vì điểm M(x0 ; y0) thuộc đồ thị hàm số => 

0.25

Mà => => 

0.5

- Nếu x0 0 ta có : => x0 = -6 (không thỏa mãn x0 0 )

0.5

- Nếu x0 x0 = (thỏa mãn x0 < 0)
 => y0 = 1. 

0.5

Vậy điểm M ( ; 1) thỏa mãn đề bài.

0.25



b
 (2đ)
 (x - 1) . f(x) = (x + 4) . f(x + 8) (*) , với mọi xR.
Thay x = 1 vào (*) ta có : (1 - 1) . f(1) = (1 + 4) . f(1 + 8)
 => f(9) = 0


0.75

Thay x = 9 vào (*) ta có : (9 - 1) . f(9) = (9 + 4) . f(9 + 8)
 => f(17) = 0 => x = 17 là một nghiệm của f(x)

0.75

Mà 17 là số nguyên tố => f(x) có ít nhất một nghiệm là số nguyên tố.
0.5
Bài 3 (4,0 điểm)








a (2.5đ)
ĐK : 
0.25

 
 
 
 







0.75

Đặt 
Mà b.c = 3 => 39k . 13k = 3 => 3. (13k)2 = 3 => 13k = 1=> 




0.75

- Với => a = 4; b = 3; c = 1
- Với => a = -4; b = -3; c = -1



0.5

Các bộ số (a ; b ; c) = (4 ; 3 ; 1) ; (-4 ; -3 ; -1) thỏa mãn ĐK bài toán.
Vậy (a ; b ; c) = (4 ; 3 ; 1) ; (-4 ; -3 ; -1) 


0.25

b (1.5đ)
Vì x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn : x2 + y3 + z4 = 1
=> 0 < x2 < 1 ; 0 < y3 < 1 ; 0 < z4 < 1 

0.25

=> 0 < x < 1 ; 0 < y < 1 ; 0 < z < 1 
0.5

=> x5 < x2 ; y6 < y3 ; z7 < z4 
0.5

=> x5 + y6 + z7 < x2 + y3 + z4 = 1
0.25
Bài 4 (4,0 điểm)



a (2.5đ)

- Tính được 
- Tính được 
 và chứng minh được AB = CN 
- và có :
 AM = CB (gt)
 
 AB = CN (chứng minh trên) 
 => (c.g.c) 
0.75

0.75





1.0


b 
(1.5đ)
Ta có (chứng minh trên) 
 => (2 góc tương ứng) (1)

0.25

Chứng minh được tam giác ABN cân tại A
0.25

Tính được 
0.25

 
0.25

 (2) 
0.25

Từ (1) và (2) => 
0.25

Bài 5 (4,0 điểm)



a 
(2đ)



- Kẻ AI BC (IBC)
- Chứng minh được 
 (ch - gn)
 => EH = BI (1)
- Chứng minh được 
 (ch - gn)
 => KF = CI (2)
-Từ (1) và (2) 
 => EH + FK = BI + CI = BC
0.25

0.75


0.75


0.25




b 
(2đ)



- Trên tia đối của tia CA lấy 
 điểm N sao cho CN = AB
=> AB + AC = CN + AC = AN (1)
- Chứng minh được 
 
- Chứng minh được 
 (c.g.c)
 => AM =NM 
 
Từ đó chứng minh được vuông cân tại M => AN = AM (2)
Từ (1) và (2) => AB + AC = AM


0.5

0.25





1.0
0.25

Chú ý
 - Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm điểm theo bước cho một cách giải.
 Các cách giải chính xác khác, giám khảo cho điểm tương ứng.
 - Điểm toàn bài thi bằng tổng điểm từng bài (không làm tròn).