Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2007 - 2008 môn: Toán 7

PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 - 2008
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7
 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,5đ)
	a/ Rút gọn: 
	b/ Biết 14 + 24 + 34 + ... + 94 + 104 = 25333
	Tính tổng S = 24 + 44 + 64 + ... + 184 + 204
Bài 2: (2,0đ)
	Cho tỉ lệ thức 
	a/ Tính tỉ số 
	b/ Tìm x, y biết x2 + y2 = 82
Bài 3: (3,0đ)
	a/ Cho M = 
 N = (x + 1)2 + (y - )2 + 2008
	Tính giá trị của M tại x, y thỏa mãn N đạt giá trị nhỏ nhất
	b/ Cho A = 2x4y2 – 7x3y5 ; B = x4y2 + 2x3y5 ; C = 5x3y5
	Chứng tỏ rằng trong ba biểu thức A, B, C có ít nhất một biểu thức luôn có giá trị không âm với mọi x, y.
	c/ Tìm x Î N biết 2x+1 + 2x+4 + 2x+5 = 26.52
Bài 4: (2,5đ)
	Cho DABC cân tại A (AB > AC). M là trung điểm AC. Đường thẳng vuông góc với AC tại M cắt BC tại P. Trên tia đối tia AP lấy điểm Q sao cho AQ = BP.
	a/ Chứng minh rằng:
	+/ 
	+/ PC = QC
	b/ DABC cần thêm điều kiện gì để CQ ^ CP
Bài 5: (1,0đ)
	Cho DABC có = 300. Dựng bên ngoài tam giác đều BCD.
	Chứng minh: AD2 = AB2 + AC2
*=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*
PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 - 2009
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7
 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,5đ)
	Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí:
	a/ 	
	b/ 
Bài 2: (3,0đ)
	a/ Cho hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 – (2m + 1)x + m2.
 	 Tìm m biết P(3) = Q(-2)
	b/ Tìm giá trị lớn nhất của M = 2009 - - (2m + 4)2008
	c/ Tìm x biết 
Bài 3: (2,5đ)
	a/ Cho a + b + c = 2009 và 
	Tính S = 
	b/ Tổng các lũy thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỉ số của số thứ nhất với số thứ hai là , giữa số thứ nhất với số thứ ba là . Tìm 3 số đó.
Bài 4: (2,0đ)
	Cho DABC có < 900. Trên nữa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tia Ax vuông góc với AC và lấy trên tia đó điểm E sao cho AE = AC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Ay vuông góc với AB và lấy trên đó điểm D sao cho AD = AB.
	a/ Chứng minh DC = BE và DC ^ BE.
	b/ Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy điểm M sao cho NA = NM. Chứng minh AB = ME và DABC = DEMA
Bài 5: (1,0đ)
	Cho DABC vuông tại A, một đường thẳng d cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng CD2 – CB2 = ED2 – EB2.
*=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*
ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM
1/
1,0đ
0,25đ
0,75đ
2a/
0,5đ
 (x – 1)3 = -8 Þ x – 1 = -2
 Þ x = -1. Vậy x = -1
0,25đ
0,25đ
2b/
0,5đ
. ĐK Þ 
 (TMĐK) vậy x = 1 hoặc x = 3
0,25đ
0,25đ
2c/
0,5đ
x - 3 = 0. ĐK x ≥ 0 Þ (TMĐK)
0,5đ
2d/
0,5đ
12x = 15y = 20z Þ 
0,5đ
3a/
0,75đ
Vì a Î Z+ Þ 4a º 1 (mod 3) Þ 4a + 2 º 0 (mod 3)
Mà 4a + 2 º 0 (mod 2) Þ 4a + 2 6
Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010 6
Vậy với a, b Î Z+ sao cho a + 1 và b + 2007 6 thì 4a + a + b 6
0,25đ
0,25đ
0,25đ
3b/
0,75đ
Từ 6x2 + 5y2 = 74 Þ 6x2 ≤ 74 Þ x2 ≤ 74/6 mà x Î Z Þ xÎ{0; 1; 4; 9}
Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2 5 Þ x2 = 4 hoặc x2 = 9
Nếu x2 = 4 Þ y2 = 10 (loại vì y Î Z)
Nếu x2 = 9 Þ y2 = 4 Þ (x, y) Î {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)} 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
4a/
1,0đ
 Þ 
Þ Þ đpcm
0,5đ
0,5đ
4b/
1,0đ
Ta có 
 Þ 
Hay 1 < M < 2. Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
4c/
1,0đ
Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC 
Þ AB + BM = AC – BM Þ 2BM = AC – AB Þ BM = (b – c):2
AM = AB + BM Þ AM = (b + c):2
0,5đ
0,5đ
5/
1,0đ
Qua M kẻ HK // BC (H Î AB; K Î CD)
MA2 = MH2 + HA2
MC2 = MK2 + KC2
Þ MA2 + MC2 = MH2 + HA2 + MK2 + KC2
MB2 = MH2 + HB2
MD2 = MK2 + DK2
Þ MB2 + MD2 = MH2 + HB2 + MK2 + DK2 
Ta có AH = DK; HB = KC
Þ MA2 + MC2 = MB2 + MD2 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009 - 2010
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7
 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,0đ) Thực hiện phép tính sau:
Bài 2: (2,0đ) Tìm các số x, y, z biết.
	a/ (x – 1)3 = -8	b/ 
	c/ x - 3 = 0	d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48
Bài 3: (1,5đ) 
	a/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6.
	 Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6.
	b/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74
Bài 4: (2,0đ)
	a/ Cho . Chứng minh rằng: 
	b/ Cho x, y, z, t Î N. Chứng minh rằng: 
M = có giá trị không phải là số tự nhiên.
Bài 5: (3,0đ) Cho DABC có góc A nhọn. Về phía ngoài DABC vẽ DBAD vuông cân tại A, DCAE vuông cân tại A. Chứng minh:
	a/ DC = BE; DC ^ BE 	
	b/ BD2 + CE2 = BC2 + DE2
	c/ Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC.
Bài 6: (0,5đ) Cho DABC nhọn với = 600. Chứng minh rằng:
 	BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC
*=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*
ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM
1/
1,0đ
0,25đ
0,75đ
2a/
0,5đ
 (x – 1)3 = -8 Þ x – 1 = -2
 Þ x = -1. Vậy x = -1
0,25đ
0,25đ
2b/
0,5đ
. ĐK Þ 
 (TMĐK) vậy x = 1 hoặc x = 3
0,25đ
0,25đ
2c/
0,5đ
x - 3 = 0. ĐK x ≥ 0 Þ (TMĐK)
0,5đ
2d/
0,5đ
12x = 15y = 20z Þ 
0,5đ
3a/
0,75đ
Vì a Î Z+ Þ 4a º 1 (mod 3) Þ 4a + 2 º 0 (mod 3)
Mà 4a + 2 º 0 (mod 2) Þ 4a + 2 6
Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010 6
Vậy với a, b Î Z+ sao cho a + 1 và b + 2007 6 thì 4a + a + b 6
0,25đ
0,25đ
0,25đ
3b/
0,75đ
Từ 6x2 + 5y2 = 74 Þ 6x2 ≤ 74 Þ x2 ≤ 74/6 mà x Î Z Þ xÎ{0; 1; 4; 9}
Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2 5 Þ x2 = 4 hoặc x2 = 9
Nếu x2 = 4 Þ y2 = 10 (loại vì y Î Z)
Nếu x2 = 9 Þ y2 = 4 Þ (x, y) Î {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)} 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
4a/
1,0đ
 Þ 
Þ Þ đpcm
0,5đ
0,5đ
4b/
1,0đ
Ta có 
 Þ 
Hay 1 < M < 2. Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
5a/
1,0đ
CM được DABE = DADC (c.g.c) Þ DC = BE 
CM được DC ^ BE
0,5đ
0,5đ
5b/
1,0đ
Viết được CE2 = ME2 + MC2; DB2 = MD2 + MB2 ; DE2 = MD2 + ME2;
BC2 = MB2 + MC2
Þ BD2 + CE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2; 
 BC2 + DE2 = MD2 + MB2 + ME2 + MC2
Þ BD2 + CE2 = BC2 + DE2
0,5đ
0,25đ
0,25đ
5c/
1,0đ
Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP = DE
CM được DADE = DCPA Þ CP = AD Þ CP = AB
CM được ; 
Þ DCPK = DBAK (g.c.g) Þ BK = KC Þ đpcm
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
5/
Hình vẽ:
6/
Hình vẽ
6/
0,5đ
Kẻ BH ^ AC
Vì Þ (1) 
Áp dụng định lý Pitago ta có:
AB2=AH2+BH2 và BC2 = BH2 + HC2 Þ BC2 = AB2 – AH2 + HC2
Þ BC2 = AB2 – AH2 + (AC – AH)2 Þ BC2 = AB2 – AH2 + AC2 – 2AC.AH + AH2
Þ BC2 = AB2 + AC2 – 2AC.AH (2)
Từ (1) & (2) Þ đpcm
0,25đ
0,25đ
PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 - 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7
 Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: (2đ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí: 
	1/ A = 
	2/ B = 
Câu 2: (3đ) 
	a/ Tính giá trị của biểu thức M = (2x – 1)(2y – 1) biết x + y = 10 và xy = 16
	b/ Tìm x, y để biểu thức N = (x + 2)2010 + - 10 đạt giá trị nhỏ nhất.
	c/ Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, xác định a, b, c biết f(-2) = 0; f(2) = 0 và a là số lớn hơn c ba đơn vị
Câu 3: (1,5đ) 
Cho 4 số nguyên dương a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a và c đồng thời . Chứng minh 
Câu 4: (2,5đ)
	Cho DABC (AB < AC), qua trung điểm D của cạnh BC vẽ đường thẳng vuông góc với đường phân giác trong của góc A, nó cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại M và N. Qua B vẽ đường thẳng Bx song song với AC, Bx cắt MN tại E.
	a/ Chứng minh DAMN và DBME là những tam giác cân.
	b/ Chứng minh BM = CN
	c/ Tính AM và BM theo b và c biết AC = b và AB = c.
Câu 5: (1,0đ) 
	Cho một điểm M bất kì trong hình chữ nhật ABCD. Chứng minh:
	MA2 + MC2 = MB2 + MD2
*=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*
ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM
1a/
1,5đ
A = 
0,5đ
0,5đ
1b/
1,5đ
B = 
 = 
0,5đ
0,5đ
2a/
1,0đ
M = (2x – 1)(2y – 1) = 4xy – 2x – 2y + 1
 = 4xy – 2(x + y) + 1
M = 45 
0,25đ
0,25đ
0,5đ
2b/
1,0đ
Lí luận (x + 2)2010 ≥ 0; 
Þ N ≥ -10. GTNN của N là -10
Tìm được x = -2; y = 1/5
0,25đ
0,25đ
0,5đ
2c/
1,0đ
Ta có f(-2) = 0 Þ 4a – 2b + c = 0 
 f(2) = 0 Þ 4a + 2b + c = 0 và a – c = 3
 4b = 0 Þ b = 0
Từ 8a + 2c = 0 và a – c = 3 Þ a = 3/5 ; c = -12/5
0,25đ
0,25đ
0,5đ
3/
1,5đ
Vì b là trung bình cộng của a và c Þ b = (a + c)/2 Þ 2b = a + c
Từ 
Thay 2b = a + c, ta có (a + c)d = c(b + d)
Þ ad = bc Þ 
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
4/
2,5đ
DAMN cân (đ/c vừa là p/g)
BE // AC Þ 
 (DAMN cân tại A)
Þ Þ DBME cân tại B
0,25đ
0,5đ
4b/
0,75đ
DBED = DCND (g.c.g) Þ BE = NC
Þ BM = NC (= BE)
0,5đ
0,25đ
4c/
1,0đ
Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC
Þ AB + BM = AC – BM Þ 2BM = AC – AB Þ BM = (b – c):2
AM = AB + BM Þ AM = (b + c):2
0,5đ
0,5đ
5/
1,0đ
Qua M kẻ HK // BC (H Î AB; K Î CD)
MA2 = MH2 + HA2
MC2 = MK2 + KC2
Þ MA2 + MC2 = MH2 + HA2 + MK2 + KC2
MB2 = MH2 + HB2
MD2 = MK2 + DK2
Þ MB2 + MD2 = MH2 + HB2 + MK2 + DK2 
Ta có AH = DK; HB = KC
Þ MA2 + MC2 = MB2 + MD2 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ