Đề khảo sát học sinh khá giỏi lần 2 - Môn: Toán 11

đề khảo sát học sinh khá giỏi lần 2 - năm học 2008 – 2009
Môn: Toán 11
Thời gian làm bài: 150 phút
A - Phần chung cho tất cả các thí sinh
Câu I: (3 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình sau:
a/. 	b/. 	c/. 
Câu II: (2 điểm)
1/. Cho dãy số . 
	Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số trên và tính tổng: .
2/. Tính tổng S = 7 + 77 + 777 +  + 777 (n chữ số 7)
Câu III (3 điểm)
1/. a. Lập phương trình đường tròn (C) đi qua A(1; 1), B(1; 5), C(3; 3).
 b. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2; 4) và cắt đường tròn (C) ở trên tại 2 điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
2/. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
	a. Chứng minh rằng: mặt phẳng (BDA’) song song với mặt phẳng (B’D’C).
	b. Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trong tâm G1 và G2 của DBDA’ và DB’D’C
Câu IV (1 điểm) (Thí sinh khối D không phải làm câu này)
	Cho x, y, z là các số dương thoả mãn CMR: 
B - Phần dành riêng (Thí sinh chỉ được chọn câu V.a hoặc câu V.b để làm)
Câu V.a (Khối A, B: 1 điểm – khối D: 2 điểm)
	Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho 2 đường thẳng d1: x – y = 0 và d2: 2x + y – 1 = 0.
Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuôc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
Câu V.b (Khối A, B: 1 điểm – khối D: 2 điểm)
Trong một bó hoa có 5 bông hoa đỏ, 4 bông hoa vàng và 4 bông hoa trắng. Chọn ngẫu nhiên 4 bông hoa. Tính xác xuất để trong 4 bông hoa được chọn:
	1). có đủ 3 mầu hoa.	
	2). có đúng 2 bông hoa đỏ
..Hết....
Chú ý: + Nếu thí sinh làm cả câu V.a và câu V.b thì phần dành riêng sẽ không chấm.
	 + Thí sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu gì.
Họ và tên HS:SBD:..
Hướng dẫn chấm thi khảo sát học sinh khá giỏi
Môn: Toán học lớp 11
Câu
ý
Nội dung
Điểm
I
1
+ Điều kiện (*)
Khi đó phương trình trở thành
PT 
+ (thoả mãn điều kiện (*))
+ 
Phương trình này vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm :
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
2
Giải hệ phương trình điều kiện: 
+ Ta có 
TH1: 
TH2: hệ phương trình vô nghiệm vì 
0.25đ
0.5đ
0.25đ
I
3
+ Điều kiện (*)
Khi đó phương trình trở thành
Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của BPT là: 
0.25đ
0.5đ
0.25đ
II
1
+ Ta có 
+ Đặt Khi đó từ (1) ta có 
Như vậy lập thành 1 CSN với công bội q = 2 và 
+ Khi đó 
+ Tính được đúng: 
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
2
+ Viết lại được 
+ 
Vậy 
0.25đ
0.5đ
0.25đ
III
1.a
+ Gọi phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (a2 + b2 –c > 0)
+ (C) đi qua A(1; 1), B(1; 5), C(3; 3) nên ta có:
 12 + 12 – 2a.1 – 2b.1 + c = 0 (1)
 12 + 52 – 2a.1 – 2b.5 + c = 0 (2)
 32 + 32 – 2a.3 – 2b.3 + c = 0 (3)
+ Từ (1) (2) và (3) ta có: a = 1, b = 3, c = 6.
+ Vậy phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0
0.25đ
0.25đ
b
+Đường tròn (C): , tâm I (1; 3), bán kính R = 2, 
+ Ta có: (d): 
0.25đ
0.5đ
0.25đ
2.a
Ta có 
 và 
Vì BD và A’B cùng nằm trong (A’BD) nên (A’BD) // (B’D’C)
0.25đ
0.25đ
b
+ 
 là trọng tâm ΔA’BD.
Tương tự 
 là trọng tâm ΔB’D’C.
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
IV
+ Với a, b > 0 ta có 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
áp dụng kết quả trên ta có
Vậy 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
0.25đ
0.5đ
0.25đ
Phần dành riêng
V.a
+ Vì A ẻ d1 ị A (t; t)
+ Vì A và C đối xứng nhau qua BD và B, D ẻ ox nên C (t; -t)
+ Vì C ẻ d2 nên 2t - t - 1 = 0 Û t = 1. Vậy A (1; 1), C (1; -1)
+ Gọi I là trung điểm của AC ị I (1; 0). Vì I là tâm của hình vuông nên
Suy ra, B (0; 0) và D (2; 0) hoặc B (2; 0) và D (0; 0).
Vậy 4 đỉnh của hình vuông là:
A (1; 1), B (0; 0), C (1; -1), D (2; 0) hoặc A (1; 1), B (2; 0), C (1; -1), D (0; 0)
0.25đ
(0.5đ)
0.25đ
(0.5đ)
0.25đ
(0.5đ)
0.25đ
(0.5đ)
V.b
1
 Không gian mẫu n(Ω) = 
+ A = “trong 4 bông hoa có đủ 3 mầu hoa” 
+Xác xuất của A là 
0.25
(0.5)
0.25
(0.5)
2
+ B = “có đúng 2 bông hoa đỏ” 
+Xác suất của B là 
0.25
(0.5)
0.25
(0.5)
Lưu ý: Nếu học sinh giải theo những cách khác thì vận dung thang điểm trên để chấm, đề nghị các đồng chí giáo viên vận dụng đúng đáp án, chấm đủ, chấm đúng và chính xác để trả bài cho học sinh.