Đề kiểm định chất lượng học sinh khá,giỏi năm học 2009 – 2010 Môn: Toán - Lớp 8

Phòng Giáo dục và đào tạo Diễn Châu
 Đề kiểm Định chất lượng học sinh khá,giỏi 
 năm học 2009 – 2010
 Môn: Toán - lớp 8 (Thời gian làm bài 120 phút)
 ..................................................................
Bài 1:(4 điểm) Cho biểu thức M = : 
 a. Rỳt gọn M
 b.Tìm x nguyên để M đạt giá lớn nhất.
Bài 2:(3 điểm) Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
 a. Phõn tớch biểu thức A thành nhõn tử.
 b. Chứng minh: Nếu a, b, c là độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc thỡ A < 0.
Bài 3:(3 điểm)
 a. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức sau :
 A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014
 b. Cho cỏc số x,y,z thỏa món đồng thời: 
 x + y + z = 1: x+ y+ z= 1 và x+ y+ z= 1.
 Tớnh tổng: S = x+y+ z
Bài 4:(3 điểm)
 a. Giải phương trình: + + = 
 b. Giải phương trình với nghiệm là số nguyên: 
 x( x + x + 1) = 4y( y + 1).	
Bài 5:(7 điểm)
 Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H.
Tính tổng: 
Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC
Chứng minh: H cách đều ba cạnh tam giác DEF.
Trên các đoạn HB,HC lấy các điểm M,N tùy ý sao cho HM = CN. 
 Chứng minh đường trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định.
 .........................Hết......................
Họ và tên thi sinh..........................................................Số báo danh.......................
Phòng Giáo dục và đào tạo Diễn Châu
 Hướng dẫn chấm môn toán 8
Bài
Nội dung
Điểm
1
a
=
 = 
 = 
= 
 = 
 M = = 
0,5
0,5
0,5
 0,5
b
+ Nếu x 2 thì M 0 nên M không đạt GTLN.
+ Vậy x 2, khi đó M có cả Tử và Mẫu đều là số dương, nên M muốn đạt GTLN thì Mẫu là (2 – x) phải là GTNN, 
Mà (2 – x) là số nguyên dương 2 – x = 1 x = 1.
 Vậy để M đạt GTLN thì giá trị nguyên của x là: 1.
0,5
0,5
 0,5
 0,5
2
a
A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2 - 2bc)( b2 + c2 - a2 + 2bc) 
 = 
 = (b + c – a)(b + c + a)(b – c – a)(b – c + a)
0,5
0,5
0,5
b
Ta cú: (b+c –a ) >0 ( BĐT trong tam giỏc) 
Tương tự: (b + c +a) >0 ; (b –c –a ) 0 
Vậy A< 0
0,5
0,5
0,5
3
a
A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y + 4 + 2010 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 2010
 Do (x-y)2 0 ; (y - 2)2 0
Nờn:(x-y)2 + (y - 2)2 + 2010 2010
Dấu ''='' xảy ra x – y = 0 và y – 2 = 0 x = y = 2.
Vậy GTNN của A là 2010 tại x = y =2
0,5
0,5
0,5
b
 Ta cú: (x + y + z)= x+ y+ z + 3(x + y)(y + z)(z + x) 
 kết hợp cỏc điều kiện đó cho ta cú: (x + y)(y + z)(z + x) = 0
Một trong cỏc thừa số của tớch (x + y)(y + z)(z + x) phải bằng 0
Giả sử (x + y) = 0, kết hợp với đ/k: x + y + z = 1 z = 1, lại kết hợp với đ/k: x+ y+ z= 1 x = y = 0.
 Vậy trong 3 số x,y,z phải cú 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1, 
 Nờn tổng S luụn cú giỏ trị bằng 1. 
0,5
0,5
0,5
4
a
Phương trình được biến đổi thành: (Với ĐKXĐ: )
 = 
 () + () + () = 
 = (x + 4)(x +7) = 54 
 (x + 13)(x – 2) = 0 x = -13 hoặc x = 2 (Thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy nghiệm của phương trình là: S = 
0,5
0,5
0,5
0,5
b
+ Phương trình được biến đổi thành: (x + 1)(x+ 1) = (2y + 1)
+ Ta chứng minh (x + 1) và (x+ 1) nguyên tố cùng nhau !
Vì nếu d = UCLN (x+1, x+ 1) thì d phải là số lẻ (vì 2y+1 lẻ)
 2 mà d lẻ nên d = 1.
+ Nên muốn (x + 1)(x+ 1) là số chính phương 
 Thì (x+1) và (x+ 1) đều phải là số chính phương
 Đặt: (k + x)(k – x) = 1 hoặc 
+ Với x = 0 thì (2y + 1)= 1 y = 0 hoặc y = -1.(Thỏa mãn pt)
 Vậy nghiệm của phương trình là: (x;y) =
0,25
0,25
0,25
0,25
5
0,5
a
Trước hết chứng minh: = 
Tương tự có: ; 
 Nên = 
 = 1
0,5
0,5
0,5
0,5
b
 Trước hêt chứng minh BDHBEC 
 BH.BE = BD.BC
 Và CDHCFB CH.CF = CD.CB.
 BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC (đpcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
c
 Trước hết chứng minh: AEF ABC 
 Và CDECAB 
 mà EBAC nên EB là phân giác của góc DEF.
 Tương tự: DA, FC là phân giác của các góc EDF và DFE.
 Vậy H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF 
 nên H cách đều ba cạnh của tam giác DEF (đpcm)
0,5
0,5
 0,5
d
 Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của hai đoạn MN và HC, ta có OMH = ONC (c.c.c) .(1)
 Mặt khác ta cũng có OCH cân tại O nên:.(2)
 Từ (1) và (2) ta có: HO là phân giác của góc BHC
 Vậy O là giao điểm của trung trực đoạn HC và phân giác của góc BHC nên O là điểm cố định. 
 Hay trung trực của đoạn MN luôn đi qua một điểm cố định là O.
0,25
0,25
O,25
0,25
Chú ý:
+ Hướng dẫn chấm này có 3 trang, chấm theo thang điểm 20.
+ Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.
+ Bài số 5 phải có hình vẽ đúng mới chấm.
+ Mọi cách làm khác đúng cũng cho điểm tối đa tương ứng với từng nội dung
 của bài đó.