Đề kiểm tra chất lượng đầu vào đại học -Cao đẳng 2009 môn thi: toán, khối a thời gian làm bài: 180 phút

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐẦU VÀO ĐH -CAO ĐẲNG 2009
 Khoa Khoa học Tự nhiên Môn thi: TOÁN, khối A 
 Thời gian làm bài: 180 phút 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I. (2,0 điểm)
 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số . 
 2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 
 G(x)=
Câu II. (2,0 điểm)
 1. Tìm m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất:
 .
 2. Giải phương trình: .
Câu III. (1,0 điểm) Tính: 
Câu IV. (1,0 điểm)Xác định vị trí tâm và độ dài bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có .
Câu V. (1,0 điểm)Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm với
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: theo chương trình Chuẩn hoặc Nâng cao.
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
 1. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh: 
 A(-2;3),B(
 2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm và cắt cả hai đường thẳng:
 và .
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm n sao cho , trong đó là số tổ hợp chập k từ n phần tử. 
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
 1. Viết phương trình elip với các tiêu điểm và tâm sai .
 2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng
trên mặt phẳng 
 .
Câu VII.b (1,0 điểm)
 Với n nguyên dương cho trước, tìm k sao cho lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
 ĐÁP ÁN & THANG ĐIỂM
I. PHẦN CHUNG
Câu I (2,0 điểm)
1.(1,0 điểm) 
Tập xác định của hàm số: .
Giới hạn tại vô cực: .
 .
Bảng biến thiên: 
 x 0 2 
 + 0 0 +
 4 
 0
Nhận xét: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, ;
 đạt cực tiểu tại .
Đồ thị:
2. (1,0 điểm)
Đặt ; khi đó, t thay đổi trên đoạn và:
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn này nằm trong bốn giá
trị đặc biệt: giá trị tại hai đầu đoạn và hai giá trị cực trị. Ta có:
So sánh các giá trị này, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là 4, giá trị 
nhỏ nhất là .
Câu II (2,0 điểm)
1. (1,0 điểm) 
Tập xác định của phương trình gồm mọi số x sao cho .
Như vậy trước hết phải có .
Khi đó, phương trình tương đương với:
 . (1)
Phương trình này có: . Những giá trị đương 
nhiên bị loại ngay. Với , (1) có nghiệm duy nhất nhưng nằm
ngoài tập xác định nên bị loại. Với , (1) có nghiệm duy nhất 
thoả mãn điều kiện xác định nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.
Với , điều kiện xác định trở thành . Khi đó nên 
(1) có hai nghiệm phân biệt ; mặt khác, 
nên , tức là chỉ có là nghiệm của phương trình đã cho.
Như vậy, các giá trị thoả mãn điều kiện bài toán.
Cuối cùng, xét . Khi đó, điều kiện xác định trở thành x > 0 và 
phương trình (1) cũng có hai nghiệm phân biệt . Áp dụng 
định lý Viet, ta thấy cả hai nghiệm này đều dương nên các giá trị 
cũng bị loại.
Tóm lại, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
 .
2. (1,0 điểm)
Tập xác định gồm các giá trị sao cho .
Khi đó, vế trái của phương trình bằng:
Như vậy, phương trình đã cho trở thành:
Phương trình cuối lại có thể viết thành:
Để thoả mãn điều kiện , các nghiệm chỉ có thể là:
Câu III (1,0 điểm) 
Ta có: 
Vậy: 
Câu IV (1,0 điểm)
Ta có: 
Do đó tứ diện ABCD có ba mặt là ba tam giác vuông tại cùng đỉnh A.
Lấy các điểm E, F, G, H sao cho đa diện ABEC.DGHF là hình hộp 
chữ nhật. Hiển nhiên, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là mặt cầu ngoại 
tiếp hình hộp. Tâm mặt cầu này là trung điểm I của đoạn AH, còn bán 
kính là .
Câu V (1,0 điểm)
Vế trái của phương trình thứ hai trong hệ là:
 .
Ta có: 
 .
Phương trình thứ hai có , và hai nghiệm:
 .
Dễ kiểm tra rằng cả hai nghiệm này đều bị loại vì nhỏ hơn 2. Vậy, đạo 
hàm của hàm số không thể đổi dấu trên , ngoài ra nên 
. Do đó, giá trị nhỏ nhất của là .
Cũng dễ thấy . Từ đó suy ra: hệ phương trình đã cho có 
nghiệm (với ) khi và chỉ khi .
II. PHẦN RIÊNG
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa (2,0 điểm)
1. (1,0 điểm) 
Điểm D(d;0) thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc A 
khi và chỉ khi 
Đường thẳng AD có phương trình: 
 ,
và đường thẳng AC: 
Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b. Khi đó hoành độ là 
 và bán kính cũng bằng b. Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng 
b nên ta có:
Rõ ràng chỉ có giá trị là hợp lý. Vậy, phương trình của đường tròn 
nội tiếp là: .
2. (1,0 điểm)
Mặt phẳng P’ đi qua đường thẳng d’ có phương trình dạng:
Để mặt phẳng này đi qua M, phải có:
Chọn , ta được phương trình của P’:
 .
Tiếp theo, đường thẳng d” đi qua và có vectơ chỉ phương
. Mặt phẳng P” đi qua M và d” có hai vectơ chỉ phương là
 và hoặc . Vectơ pháp tuyến của P” là: 
 .
Phương trình của P”: 
hay: 
Rõ ràng đường thẳng d phải là giao tuyến của P’ và P” nên có phương trình:
 .
Câu VIIa (1,0 điểm)
Điều kiện: 
Theo giả thiết thì:
 Đối chiếu với điều kiện, ta được n = 7.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb (2,0 điểm)
1. (1,0 điểm)
Cách 1. Ngoài hệ trục toạ độ Oxy cho sẵn, xét thêm hệ trục mới O’x’y’ 
nhận được từ hệ đã cho bằng phép tịnh tiến dọc theo vectơ .
Liên hệ giữa các toạ độ cũ và mới sẽ là: 
Trong hệ toạ độ mới, các tiêu điểm sẽ có các cặp toạ độ là .Các bán 
trục của elip là Phương 
trình của elip trong hệ toạ độ mới là: . Vậy, phương trình của
elip trong hệ toạ độ cũ là:
 . (2)
Cách 2. Giả sử là điểm thuộc elip. Vì bán trục lớn của elip là 
 nên phải có: 
Bình phương hai vế hai lần kết hợp với những biến đổi đơn giản, ta cũng đi
đến phương trình (2). 
2. (2,0 điểm)
Mặt phẳng Q đi qua d có phương trình dạng:
hay: .
Mặt phẳng này sẽ vuông góc với P khi và chỉ khi:
Chọn m = 8, n = 1, ta được phương trình của Q:
 .
Vì hình chiếu d’ của d trên P là giao tuyến của P và Q nên phương trình
của d’ sẽ là:
Câu VIIb (1,0 điểm) 
Ta chứng minh rằng giảm khi k tăng, tức là: 
 . (3)
Thật vậy, ta có chuỗi các biến đổi tương đương sau đây:
Bất đẳng thức cuối cùng là hiển nhiên; từ đó suy ra (3) đúng. Do đó, 
 lớn nhất khi k = 0 và nhỏ nhất khi k = n.