Đề kiểm tra chọn học sinh giỏi cấp trường vòng 1 môn toán lớp 6 (thời gian làm bài 120 phút)

Phũng GD-ĐT Hưng Hà Trường THCS Lờ Quý Đụn
ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Vũng 1
Mụn Toỏn lớp 6 (Thời gian làm bài 120ph)
==***==
Bài 1(3điểm)
1)Tớnh: a) A= 5³.678910-5³.678909
 b) B= 2³+4³+6³++18³ với 1³+2³+3³++9³=2025
2) So sỏnh: a) 10³º và 2100 ; b) 85và 3.47 ; c) 1255và 257 
Bài 2(4,5 điểm)
1) Chứng tỏ rằng mọi số tự nhiờn cú ba chữ số giống nhau đều chia hết cho 37
2) Thay a, b bằng các chữ số thích hợp sao cho 
3) Cho a là một số tự nhiờn có dạng a = 3b + 7 (bN). Hỏi a có thể nhận những giá trị nào trong các giá trị sau ? Tại sao ?
a = 11 ; a = 2002 ; a = 2003 ; a = 11570 ; a = 22789 ; a = 29563 ; a = 299537. 
Bài 3(4 điểm)
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 9 dư 5, chia cho 7 dư 4 và chia cho 5 thì dư 3.
 Cho A = 1 + 2013 + 20132 + 20133 + 20134 +  + 201398 + 201399 và B = 2013100 - 1. 
a) So sánh A và B.
b) Tỡm chữ số tận cựng của A.
c) Chứng tỏ rằng 2012A+1 là một số chớnh phương.
Bài 4(4,5 điểm)
Tỡm n để 9n+24 và 3n+4 là cỏc số nguyờn tố cựng nhau?
Tỡm hai số a v à b biết ƯCLN(a,b)=5 và BCNN(a,b)=300?
Cho 3a+2b chia hết cho 17. Chứng minh rằng 10a+b chia hết cho 17.
Bài 5(4 điểm)
Cho 2013 điểm trong đú chỉ cú 13 điểm thẳng hàng. Hỏi:
Cú bao nhiờu đường thẳng đi qua hai trong cỏc điểm trờn?
Cú bao nhiờu đoạn thẳng đi qua hai trong cỏc điểm trờn?
2)Cho đoạn thẳng AB=2 2014cm. Lần lượt lấy điểm M1, M2, M3, . . ., M2014 là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AB, AM1, AM2, . . . , AM2013 .Tớnh BM2014? 
--Hết-
Phũng GD-ĐT Hưng Hà Trường THCS Lờ Quý Đụn
đáp án CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Vũng 1
Mụn Toỏn lớp 6 (Thời gian làm bài 120ph)
==***==
Bài 
Đáp án
Biểu điểm
Bài 1 3điểm
1)Tớnh: a)
A= 5³.678910-5³.678909
 =125.( 678910-678909)
 =125
0,5đ
b)
B= 2³+4³+6³++18³ 
 = 2³(1³+2³+3³++9³)
0,5đ
Mà 1³+2³+3³++9³=2025
=>M=8.2025=16 200
0,5đ
So sỏnh: 
a)
10³º và 2100 
Ta có 10³º=(10³)10=100010
 2100=(2³)10=102410
=> 10³º< 2100 
0,5đ
b)
b) 85và 3.47 
85=215
3.47 =3. 214
=> 85< 3.47 
0,5đ
c)
1255và 257 
1255= 515
257= 514
=> 1255và 257 
0,5đ
Bài 2(4,5 điểm)
1) Chứng tỏ rằng mọi số tự nhiờn cú ba chữ số giống nhau đều chia hết cho 37
Gọi số tự nhiờn cú ba chữ số giống nhau có dạng 
( a là chữ só khác 0)
0,25đ
Ta có: =111.a=37.3.a
=> 37
1đ
Vậy mọi số tự nhiờn cú ba chữ số giống nhau đều chia hết cho 37
0,25đ
2) Thay a, b bằng các chữ số thích hợp sao cho 
Để thì và vì (5,9)=1
0,5đ
Để thì b=0 hoặc b=5
0,25đ
+) Nếu b=0 thì . Để 2+4+a+6+8+09
Tức là 20+a9
Mà a là chữ số
=> a=7
0,25đ
+) Nếu b= 5 thì . Để 2+4+a+6+8+59
Tức là 25+a9
Mà a là chữ số
=> a=2
0,25đ
Vậy với a=7 và b=0 hoặc a=2 và b=5 thì 
0,25đ
3) Cho a là một số tự nhiờn có dạng a = 3b + 7 (bN). Hỏi a có thể nhận những giá trị nào trong các giá trị sau ? Tại sao ?
a = 11 ; a = 2002 ; a = 2003 ; a = 11570 ; a = 22789 ; 
a = 29563 ; a = 299537. 
Ta có a = 3b + 7 (bN)
a= 3(a+2)+1
a chia cho 3 dư1
0,75đ
Vậy a có thể nhận những giá trị nào trong các giá trị sau: 
a = 2002; a = 22789; a = 29563
0,75đ
Bài 3(4 điểm)
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 9 dư 5, chia cho 7 dư 4 và chia cho 5 thì dư 3.
Gọi số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là (xẻN)
Theo bài ra ta có
x nhỏ nhất
x chia cho 9 dư 5, 
x chia cho 7 dư 4 
xchia cho 5 thì dư 3.
0,25đ
2x-1 nhỏ nhất, 2x-1 chia hết cho 5; 7;9
0,75đ
Mà BCNN(5,7,9)= 315
0,25đ
2x-1 = 315
x = 158
Vậy số cần tìm là 158
0,25đ
2
Cho A=1+2013+20132 + 20133 + 20134 +  + 201398 + 201399 và B = 2013100 - 1. 
a) So sánh A và B.
b) Tỡm chữ số tận cựng của A.
c) Chứng tỏ rằng 2012A+1 là một số chớnh phương.
a) So sánh A và B.
2013A =2013+20132 + 20133 + 20134 +  + 201399 + 2013100
A=1+2013+20132 + 20133 + 20134 +  + 201398 + 201399
2013A-A=2013100 – 1
2012A=2013100 - 1
=>A=(2013100 – 1): 2012
0,5đ
Tỡm chữ số tận cựng của A.
Ta thấy: 20134 có chữ số tận cựng là 1
=>(20134)25 có chữ số tận cựng là 1
=> 2013100 – 1 có chữ số tận cựng là 0
0,25đ
=> =(2013100 – 1): 2012 có chữ số tận cựng là 5
=>A có chữ số tận cựng là 5
0,25đ
c) Chứng tỏ rằng 2012A+1 là một số chớnh phương.
Ta thấy: 2012A+1=2013100 – 1+1=2013100=(201350)2
Vậy 2012A+1 là một số chớnh phương.
0,5đ
Bài 4(4,5 điểm)
Tỡm n để 9n+24 và 3n+4 là cỏc số nguyờn tố cựng nhau?
Gọi d là ước nguyên tố của 9n+24 và 3n+4
 9n+24d và 3n+4d
9n+24d và 3(3n+4)d
(9n+24)- (9n+12) d
12d
Mà d nguyên tố
 d= 2 hoặc d=3
0,75đ
Mặt khác 3n+4=3(n+1)+1 không chia hết cho 3
 d=2
0,25đ
Để 9n+24 và 3n+4 là cỏc số nguyờn tố cựng nhau thì d khác 3n+4 2
 n 2
Vậy n là số lẻ thì để 9n+24 và 3n+4 là cỏc số nguyờn tố cựng nhau
0,5đ
2) Tỡm hai số a v à b biết ƯCLN(a,b)=5 và BCNN(a,b)=300?
Ta có: ƯCLN(a,b)=5 a=5t và b=5k với (t,k)=1 (1)
Mà a.b= ƯCLN(a,b). BCNN(a,b)
a.b=5.300=1500 (2)
t.k=60 (3)
0,75đ
Từ (1), (2) và (3) ta có bảng
t
1
2
3
5
15
4
12
20
30
60
k
60
30
20
12
4
15
5
3
2
1
a
5
10
15
25
75
20
60
100
150
300
b
300
150
100
60
20
75
25
15
10
5
0,5đ
Vậy căp số (a,b) cần tìm là (5;300); (10;150); (15;100); (25;60); (75;20); (20;75); (60;25);(100;15);(150;10); (300;5)
0,25đ
3. Cho 3a+2b chia hết cho 17. Chứng minh rằng 10a+b chia hết cho 17.
Ta xét: 2(10a+b)-(3a+2b)= (20a+2b)-(3a+2b)=17a
0,5đ
2(10a+b)-(3a+2b) chia hết cho 17
0,25
Mà 3a+2b chia hết cho 17
2(10a+b) chia hết cho 17
0,25
10a+b chia hết cho 17 vì (2,17)=1.
Vậy , nếu3a+2b chia hết cho 17 thì 10a+b chia hết cho 17
0,25
0,25
Bài 5
(4 điểm)
1. Cho 2013 điểm trong đú chỉ cú 13 điểm thẳng hàng. Hỏi:
a. Cú bao nhiờu đường thẳng đi qua hai trong cỏc điểm trờn?
b. Cú bao nhiờu đoạn thẳng đi qua hai trong cỏc điểm trờn?
a. Cú bao nhiờu đường thẳng đi qua hai trong cỏc điểm trờn?
Qua 2013 điểm trong đú không cú 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được
2013.2012:2=2025078 ( đường thẳng)
0,5đ
Do 13 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng bớt đi là:
13.12:2-1=77 ( đường thẳng)
0,5đ
=> Qua 2013 điểm trong đú chỉ cú 13 điểm thẳng hàng ta vẽ được
2025078-77=2025001( đường thẳng)
0,5đ
b. Cú bao nhiờu đoạn thẳng đi qua hai trong cỏc điểm trờn?
Vì số đoạn thẳng tạo thành không phụ thuộc vào số điểm thẳng hàng nên 
Qua 2013 điểm trong đú chỉ cú 13 điểm thẳng hàng ta vẽ được
2013.2012:2=2025078 ( đoạn thẳng)
0,25đ
0,25đ
2)Cho đoạn thẳng AB=2 2014cm. Lần lượt lấy điểm M1, M2, M3, . . ., M2014 là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AB, AM1, AM2, . . . , AM2013 .Tớnh BM2014? 
Vì M1 là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AB => AM1= AB (1)
0,25đ
Vì M2 là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AM1 => AM2= AM1= AB (2)
0,25đ
Vì M3 là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AM2 => AM3= AM2= AB (3)
0,25đ
...
0,25đ
Vì M2014là trung điểm của cỏc đoạn thẳng AM2013 => AM2014 = AB 
 = . 2 2014 = 1( cm) (2014)
0,25đ
Từ (1), (2), (3), ..., (2014) suy ra M2014 nằm giữa Avà B
=> AM2014 +BM2014 =AB
0,25đ
0,25đ
BM2014=AB- AM2014
BM2014=2 2014-1
0,25đ
Vậy BM2014=2 2014-1
^
Dị≤ ≥±žŽRSTPA?%~}ĩíịủũ;
|ẽ ẻằºẻ ẫ ẩ ầ ặ ẫ ấ ậ ụ ạ ´ ^ $ " á ± ±