Đề kiểm tra chọn học sinh giỏi cấp trường vòng 2 môn toán lớp 6 (thời gian làm bài 120 phút)

Phòng GD-ĐT Hưng Hà Trường THCS Lê Quý Đôn
ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Vòng 2
Môn Toán lớp 6 (Thời gian làm bài 120ph)
==***==
Bài 1(3 điểm)
Trong hệ thập phân số A được viết bằng 100 chữ số 3, số B được viết bằng 100 chữ số 6. Hãy tính A.B
Tính tổng A = 1.2 + 2.3 +3.4 + . . . + 2013. 2014
Bài 2 (3,5 điểm)
1. Viết liên tiếp các số tự nhiên thành dãy 123456
Hỏi chữ số 4 ở hàng đơn vị của số 2014 đứng ở hàng thứ bao nhiêu?
Chữ số thứ 2014 là chữ số nào?
2. Cho = 0 và = = . . .= =-1.Tìm a?
Bài 3 (7,5 điểm)
 1. Cho dãy số: 7; -12; 17; -22; 27; 
Tìm số thứ 2014 của dãy trên?
Tính tổng 2014 số hạng đầu tiên của dãy trên?
Viết số hạng thứ n của dãy trên ( với n là số thứ tự).
Các số -5007; 38946 có mặt trong dãy trên không?
2. Tìm số nguyên n,m, biết:
mn-5m-3n = -8
n+2n-7 chia hết cho n+2.
Bài 4 (4 điểm)
Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số mà khi chia cho 75 có thương và số dư bằng nhau.
Cho B= với n. Chứng minh rằng B chia hết cho 9.
Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 thì số là hợp số.
Bài 5 (2 điểm):
Cho AB=2cm. Gọi Clà trung điểm của AB; Gọi Clà trung điểm của A C; Gọi Clà trung điểm của AC;; Gọi Clà trung điểm của AC. Tính C C.
Hết
Phòng GD-ĐT Hưng Hà Trường THCS Lê Quý Đôn
ĐÁP ÁN KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
Vòng 2
Môn Toán lớp 6 (Thời gian làm bài 120ph)
==***==
Bài
Đáp án
Điểm
Bài 1
(3 điểm)
a. Trong hệ thập phân số A được viết bằng 100 chữ số 3, số B được viết bằng 100 chữ số 6. Hãy tính A.B
A.B= = .
0.5đ
 =.
0.25đ
 =(1-1). 
0.25đ
 =
0.25đ
 =
0.25đ
b
Tính tổng A = 1.2 + 2.3 +3.4 + . . . + 2013. 2014
3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3++2013.2014.3
0.25đ
3A=1.2+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)++2013.2014.(2015-2012)
0.5đ
3A=1.2+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4++2013.2014.2015-2012.2013.2014
0.25đ
3A=2013.2014.2015->A=2723058910
0.5đ
Bài 2
 (3,5đ)
1. Viết liên tiếp các số tự nhiên thành dãy 123456
Hỏi chữ số 4 ở hàng đơn vị của số 2014 đứng ở hàng thứ bao nhiêu?
Từ 1 đến 9 có 9 số có 1 chữ số
0.25đ
Từ 10 đến 99 có 90 số có 2 chữ số
Từ 100 đến 999 có 900 số có 3 chữ số
0.25đ
Từ 1000 đến 2014 có 1015 số có 4 chữ số
0.25đ
Vậy, chữ số 4 ở hàng đơn vị của số 2014 đứng ở hàng thứ:
9.1+90.2+900.3+1015.4=6949
0.25đ
0.25đ
b.
Chữ số thứ 2014 là chữ số nào?
Từ 1 đến 9 có 9 số có 1 chữ số.
0.25đ
Từ 10 đến 99 có 90 số có 2 chữ số.
Số các chữ số còn lại là: 2014-90.2-9.1=1825(chữ số để viết các số có 3 chữ số)
0.25đ
Số các số có 3 chữ số là: 1825:3=608(dư1).
0.25đ
=> Số thứ 609 kể từ số 100 là số (609-1)+100=708
0,5đ
Vậy chữ số thứ 2014 là chữ số 7 trong số 708
0.25đ
2.
Cho = 0 và = = . . .= =-1.Tìm a?
Ta có = = . . .= =-1.
0.5đ
=> a=50
0.25đ
Bài 3 (7,5 điểm)
1. Cho dãy số: 7; -12; 17; -22; 27; 
Tìm số thứ 2014 của dãy trên?
Tính tổng 2014 số hạng đầu tiên của dãy trên?
Viết số hạng thứ n của dãy trên ( với n là số thứ tự).
Các số -5007; 38946 có mặt trong dãy trên không?
a
Tìm số thứ 2014 của dãy trên?
Dãy số: 7; -12; 17; -22; 27; 
Gọi số hạng thứ 2014 của dãy trên có giá trị tuyện đối là x ( x )
0.25đ
Ta có:( x-7):5+1=2014
 x=10072
0.25đ
0.25đ
Mà mỗi số hạng của dãy trên đứng ở thứ tự lẻ mang dấu “+”, số đứng ở thứ tự chẵn mang dấu “-”
Vậy số hạng thứ 2014 của dãy trên là -10072
0.25đ
0.25đ
b
Tính tổng 2014 số hạng đầu tiên của dãy trên?
Tổng 2014 số hạng đầu tiên của dãy trên là
0.25đ
7+(-12)+17+(-22)+27++(-10072)
=[7+(-12)]+[17+(-22)]++[10067+(-10072)](có 2014:2=1007 nhóm)
=-5.1007
=-5035
0.25đ
0.5đ
0.25đ
0.25đ
c
 Viết số hạng thứ n của dãy trên ( với n là số thứ tự).
Ta thấy: Mỗi số của dãy trên chia 5 đều dư 2, số hạng đứng ở thứ tự lẻ mang dấu “+”, số đứng ở thứ tự chẵn mang dấu “-”
Công thức tổng quát của số hạng thứ n là: (-1)(5n+2)
0.25đ
0.5đ 
d
 Các số -5007; 38946 có mặt trong dãy trên không?
Ta thấy -5007: 5( dư 2), 38946:5( dư 1)
0.5đ
Vậy -5007 có mặt trong dãy trên còn 38946 không cố mặt ở dãy trên.
0.5đ
2
 Tìm số nguyên n,m, biết:
mn-5m-3n = -8
a
mn-5m-3n = -8
(mn-5m)-3n = -8
0.25đ
m(n-5)-3n+15=7
(n-5)(m-3)=7
0.25đ
=>(n-5),(m-3)Ư(7)
0.25đ
Mà Ư(7)={-7;-1;1;7}
n-5
-7
-1
1
7
m-3
-1
-7
7
1
n
-2
4
6
12
m
2
-4
10
4
Thỏa mãn
Thỏa mãn
Thỏa mãn
Thỏa mãn
0.5đ
Vậy các cặp số nguyên (n,m)cần tìm là (-2;2), (4;-4), (6;10), (12;4)
0.25đ
b
n+2n-7 chia hết cho n+2.
Ta có n+2n-7
 =( n+2n)-7
0.25đ
 =n(n+2)-7
Để n+2n-7 chia hết cho n+2 thì n(n+2)-7 chia hết cho n+2
0.25đ
=>7 chia hết cho n+2
0.25đ
=> n+2 là ước của 7
Mà Ư(7)={-7;-1;1;7}
Ta có bảng
n+2
-7
-1
1
7
n
-9
-3
-1
5
Thỏa mãn
Thỏa mãn
Thỏa mãn
Thỏa mãn
Thỏa mãn
0.5đ
Vậy, với nthì n+2n-7 chia hết cho n+2.
0.25đ
Bài 4 (4,5 điểm)
Tìm số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số mà khi chia cho 75 có thương và số dư bằng nhau.
Gọi thương và số dư của phép chia đó là a (0< a <75)
0.25đ
Ta có số cần tìm có dạng 75.a+a=76a (1)
0.25đ
Mà số cần tìm là số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số (2)
0.25đ
Từ (1), (2) số cần tìm là 988
0.5đ
b
Cho B= với n. Chứng minh rằng B chia hết cho 9.
B= 
=
0.5đ
=
0.25đ
=9. +
0.25đ
Vì n chính là tổng các chữ số của nênchia hết cho 9
0.25đ
Vậy B chia hết cho 9.
0.25đ
c
Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 thì số là hợp số.
Ta có 
=
0.5đ
=.(chia hết cho và lớn hơn 
0.5đ
Vậy với mọi số tự nhiên n khác 0 thì số là hợp số.
0.25đ
Bài 5 (2 điểm):
Cho AB=2cm. Gọi Clà trung điểm của AB; Gọi Clà trung điểm của A C; Gọi Clà trung điểm của AC;; Gọi Clà trung điểm của AC. Tính C C.
Vì Clà trung điểm của AB nên AC=AB/2 (1)
0.25đ
Vì Clà trung điểm của A C nên AC = AC/2=AB/2 (2)
0.25đ
Vì Cà trung điểm của A Cnên AC = AC/2=AB/2 (3)
0.25đ
0.25đ
VÌ Clà trung điểm của AC nên AC = AB/2=1 (2014)
0.25đ
TỪ (1), (2),(3),,(2014) suy ra Cnằm giữa A và C
0.25đ
Do đó AC+ C C=AC
0.25đ
Vậy C C=2-1
0.25đ