Đề kiểm tra đội tuyển học sinh giỏi Toán 9

PHẠM MINH HIỀN
Trường THCS Lương Văn Chánh
 ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
Năm học: 2008-2009
Thời gian : 150 phút
Bài 1: 
Cho 
Bài 2:
Tìm số nguyên tố p sao cho 2p+1 là lập phương của một số tgự nhiên.
Bài: 3
Chứng minh rằng :
Bài 4:
Cho đa thức p(x) = ( x27 +x7-1)2008
Tìm tổng các hệ số của các lũy thừa bậc lẻ của đa thức trên sau khi khai triển, bỏ ngoặc,rút gọn các số hạng đồng dạng.
Bài 5:
a) Chứng minh :
 vlới mọi a,b.
b) Cho tam giác ABC , gọi M là một điểm nằm bên trong tam giác . các đường thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh của tam giác tại D, E, F.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P = .
Họ và tên :........................................................................
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI
Bài 1: 
Ta có: 
Tổng các hệ số của đa thức S = p(1) = ( 1+1-1)2008 = 1
Ta có p(-1) = 32008
Tổng các hệ số bậc lẻ của đa thức S1= [p(1) -p(-1) ]:2=[ 1 - 32008] : 2 
Bài 2:
Tìm số nguyên tố p sao cho 2p+1 là lập phương của một số tgự nhiên.
Ta có 2p+1 = n3 suy ra n là số tự nhiên lẻ
Đặt n = 2k+1 
Ta có 2p +1 = (2k +1)3 suy ra 2p = 2n(4k2 + 6k +3)
Suy ra p = n(4k2 + 6k +3)
Vì p nguyên tố nên m = 1
Vậy p = 13
Bài: 3
Chứng minh rằng :
Đặt x 
Suy ra x3 = 6+3x = 3.(2+x)=3.(1+1+x)
 ( vì )
Vậy x8 > 36
Bài 4:
Cho 
So sánh S và 
Ta chứng minh: 
Aùp dụng bđt trên ta có:
Bài 5:
a) Biến đổi tương đương.
b) Đặt SBMC = x2, SAMB = y2, SAMC = z2.
ta có 
Suy ra 
Tương tgự ta có :, 
Do đó p = 
Aùp dụng bất đẳng thức ở câu a ta có : p