Đề kiểm tra học kì 2 môn Toán lớp 12 hệ THPT

 1 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TÂY NINH 
KỲ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2013 - 2014 
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 12 HỆ THPT 
(Hướng dẫn chấm có 05 trang) 
I. Hướng dẫn chung 
1/ Học sinh trả lời theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản như trong hướng 
dẫn chấm, thì vẫn cho đủ điểm như hướng dẫn quy định. 
2/ Việc chi tiết hóa điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải đảm bảo không sai lệch với 
hướng dẫn chấm và được thống nhất trong tổ chấm kiểm tra. 
3/ Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 1 chữ số thập phân. Điểm toàn bài tối đa là 
10,0 điểm. 
II. Đáp án và thang điểm 
 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 4 22 2y x x   
a/ TXĐ: D   0,25đ 
b/ Sự biến thiên hàm số 
+ / 34 4y x x  
Cho y / = 0 3
0 2
4 4 0
1 1
x y
x x
x y
  
        
/ 1 00
1
x
y
x
  
   
 và /
1
0
0 1
x
y
x
 
    
Hàm số đồng biến trên các khoảng  1;0 và  1; 
Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1  và  0;1 
0,25đ 
 0,25đ 
 + Cực trị: 
Hàm số đạt cực đại tại 0 (0) 2CĐx y y    
Hàm số đạt cực tiểu tại 1 ( 1) 1CTx y y      
0,25đ 
 + Giới hạn: 
 lim
x
y

   ; lim
x
y

  . 
0,25đ 
Bảng biến thiên: 
2
1
+∞
0 +
1
-+- 00
1
-1 0
+∞
+∞-∞
y
y'
x
0,25đ 
Câu 1 
( 2đ) 
3/ Đồ thị 
 Đồ thị đi qua các điểm    2;2 , 2;2 
Vẽ đồ thị: 
 2 
x
y
1 2- 2
2
1
-1 O
 0,5đ 
 1/ Giải phương trình:    1 1
15 15
log 2 log 10 1x x     
 Điều kiện : 
2 0
2 10
10 0
x
x
x
 
  
 
0,25đ 
 Phương trình viết thành:   1
15
log 2 10 1x x    
   2 10 15x x    
0,25đ 
 2 12 35 0x x    
5
7
x
x

  
0,25đ 
 Vậy nghiệm của phương trình là: 
5
7
x
x

 
0,25đ 
 2/ Giải bất phương trình: 4 2 13 4.3 27 0x x   
 Bất phương trình viết lại thành: 4 23 12.3 27 0x x   0,25đ 
Đặt 23 xt  ( ĐK: t > 0 ). Bất phương trình thành: 
 2t – 12t 27 0   
3
9
t
t

  
 0,25đ 
Câu 2 
( 2đ) 
+ Với 2 13 3 3
2
xt x     
+ Với 29 3 9 1xt x     
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:  1; 1;
2
S       
0,25đ 
0,25đ 
 1/ 
2
1
2I x x dx

  
 Đặt 22 2 2t x t x tdt dx       0,25đ 
Câu 3 
( 2đ) 
1 1
2 2
x t
x t
    
   
 0,25đ 
 3 
 Vậy :  
22 5 3
4 2
1 1
2
2 2 2
5 3
t t
I t t dt
 
    
 
 
0,25đ 
 46
15
I  0,25đ 
 2/ 
2
0
( 2)cosJ x xdx

  
Đặt 
2
cos sin
u x du dx
dv xdx v x
   
  
0,25đ 
Vậy:  
2 2
2
0
0 0
( 2) cos 2 sin sinJ x xdx x x xdx
 

      
0,25đ 
   2
0
2 cos
2
J x

   
0,25đ 
 2 1 1
2 2
J
 
     
0,25đ 
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A 
xuống mặt phẳng (BCD) . Tính thể tích khối nón có đường tròn đáy ngoại 
tiếp tam giác BCD và chiều cao AH. 
A
B
C
D
E
H
Do tam giác BCD đều nên: 
 + Bán kính đáy của hình nón: R = BH = 
3
3
a
. 
0,25đ 
Câu 4 
( 1đ) 
+ Độ dài đường sinh hình nón l = AB = a 
 4 
+ Độ dài chiều cao hình nón 2 2
6
3
a
h AH AB BH    
0,5đ 
Vậy thể tích khối nón là: 
3
21 6.
3 27
a
V R h   
0,25đ 
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(-1,1,0 ), B(2,1,3 ), 
C(-1,-3,2 ) và mặt phẳng (P) có phương trình: 2 2 0x y z    
1/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC). 
(3,0,3)
(0, 4, 2)
AB
AC
 
  

 
0,25đ 
0,25đ 
, (12, 6, 12)AB AC     
 
là VTPT của (ABC) và (ABC) đi qua điểm 
A ( -1, 1, 0 ) 
0,25đ 
Vậy phương trình mặt phẳng (ABC): 2 2 3 0x y z    0,25đ 
2/ Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên 
mặt phẳng (P). 
Gọi phương trình mặt cầu (S) có dạng: 2 2 2 2 2 2 0x y z Ax By Cz D       
Do mặt cầu (S) qua A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) nên ta có 
hệ phương trình sau: 
2 2 2
4 2 6 14
2 6 4 14
2 2
A B D
A B C D
A B C D
A B C
    
     

     
   
0,5đ 
Giải hệ phương trình được: 
1
0
3
0
A
B
C
D

 

 
 
0,25đ 
Câu 5a 
( 2đ) 
+ Vậy phương trình mặt cầu (S) là: 2 2 2 2 6 0x y z x z     0,25đ 
 Tìm môđun của số phức z biết:  2 5 10i z i   
Phương trình đã cho viết thành: 
 
10 5
2
i
z
i



 0,25đ 
  
  
10 5 2
2 2
i i
z
i i
 
 
 
0,25đ 
 15 20 3 4
5
i
z i

    . Suy ra: 3 4z i  0,25đ 
Câu 6a 
 ( 1đ) 
 Vậy 2 23 4 5z    0,25đ 
Câu 5b 
 ( 1đ) 
Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0,1,2 ), B(-2,-1,-2 ), C(2,-3,-3 ) . 
1) Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm B đồng thời vuông góc 
với mặt phẳng (ABC). 
 5 
( 2, 2, 4)
(2, 4, 5)
AB
AC
    
   

 
0,25đ 
0,25đ 
, ( 6, 18,12)n AB AC      
  
là VTPT của (ABC) 0,25đ 
Do    ABC  nên đường thẳng  nhận ( 6, 18,12)n    làm VTCP và 
đường thẳng  đi qua điểm ( 2; 1; 2)B    
 Vậy phương trình đường thẳng  là: 
2
1 3
2 2
x t
y t
x t
  

  
   
  t 
0,25đ 
 2) Xác định toạ độ điểm D trên  sao cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 
14. 
Do D nên  2 ; 1 3 ; 2 2D t t t      
Ta có: 1 1; 36 324 144 3 14
2 2ABC
S AB AC       
 
 0,25đ 
 2
31
. 14 14
3
ABCD
ABCD ABC
ABC
V
V S BD BD BD
S 
      0,25đ 
 2
1
14 14
1
t
t
t

     
Vậy: 
 
 
1;2; 4
3; 4;0
D
D
 

 
0,25đ 
0,25đ 
 Giải phương trình: 2 (3 4 ) ( 1 5 ) 0z i z i      trên tập số phức. 
+ Ta có:    23 4 4 1 5i i      0,25đ 
+  23 4 1 2i i      0,25đ 
Câu 6b 
 ( 1đ) 
+ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 1
2
2 3
1
z i
z i
 
  
0,5đ