Đề kiểm tra học kì II–Năm Học 2013-2014 Môn Toán - Lớp 10 Trường Thpt Lương Ngọc Quyến

 SỞ GD & ĐT THÁI NGUYấN 
TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN 
 
ĐỀ KIỂM TRA HỌC Kè II–NĂM HỌC 2013-2014 
 Mụn Toỏn - Lớp 10 
(Thời gian làm bài 90 phỳt, khụng kể thời gian giao đề) 
 
Cõu 1 (3,0 điểm). 
Giải cỏc bất phương trỡnh sau: 
 a. 2 3 2 0− + >x x b. 22 3 1 1− + > +x x x c. 2 23 12 3+ + ≤ +x x x x . 
Cõu 2 (2,0 điểm). 
 a. Tỡm m để phương trỡnh 2( 2) 2(2 3) 5 6 0− + − + − =m x m x m cú hai nghiệm phõn 
biệt cựng dấu. 
 b. Rỳt gọn biểu thức sau: 
4 2 2 2
2
cos sin cos sin
tan 1
+ +
=
+
P α α α α
α
 
2 k
piα pi  
 
∀ ≠ + . 
Cõu 3 (2,0 điểm). 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A(0;1), B(2;-3) và đ−ờng tròn 
(C): 
2 2 2 4 1 0x y x y+ − + + = . 
 a. Viết ph−ơng trình tổng quỏt của đ−ờng thẳng AB. 
 b. Viết ph−ơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đ−ờng thẳng 
AB. 
Cõu 4 (2,0 điểm). 
 Cho elip (E): 
2 2
1
25 9
x y
+ = . 
 a. Tỡm độ dài hai trục, tọa độ cỏc đỉnh, tiờu điểm, tớnh tiờu cự, tõm sai của elip. 
 b. Tỡm những điểm trờn (E) nhỡn hai tiờu điểm dưới một gúc vuụng. 
Cõu 5 (1,0 điểm). 
 Cho a, b , c là cỏc số thực dương. Chứng minh rằng: 
 
3
2
a b c
b c a c a b+ + ≥+ + + . 
 
------------------------ Hết ------------------------- 
 
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. 
Họ và tờn thớ sinh:………………......………… Lớp:............................................................ 
Số bỏo danh:…………………….................….. Phũng thi:…………...…………...........….. 
 
 
SỞ GD & ĐT THÁI NGUYấN 
 
TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN 
 
HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA HỌC Kè II 
 Mụn Toỏn - Lớp 10 
 Năm học 2013-2014 
 
Cõu NỘI DUNG ĐIỂM 
Cõu 1 
(3đ) 
 Giải cỏc bất phương trỡnh sau: 
a. 2 3 2 0− + >x x b. 22 3 1 1− + > +x x x c. 2 23 12 3+ + ≤ +x x x x . 
 
Cõu 
1a.(1,0
đ) 
a. 2 3 2 0− + >x x 
TXĐ D = ℝ 
Cho 2 1
2
3 2 0 x
x
x x
=

=
− + = ⇒ 
 
 
 
0.5đ 
Xột dấu VT và kết luận nghiệm của bpt ( ) ( );1 2;S = −∞ ∪ +∞ 0.5đ 
Cõu 
1b.(1,0
đ) 
b. 22 3 1 1x x x− + > + (1) 
 
(1) 
x 1 0
22x 3x 1 x 1
x 1 0
22x 3x 1 x 1
+ ≥
− + > +
⇔
+ <
− + > − −






 
 
 
 
 
 
 
0.25đ 
x 1
22x 4x 0
x 1
22x 2x 2 0
≥ −
− >
⇔
< −
− + >






 
 
 
 
 
 
 
 
0.25đ 
x 1
x ( ; 0) (2; )
x 1
x
≥ −
∈ −∞ ∪ +∞
⇔
< −




 ∀ ∈ ℝ
 
 
 
 
 
 
 
0.25đ 
[ )
( )
1;0 (2; )
( ;0) (2; )
; 1
x
x
x
 ∈ − ∪ +∞
⇔ ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞
∈ −∞ −
 
Vậy: ( ;0) (2; )x ∈ −∞ ∪ +∞ 
 
 
 
0.25đ 
1c(1,0
đ) b. 
2 23 12 3x x x x+ + ≤ + (2) 
 
 
 
 
 
ĐK: 2 3 12 0x x x+ + ≥ ∀ ∈ℝ 0.25đ 
Đặt 2 3 12t x x= + + ( 0)t ≥ 
Bpt cú dạng: 2 412 0
3
t
t t
t
≥
− − ≥ ⇔  ≤ −
 
 
 
0.25đ 
 
 
Đối chiếu đk : 0t ≥ , ta cú 24 3 12 4t x x≥ ⇒ + + ≥ 
 ( ] [ )
2 3 4 0
; 4 1;
x x
x
⇔ + − ≥
⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
 
 
 
 
0.25đ 
 
Vậy: nghiệm của bpt là: ( ] [ ); 4 1;T = −∞ − ∪ +∞ 
 
 
 
0.25đ 
 
Cõu 2 
(2.0đ) 
 
 
 
 
 a. Tỡm m để phương trỡnh 2( 2) 2(2 3) 5 6 0− + − + − =m x m x m cú hai 
nghiệm phõn biệt cựng dấu. 
 b. Rỳt gọn biểu thức sau: 
4 2 2 2
2
cos sin cos sin
tan 1
+ +
=
+
P α α α α
α
 
2 k
piα pi  
 
∀ ≠ + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.a 
(1,0đ) 
 
a.Tỡm m sao cho )( xf = 0 cú 2 nghiệm phõn biệt cựng dấu 
ĐK để )( xf = 0 cú 2 nghiệm phõn biệt cựng dấu 
là 
, 0
P 0
>∆
>



 
 
 
 
 
 
0.25đ 
 
 
( )22m 3 (m 2)(5m 6) 0
5m 6 0
m 2

− − − − >

−
 >
 −
⇒ 
 
 
 
0,25đ 
 
 
( )
( ) ( )
m 1;3
6
m 1; 2;36 5m ; 2;
5
 ∈
  
⇔ ∈ ∪     ∈ −∞ ∪ +∞ 
 
⇔ 
 
 
 
 
0.25đ 
 
Vậy : ( )6m 1; 2;3
5
 
∈ ∪ 
 
 
 
0,25đ 
2.b 
(1,0đ) 
 
b. Rỳt gọn biểu thức sau: 
4 2 2 2
2
cos sin cos sin
tan 1
+ +
=
+
P α α α α
α
 
2 k
piα pi  
 
∀ ≠ + 
 
 
 
 
 
 
 
2 2 2 2cos (cos sin ) sin
2tan 1
P α α α α
α
+ +
=
+
 
 
 
0.25đ 
2 2cos sin
2tan 1
P α α
α
+
=
+
 
 
0.25đ 
2
2
1
cos1
cos
P α
α
== 
 
 
0.5đ 
Cõu 
3(2.0đ) 
 
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hai điểm A(0;1), 
B(2;-3) và đ−ờng tròn (C): 
2 2 2 4 1 0x y x y+ − + + = . 
 a. Viết ph−ơng trình tổng quỏt của đ−ờng thẳng AB. 
 b. Viết ph−ơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song 
với đ−ờng thẳng AB. 
 
 
 
 
 
3.a 
(1.0đ) 
 a. Viết ph−ơng trình đ−ờng thẳng AB. 
 (2; 4)AB = −

 
Chọn (2;1)ABn =

 
 
 
0.5đ 
PT TQ AB là : 2 1 0x y+ − = 0.5đ 
3.b 
(1.0đ) 
b. Viết ph−ơng trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 
AB 
 
Đường trũn (C): Tõm I(1;-2); Bỏn kớnh R=2 
 
 
0.25đ 
Đường thẳng d//AB cú phương trỡnh dạng: 2x + y+ c = 0 (c ≠ -1). 
 
 
0.25đ 
(d) là tiếp tuyến của (C) ⇔ d(I,(d)) = R 
⇔
2.1 1.( 2) 2 2 5 2 5
4 1
c
c c
+ − +
= ⇔ = ⇔ = ±
+
. 
 
 
0.25đ 
Vậy: cú 2 tiếp tuyến với (C) và song song với AB là: 
 2x + y + 2 5 =0 và 2x + y - 2 5 =0. 
 
 
0.25đ 
Cõu 4 
(2.0đ) Cho elip (E): 
2 2
1
25 9
x y
+ = 
a. Tỡm độ dài hai trục, tọa độ cỏc đỉnh, tiờu điểm, tớnh tiờu cự, tõm 
sai của elip. 
b. Tỡm những điểm trờn (E) nhỡn hai tiờu điểm dưới một gúc vuụng. 
 
4.a 
(1.đ) 
a. Tỡm độ dài hai trục, tọa độ cỏc đỉnh, tiờu điểm, tớnh tiờu cự, tõm 
sai của elip. 
 
 Ta cú :
2
a 25 2
c 16
2b 9
=
⇒ =
=



 
 
a 5
b 3
c 4
=
=
=




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0.25đ 
Độ dài trục lớn 2a=10 
 
Độ dài trục bộ 2b=6 
Tọa độ cỏc đỉnh : 1 2 1 2A ( 5;0); A (5;0); B (0; 3); B (0;3)− − 
 
 
 
 
0.25đ 
 
Tọa độ cỏc tiờu điểm: F ( 4;0); F (4; 0)1 2− 
Tiờu cự 2c=8 
 
 
0.25đ 
Tõm sai 4
5
e = 
 
0.25đ 
4 b 
(1.0đ) 
b. Tỡm những điểm trờn (E) nhỡn hai tiờu điểm dưới một gúc vuụng. 
 Gọi điểm cần tỡm là M(x;y) 
Để điểm M nhỡn hai tiờu điểm dưới một gúc vuụng 
M nằm trờn đường trũn (C) tõm O bỏn kớnh R=c=4 
Phương trỡnh đường trũn ( C) là: 2 2x y 16+ = 
 
 
 
 
 
 
0.25đ 
 Tọa độ điểm M là nghiệm của hpt: 
2
2 2
2 2
2
175 5 7
9 25 225 16 4
81 916
16 4
x xx y
x y y y

= = ± + =  
⇔ ⇔  
+ =  
= = ±
  
 
 
 
 
 
 
0.5đ 
Vậy cú 4 điểm thỏa món 
1 2 3 4
5 7 9 5 7 9 5 7 9 5 7 9( ; ); ( ; ); ( ; ); ( ; )
4 4 4 4 4 4 4 4
M M M M− − − − 
 
 
0.25đ 
Cõu 5 
(1.0đ) 
Cho a, b , c là cỏc số thực dương. Chứng minh rằng: 
 
3
2
a b c
b c a c a b+ + ≥+ + + 
 
Ta cú 3 ( 1) ( 1) ( 1)a b c a b cb c a c a b b c a c a b+ + + = + + + + ++ + + + + + 
=
1 1 1( )( )a b c b c a c a b+ + + ++ + + 
 
 
 
 
0.25đ 
 
 
 
Ta cú 1 3 3( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 2a b c a b b c c a a b b c c a  + + = + + + + + ≥ + + + 
 
1 1 1 33 ( )( )( )a b b c c ab c a c a b+ + ≥ + + ++ + + 
 
 
 
0.25đ 
 
1 1 1 9( )( )
2
a b c b c a c a b+ + ≥+ ++ + + 
 
 
0.25đ 
Vậy : 3
2
a b c
b c a c a b+ + ≥+ + + 
Dấu bằng xảy ra khi : a=b=c 
 
 
0.25đ