Đề kiểm tra học kỳ 2 môn toán lớp 12 - Đề 3

ÑEÀ KIEÅM TRA HOÏC KYØ 2
MOÂN TOAÙN LÔÙP 12 - Đề 3
 A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm)
Câu 1. (3,5 điểm)
 Cho hàm số : 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của với trục .
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , trục và trục .
Xác định để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt.
 Câu 2. (1,5 điểm)
	Tính các tích phân :
	a) I=	b) J=
 Câu 3. (2 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ; 0) , 
C(0 ; 0 ; 3).
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm B, C và song song với đường thẳng OA.
Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên mặt phẳng(ABC).
 B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm)
	Học sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó.( phần I hoặc phần II)
I)Theo chương trình chuẩn.
 1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 
 	trên đoạn [-3;2].
 2) Xác định để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu.
 3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ) và có tâm I thuộc đường thẳng (d): 
	 II)Theo chương trình nâng cao.
 1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 
 	trên đoạn [-3;2].
 2) Xác định để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.
 3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua ba điểm A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ), C(0 ; 2 ; -1) và có tâm I thuộc mp(P) có phương trình: x + y – z + 2 = 0.
 	 HẾT
Đáp án :
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH ( 7 điểm)
Câu 1. (3,5 điểm)
 Cho hàm số : 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Tập xác định : 	0,25 đ
Sự biến thiên.
. chiều biến thiên : 0,25 đ
Hàm số nghịch biến trên các khoảng 0,25 đ
Hàm số không có cực trị
Tiệm cận : 	
	0,25 đ
	Đường thẳng là tiệm cận ngang	
	Đường thẳng là tiệm cận đứng.	0,25 đ
Bảng biến thiên
y’
y
x
-1/2
-
+
+
-1/2
-1/2
 0,25 đ
Đồ thị cắt trục tại điểm ( 0 ; 2 ), cắt trục tại điểm ( 2 ; 0 ) 
Vẽ đồ thị . 
 Lưu ý: Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị.	0,5 đ
b)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của với trục .
	Giao điểm với trục : ( 2 ; 0 )	
	y’(2) = 	Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm ( 2 ; 0 ) :
	0,5 đ
c)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị , trục và trục 
Giao điểm với trục : ( 2 ; 0 )
Giao điểm với trục : ( 0 ; 2 ).
Vì với nên diện tích hình phẳng cần tìm :
 S = ( đvdt)	0,5 đ
d)Xác định để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt.
	Hoành độ giao điểm của và đồ thị ( ) thỏa phương trình :
 	 Vậy với mọi đường thẳng ( d ) luôn cắt (C ) tại hai điểm phân biệt.
	0,5 đ
 Câu 2. (1,5 điểm)
	Tính các tích phân :
	a) I=	
	Đặt 	0,25 đ
	Ta có : = 0 thì 
	 = thì 
	Vậy I =	0,5 đ
b) J=
	Đặt 	0,25 đ
	Ta có : = 0 thì 
	 = 1 thì 
	Vậy J= 	0,5 đ
 Câu 3. (2 điểm)
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1 ; 0 ; 0) , B(0 ; 2 ; 0) , 
C(0 ; 0 ; 3).
a)Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm B, C và song song với đường thẳng OA.
	Ta có 
	Mp(P) đi qua BC và song song với OA nên có vectơ pháp tuyến là :
	0,5 đ
	Mp(P) đi qua điểm B(0 ; 2 ; 0), có vectơ pháp tuyến nên có phương trình :
	(y – 2)3 + 2z = 03y + 2z – 6 = 0	0,5đ
b)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên mặt phẳng(ABC).
 Phương trình mp(ABC) : 
	0,25 đ
Đường thẳng OH vuông góc với mp(ABC) nên có vecto chỉ phương là vecto pháp tuyến của mp(ABC) : ( 6 ; 3 ; 2 )
Phương trình tham số của đường thẳng OH: 
	0,5 đ
H là giao điểm của OH và mp(ABC) nên tọa độ H thỏa hệ :
Giải hệ trên ta được H ( 	0,25 đ
 B.PHẦN RIÊNG : ( 3 điểm)
I)Theo chương trình chuẩn.
 1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : 
 xác định và liên tục trên R
	( thuộc đoạn [ - 3 ; 2 ] )	0,5 đ
	Xét trên trên đoạn [-3;2]:
	Ta có y(-3) = 4 ; y(-2) = 0 ; y(0) = 4 ; y(2) = - 16
	Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4 , đạt tại x = -3 hoặc x = 0
	và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -16 đạt tại x =2.
	 0,5 đ	
 2) Xác định để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu.
	Hàm số xác định có tập xác định là R
	 (1)	
	0,5 đ
	Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt : 
 	0,5 đ 
 3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua hai điểm A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ) và có tâm I thuộc đường thẳng (d): 
	Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung trực của AB.
	Trung điểm của AB là : K (0 ; 2 ; 2 )
	Vecto 	
	Phương trình mp trung trực của AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 = 0 
	Ta có I là giao điểm của đường thẳng ( d ) và mp trung trực của AB nên tọa độ tâm I thỏa :
Giải hệ trên ta được I ( 	0,5 đ
Bán kính mặt cầu (S) : IB =	
Phương trình mặt cầu ( S ) 	0,5 đ
	 II)Theo chương trình nâng cao.
 1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : 
 	trên đoạn [-3;2].
	Ta có tập xác định của hàm sô là R
	Hàm số liên tục trên R.
	0,5 đ
	Ta có y(-3) = ; y(-1) =2 ; y(2) = 
	Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là , đạt tại x = 2
	và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2 đạt tại x = -1	0,5 đ
 2) Xác định để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.
 Hàm số xác định có tập xác định là R
	 (1)
	0,5 đ
	Để hàm số đồng biến trên tập xác định của nó thì (1) phải có nghiệm kép hoặc vô nghiệm ( vì hệ số a của y’ là số dương)
 	0,5 đ
 3) Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua ba điểm A(-2 ; 4 ; 1), B(2 ; 0 ; 3 ), C(0 ; 2 ; -1) và có tâm I thuộc mp(P) có phương trình: x + y – z + 2 = 0.
	Vì mặt cầu (S) qua hai điểm A, B nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung trực của AB.
	Trung điểm của AB là : K (0 ; 2 ; 2 )
	Vecto 	
	Phương trình mp trung trực của AB : (x-0)4 +(y-2)(-4)+(z-2)2 = 0 
	 ( 1 )
	Vì mặt cầu (S) qua hai điểm B,C nên tâm I của mặt cầu thuộc mặt trung trực của BC.
	Trung điểm của BC là : J (1 ; 1 ; 1 )
	Vecto 	
	Phương trình mp trung trực của BC : (x-1)(-2) +(y-1)(2)+(z-1)(-4) = 0 
	(2)
 Theo giả thiết tâm I thuộc mp(P):x + y – z + 2 = 0 (3)
	Vậy tọa độ I thỏa hệ phương trình ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ). Giải hệ này ta được 
	I( -1 ; 1 ; 2).	0,5 đ
	Bán kính mặt cầu ( S ) : IA = 
	Vậy phương trình mặt cầu ( S ): 
	0,5 đ
	Hết