Đề kiểm tra khảo sát học sinh giỏi môn: toán 9 thời gian: 120 phút

Phòng GD&ĐT
Đề kiểm tra khảo sát HSG
Huyện Tân Yên
Môn: Toán 9
Thời gian: 120 phút
Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức.
P = 
a/ Rút gọn P.
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 2: (2 điểm)
a/ Giải phương trình sau: 
b/ Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 
Bài 3: (2 điểm)
a/ Cho và .
Chứng minh rằng: 
b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 
Bài 4: (3 điểm) Cho ABC cân tại A có góc B = a, O là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC. Một tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt cạnh AB, AC theo thứ tự tại M, N.
a/ Chứng minh rằng: MON = a.
b/ Chứng minh rằng: OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.
c/ Cho BC = 2a. Xác định vị trí của tiếp tuyến MN để tổng BM + CN nhỏ nhất.
Bài 5: (1 điểm) Cho nhọn, các đường cao cắt nhau tại . Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn giải
Bài 1: a) Rút gọn kết quả là: P = 
b) Vì P < 0 nên P nhỏ nhất khi lớn nhất nhỏ nhất x = 0
Do đó P nhỏ nhất là -1 khi x = 0.
Bài 2: a) Đặt điều kiện cho ẩn, đặt ẩn phụ a = , b = 
Suy ra a3 + b2 = 8 và a + b = 2.
Giải ra được (a, b) = (-1, 3); (-2, 4); (2, 0) 
Từ đó suy ra nghiệm 
b) Biến đổi thành suy ra , là các căn thức đồng dạng của . Đặt thì a + b = 6
Tính được (a, b) = (1, 5); (2, 4); (3. 3); (4, 2); (5, 1) 
Do đó (x, y) = (55, 1375); (220, 880); (495, 495); (880, 220); (1375, 55) 
Bài 3: a) Đặt M = 
Ta có M = 
=> Tương tự ; 
Suy ra điều phải chứng minh.
b) Đặt điều kiện. Ta có 
Do đó A . Dấu “=” xảy ra khi x = 18 
Bài 4: 
1
1
a) Ta có B + C + 2M1 + 2N1 = 3600
=> a + M1 + N1 = 1800 => MON = a
b) GV tự làm.
c) Chứng minh BM.CN = a2 
=> BM + CN 2a dấu “=” xảy ra khi BM = CN
=> Tiếp tuyến MN // BC.
Bài 5: 
Đặt S1 là dt AHB; 
S2 là dt BHC ; S3 là dt CHA 
S là dt ABC
=> S = S1+S2+S3 
Ta có 
 (đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi S1 = S2 = S3 => ABC đều.