Đề kiểm tra (thời gian làm bài: 150 phút) Toán Lớp 12

ĐỀ KIỂM TRA
(Thời gian làm bài: 150 phút)

Bài 1: Cho đa thức f(x) bậc 2008 thỏa mãn điều kiện với n = 1,2,3,...2009. Tính giá trị của f(2010).
Bài 2: a) Cho các số thực a1,a2,.. an và b1, b2,.bn sao cho bi > 0 , chứng minh rằng:
 	 (Bất đẳng thức Schwarz)
 b) Cho |x|<1 và |y|<1. Chứng minh rằng: 
 c) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
 abc(a + b + c) ≤ a3b + b3c + c3a
Bài 3: Xét tập số nguyên dương:
S={n/ n–1, n, n+1 có thể biểu diễn được dưới dạng tổng bình phương của 2 số nguyên dương} 
Chứng minh rằng nếu n S thì n2 S 
Bài 4: Tìm số nguyên tố p sao cho với a, b là các số nguyên dương.
Bài 5: Cho tam giác ABC, M là một điểm bất kì nằm trong tam giác. Đường thẳng AM, BM, CM cắt BC, CA, AB lần lượt tại P, Q, R.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Bài 6: Cho hai đường tròn (O1), (O2) tiếp xúc trong với nhau tại M, (O2) nằm trong (O1). Gọi N là 1 điểm nằm trên (O2) và khác M, qua N kẻ đường thẳng tiếp xúc với (O2) cắt (O1) tại A và B. Đường thẳng MN cắt (O1) tại E. Kẻ tiếp tuyến EI với (O2) với (O2) cắt (O1) tại C. Chứng minh rằng: I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Bài 1: Cho đa thức f(x) bậc 2008 thỏa mãn điều kiện với n = 1,2,3,...2009. Tính giá trị của f(2010).
Lời giải:
Xét đa thức g(x) = xf(x) – 1. 
Dễ dàng nhận thấy g(x) là đa thức có bậc 2009 và g(n) = 0 với n = 1,2,3,...2009
Như vậy g(x) = k(x – 1)(x – 2)…(x – 2009) với k là một hằng số nào đó.
Từ đó suy ra: xf(x) –1 = k(x – 1)(x – 2)…(x – 2009)
 xf(x) = k(x – 1)(x – 2)…(x – 2009) +1.	(1)
So sánh hệ số tự do của hai đa thức ở vế trái và vế phải (1) ta suy ra:
1 – k.2009! = 0 
xf(x) = (x – 1)(x – 2)…(x – 2009) +1
2010f(2010) = (2010 – 1)(2010 – 2)…(2010– 2009) +1 
	 = 2009! +1 =2
 f(2010) = 
Bài 2: a) Cho các số thực a1,a2,.. an và b1, b2,.bn sao cho bi > 0 , chứng minh rằng:
 	 (Bất đẳng thức Schwarz)
 b) Cho |x|<1 và |y|<1. Chứng minh rằng: 
 c) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
 abc(a + b + c) ≤ a3b + b3c + c3a
Lời giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ,ta có:
 
 
Từ đó suy ra 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
b) Áp dụng kết quả câu a), ta có:
 .ĐPCM
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y
c) Áp dụng kết quả câu a), ta có:
 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. ĐPCM.
Bài 3: Xét tập số nguyên dương:
S={n/ n–1, n, n+1 có thể biểu diễn được dưới dạng tổng bình phương của 2 số nguyên dương} 
Chứng minh rằng nếu n S thì n2 S 
Lời giải:
Giả sử n S, theo giả thiết của bài toán: 
n = p2 + q2, n – 1 = x2 + y2, n + 1 = z2 + t2 với p, q, x, y, z, t là các số nguyên dương nào đó và p<q, x<y, z<t
Vì p<q, x<y, z<t nên q2 – p2 và yt –xz là các số nguyên dương
Ta có: n2 = (p2 + q2)2 = (q2 – p2)2 + (2pq)2 	(1)
	 n2 – 1 = (n – 1)(n + 1) = (x2 + y2)( z2 + t2)
 = x2z2 + x2t2 + y2z2 + y2t2
 = (yt –xz)2 + (xt + yz)2 	(2)
	 n2 + 1= n2 + 12	(3)
Từ (1), (2), (3) n2 S. ĐPCM

Bài 4: Tìm số nguyên tố p sao cho với a, b là các số nguyên dương.
Lời giải:
Ta có: 	(1)
Gọi d = (a, b) và đặt a = dx, b = dy, ở đó (x, y) = 1. 
Thay a, b vào (1) ta được: 	(2)
Vì (x, y) = 1 nên (x2, y2) = 1 (x2, x2 + y2) = (y2, x2 + y2) = 1	(3)
Từ (2) và (3), vì p là số nguyên nên: d2 (x2 + y2)
Mặt khác và p là số nguyên tố nên x = 1 và y = 1 và ta có: 
Vậy p = 2 là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn bài toán, khi đó a = b=2

Bài 5: Cho tam giác ABC, M là một điểm bất kì nằm trong tam giác. Đường thẳng AM, BM, CM cắt BC, CA, AB lần lượt tại P, Q, R.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Lời giải:
Đặt S1 = SMBC, S2 = SMCA, S3 = SMAB
Ta có: 
Tương tự như vậy: , 
Từ đó suy ra:
 
Lại có: 
Do đó:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi S1 = S2 = S3, khi đó M là trọng tâm tam giác ABC.
Vậy: đạt giá trị nhỏ nhất là khi M là trọng tâm tam giác ABC
Bài 6: Cho hai đường tròn (O1), (O2) tiếp xúc trong với nhau tại M, (O2) nằm trong (O1). Gọi N là 1 điểm nằm trên (O2) và khác M, qua N kẻ đường thẳng tiếp xúc với (O2) cắt (O1) tại A và B. Đường thẳng MN cắt (O1) tại E. Kẻ tiếp tuyến EI với (O2) với (O2) cắt (O1) tại C. Chứng minh rằng: I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Lời giải:
Ta có: MNO2 = NMO2 ( tam giác MO2N cân)
EMO1 𝑔𝑙𝑒 NMOXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX = MEO1( tam giác MO1E cân)
Từ hai đẳng thức trên, suy ra:
MNO2 = MEO1 NO2 || EO1
Mặt khác NO2 AB ( AB là tiếp tuyến của (O2))
EO1 AB
 E là điểm chính giữa cung AB của đường tròn (O1). 
 CI là phân giác góc ACB.	(1)
Bây giờ ta chứng minh BI là phân giác góc ABC.
Xét AEN và MEA có:
AEM=AEN
AME = ABE = EAB
AEN MEA ( góc, góc)
 	(2)
Mặt khác, vì EI là tiếp tuyến của (O2) nên:
 	(3)
Từ (2) và (3) suy ra EI = EA và do đó EI = EB EBI la𝑡𝑎 ó EI=y ra EA=EI.ến của (OACB.ròn (OXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXà tam giác cân tại E
 EIB= EBI
Ta có: IBC = EIB – ICB = EBI – EAB = EBI – EBA = ABI
BI là phân giác góc ABC (4)
Từ (1) và (4) suy ra I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. ĐPCM.𝑙𝑒 cân tại E XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX