Đề luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyấn năm học: 2013 - 2014 môn: Toán (chuyên toán)

đề luyện thi TUYỂN SINH vào LỚP 10 THPT CHUYấN
Năm học : 2013 - 2014
Mụn: TOÁN (Chuyờn Toỏn)
Thời gian làm bài: 150 phỳt (Khụng tớnh thời gian giao đề)
Cõu 1. (2,0 điểm)
 Cho biểu thức .
 Tính giá trị của biểu thức Q = 
Cõu 2. (2,0 điểm)
 Giải phương trình : 
Cõu 3. (2,0 điểm)
 Giải hệ phương trình : 
Cõu 4. (1,0 điểm)
 Tìm tất cả các số nguyên dương a thoả mãn đẳng thức sau :
Cõu 5. (2,0 điểm)
 Cho tam giỏc nhọn ABC nội tiếp đường trũn (O), cú AB < AC. Hạ cỏc đường cao BE và CF và AQ chúng cắt nhau tại H , M là giao điểm của EF và AH. Vẽ đường kớnh AK cắt cạnh BC tại N. Gọi S , R , T lần lượt là hình chiếu của H trên các cạnh EF , FQ , QE . Gọi I , P theo thứ tự là hình chiếu của M và H trên cạnh AK.
Chứng minh tỉ số : 
Chứng minh đẳng thức : MI.AH2 = HP.AM2
Cõu 6. (1,0 điểm)
	Cho với mọi x và a,b,c nguyên dương ( b khác 1).
Chứng minh rằng : 
---------------- hết -------------------
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm về đề thi!
Họ và tên thí sinh :Số báo danh :
Hướng dẫn giải tóm tắt
đề luyện thi TUYỂN SINH vào LỚP 10 THPT CHUYấN
Cõu 1. (2,0 điểm)
 Cho biểu thức .
 Tính giá trị của biểu thức Q = (a)
Ta có : 
=> (b)
Vậy từ (a) và (b) => Q = 1
Cõu 2. (2,0 điểm)
 Giải phương trình : 
Không mất tính tổng quát : Đặt a = > 0 và b = > 0
Khi đó phương trình ban đầu trở thành : 
 (I)
Mặt khác theo BĐT bunnhia ta có : (*) , dấu ‘ = ‘ xảy ra khi (1)
Lại theo BĐT côsi ta có : (**)
, dấu ‘=’ xảy ra khi (2)
Vậy từ (*) và (**) => (II)
Vậy so sánh (I) và (II) xảy ra khi dấu ‘=’ ở (*) và (**) xảy ra => có (1) và (2) => 
4a2 = a2 mà a > 0 => 4 = 1 ( vô lí ) => không có đẳng thức ( I ) => Phương trình ban đầu bài không xảy ra => Phương trình vô nghiệm.
Cõu 3. (2,0 điểm)
 Giải hệ phương trình : 
Xét phương trình : (*)
áp dụng BĐT bunnhia hai lần ta có : (1) ,(dấu’=’ xảy ra =khi x =3y)
=> 
=> (**)
Vậy từ (*) và (**) => dấu ‘=’ xảy ra khi x =3y , do đó đặt x =3y vào phương trình :
KL : (x; y) = (1 ; 1/3)
Cõu 4. (1,0 điểm)
 Tìm tất cả các số nguyên dương a thoả mãn đẳng thức sau :
Không mất tính tổng quát : 
Đặt x = a >0 và y = >0và z = a2 +1 >0 và t =1>0
Khi đó phương trình trở thành : 
 (*) 
Mặt khác ta cũng có : (**) với mọi x,y,z,t >0
(luôn đúng với mọi x,y,z,t > 0)
Vậy từ (*) và (**) xảy ra khi yz = xt 
()(a2 + 1) = a (***) ( vì a2 + 1 > 0)
Mà lại có : ( vì ) , dấu ‘=’ xảy ra khi a =1 (****)
và ( theo côsi) ,dấu’=’ xảy ra khi a =1 (*****)
Vậy từ (***) và (****) và (*****) => a = 1 là giá trị nguyên dương duy nhất cần tìm của bài toán.
Cõu 5. (2,0 điểm)
 Cho tam giỏc nhọn ABC nội tiếp đường trũn (O), cú AB < AC. Hạ cỏc đường cao BE và CF và AQ chúng cắt nhau tại H , M là giao điểm của EF và AH. Vẽ đường kớnh AK cắt cạnh BC tại N. Gọi S , R , T lần lượt là hình chiếu của H trên các cạnh EF , FQ , QE . Gọi I , P theo thứ tự là hình chiếu của M và H trên cạnh AK.
Chứng minh tỉ số : 
 b) Chứng minh đẳng thức : MI.AH2 = HP.AM2
Tự vẽ hình . ( Gợi ý cách làm)
Chứng Minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác EFQ mà S , R , T lần lượt là hình chiếu của H trên các cạnh EF , FQ , QE => HS = HR = HT bằng bán kính đường tròn nội tiêp tam giác EFQ.
=>ĐPCM
b) 
Bước 1: Chứng minh tam giác AMF đồng dạng với tam giác ANC
 => AF/AC = AM/AN (1)
Bước 2 : Chứng minh tam giác AHF đồng dạng với tam giác AKC
=>AF/AC = AH/AK (2)
Vậy từ (1) và (2) => AM/AN = AH / AK mà góc HAK chung => tam giác AMN đồng dạng với tam giác AHK => => ĐPCM
Cõu 6. (1,0 điểm)
	Cho với mọi x và a,b,c nguyên dương ( b khác 1).
Chứng minh rằng : 
Ta có : với mọi x
f(-2) > 0 => 4a – 2b+ c > 0 => 4a + c > 2b (*)
Ta có : với mọi x
f(-1) > 0 => a – b+ c > 0 => a + c > b (**)
Vậy từ (*) và (**) => 5a + 2c > 3b => ( vì b > 0)
=> (***) 
Mặt khác lại có : 
 với mọi x => b2 0) => 4ac > b2 
 ( theo BĐT côsi) , mà 0 < b khác 1
 => (****) 
Vậy từ (***) và (****) => 
ú => ĐPCM
Tặng các em thi chuyên , Chúc các em đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới !