Đề luyện thi vào chuyên toán 2013 - 2014 môn: Toán học (chuyên toán)

Bài toán khó nhất tháng 6/2013
đề luyện thi vào chuyên toán 2013-2014
Môn : Toán (chuyên toán)
Thời gian làm bài : 150 phút (không tính thời gian phát đề)
( Đề này chỉ có 01 bài trong 01 trang )
Đề bài 1
Tìm nghiệm dương của phương trình sau :
+ 
-------------------Hết -------------------
Cán bộ coi thi không phải giải thích thêm gì về đề thi!
Họ và tên thí sinh :...........................................................Số báo danh :.......................................
Hướng dẫn giải 
Tìm nghiệm dương của phương trình sau :
+ 
Trước khi giải bài trên ta đi giải đề thi gồm 05 câu sau :
đề bài 2
Câu 1 
Cho hai số i , j > 0 . Chứng minh rằng : i2 + j2 2ij , dấu “ = “ xảy ra khi nào ?
Câu 2
Cho ba số a,b,c sao cho a + b + c = 0 . Chứng minh rằng : 3abc = a3 + b3 + c3
Câu 3
Chứng minh rằng : p4 + q4 , dấu “ = “ xảy ra khi nào?
Câu 4 
Cho hai số m , n dương . Chứng minh rằng : , dấu “ = “ xảy ra khi nào?
Câu 5
Cho hai số , Chứng minh rằng: , dấu “ = “ xảy ra khi nào ?
-------------------Hết -------------------
Cán bộ coi thi không phải giải thích thêm gì về đề thi!
Họ và tên thí sinh :...........................................................Số báo danh :.......................................
Lời giải đề thi 2 dành cho bạn đọc , Bây giờ ta đi vào giải đề thi 1 :
Thật vậy : Vì đề bài yêu cầu tìm nghiệm dương nên ta có : x > 0 => ĐK của Bài toán là: x > 1
Ta có : 
+ 
ú 
+ = 
ú 
+ = 
Đến đây để cho đơn giản phương trình , không mất tính tổng quát đặt : ( vì tìm nghiệm dương của phương trình) , khi đó phương trình trở thành : 
3abc - c3 + (a2 - b2 )2 + (*) 
với a, b > 0
Mặt khác : Theo câu 2 đề thi 2 ta có : a + b + c = 0 => 3abc = a3 + b3 + c3 
3abc - c3 = a3 + b3 = đặt vào (*) ta được : 
 + (a2 - b2 )2 + (**) 
với a, b > 0
mà theo câu 5 đề 2 ta có : Cho hai số => 
=> ( BĐT bun-nhi-a-cốp-ski)
Nên áp dụng vào bài toán ta có : 
 (1) , dấu ‘=’ xảy ra khi a2 = b2
Lại theo Câu 4 đề 2 Ta có : 
Cho hai số m , n dương => , nên áp dụng vào bài toán ta có: 
 (2) , dấu ‘=’ xảy ra khi a2 = b2 
Lại theo câu 3 đề 2 ta có : p4 + q4 , nên áp dụng vào bài toán ta có: 
(a2 - b2 )2 (3) , dấu ‘=’ xay ra khi a2 = b2
Lại theo câu 1 đề 2 ta có : Cho hai số i , j > 0 => i2 + j2 , nên áp dụng vào bài toán ta được : 
 (4) , dấu ‘=’ xảy ra khi a2 = b2 
Vậy từ ( 1) (2) (3) (4) ta có : 
 + (a2 - b2 )2 + (***) 
Vậy so sánh (**) và (***) => a2 = b2 
=> ( vì x > 0)
=> x = 2013 (là nghiệm duy nhất thoả mãn yêu cầu bài toán) 
Tặng các em thi chuyên , chúc các em đạt kết quả cao trong kì thi này!