Đề ôn luyện học sinh giỏi cấp tỉnh toán 12 năm học 2013 – 2014 (thời gian : 180 phút – không kể thời gian phát đề)

TRƯỜNG THCS VÀ THPT VIỆT TRUNG
ĐỀ SỐ 1
ĐỀ ÔN LUYỆN HSG CẤP TỈNH TOÁN 12
NĂM HỌC 2013 – 2014
(Thời gian : 180 phút – không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (3,0điểm )
	Cho hàm số (1) . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của đồ thị hàm số (1).Viết phương trình đường thẳng (∆) vuông góc với đường thẳng y = -x và cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A và B sao cho tam giác IAB có diện tích bằng 2.
Bài 2:(2,5 điểm )
	Giải phương trình 
Bài 3:(2,5 điểm )
	Tính tích phân 
Bài 4: ( 3,0 điểm )
	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(3;2) , trực tâm H(1;0) và gốc tọa độ O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Tìm tọa độ các đỉnh B ,C.
Bài 5: ( 3,0 điểm )
	Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x2 + y2 + z2 - ( x + y + z) .
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 
Bài 6 : ( 3,0 điểm )
	Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài cạnh bằng a và điểm M thuộc cạnh CC' sao cho CM = .Mặt phẳng () qua A,M và song song BD chia khối lập phương thành hai khối đa diện . Tính thể tích hai khối đa diện đó .
Bài 7 : ( 3,0 điểm )
	Giải hệ phương trình 
HẾT
Bài 1: +(): y = x + m
 + Phương trình hoành độ giao điểm : x2+(m-2)x-m-1 = 0
 + AB =|x1 - x2| = và d(I;()) =
 + SIAB = 2= m = ±2 , có 2 đường thẳng :y = x -2 và y = m + 2
Bài 2:x =
Bài 3:I == ln2
Bài 4: + Viết phương trình AH cắt Đường tròn (O) tại H' = (O)AH. H và H' đối xứng qua BC , Tìm được M là trung điểm HH'. Viết đường thẳng BC qua M và vuông góc AH . B,C là giao điểm của BC và đường tròn (O)( tâm O , BK: OA).
Bài 5 :+ (x + y + z )2 3()(1)
+ (2) Từ (1) và (2) x + y + z 4
+P = .Do đó : P = 9/7 khi x = y = z =4/3
Bài 6: + Ta có : VAB1MD1BCD = 2VA.MCBB1 
 = 
Do đó : VAB1MD1A'B'C'D' = 
Bài 7:+ĐK : x + y > 0., a = x + y và b = xy , a > 0 và a2 4b
 Ta có : a = 1
x + y = 1y = 1- x vào (2) ,ta có := 0
Û = 
+ Xét hàm số f(t) = ttrên R. mà : f'(t) = + > 0 với mọi t
f(t) đồng biến trên R , mà : f(-3x) = f(1+2x) x = -1/5 và y = 6/5
+ Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( -1/5;6/5)
TRƯỜNG THCS VÀ THPT VIỆT TRUNG
ĐỀ SỐ 2
ĐỀ ÔN LUYỆN HSG CẤP TỈNH TOÁN 12
NĂM HỌC 2013 – 2014
(Thời gian : 180 phút – không kể thời gian phát đề)
Câu I (4,0 điểm). 
 Cho hàm số có đồ thị (Cm).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên với m = 1.
Tìm m để đường thẳng d: y = - 2 cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; -2), B và C sao cho diện tích tam giác OBC bằng .
Câu II (4,0 điểm).
 1. Giải phương trình: . 
 2. Giải hệ phương trình: ().
 Câu III (4,0 điểm).
 1. Cho 6 số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 1 và m + n + p = 5. 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T = a.m + b.n + c.p + m.n + n.p + p.m.
 2. Giải phương trình . 
Câu IV (4,0 điểm).
Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của ,
 biết: .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 3x – 4y + 25 = 0
 và đường thẳng (d'): 15x + 8y – 41 = 0. Gọi I là giao điểm của (d) và (d'). 
 Viết phương trình đường thẳng đi qua I và tạo với trục hoành một góc 
 bằng 60o.
Câu V (4,0 điểm).
Đáy ABCD của hình chóp S.ABCD là hình thoi với cạnh AB = a, 
 góc . Các cạnh bên SA = SC, SB = SD = a.
	a/ Tính thể tích của khối chóp đã cho.
	b/ Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính giá trị .
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;1;1), B(2;0;6), C(3;2;0) , D(7;4;2). Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và cách đều C, D.
 ..HẾT.
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
	HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
 Câu
Ý
Nội dung
Điểm
I
(4,0 điểm)
1
Khảo sát....
(2,0 điểm)
Khi m = 1
TXĐ: D = R
, 
0,50
BBT:
 x - 1 3 +
 y/ + 0 - 0 +
 2 +
 y
 - -2
0,50
Hàm số đồng biến: (-; 1),(3;+ )
Hàm số nghịch biến: (1;3) 
fCĐ = f(1) = 2
 fCT = f(3) = -2
Khi y’’ =6x-12=0 =>y=0
Khi x=0=>y=-2
 x= 4=>y=2
Đồ thị hàm số nhận I(2;0) là tâm đối xứng 
0,50
0,50
2
Tìm m để đường thẳng d: y= - 2 cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0;-2), B và C sao cho diện tích tam giác OBC bằng .
(2,0 điểm)
Phương trình hoành độ giao điểm là:
(1)
0,50
Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt A(0;-2), B và C vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ta có điều kiện:
Gọi tọa độ điểm B(xB; -2), C(xC; -2) Đk: xBxC (xB; xC là hai nghiệm của phương trình (2)).
Gọi h là khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng d: y + 2 = 0 => h = 2
Theo bài ra ta có 
Theo định lý viét ta có: (4)
Thay (4) vào (3) ta được: (tm)
0,50 
0,50
0,50
II
(4,0 điểm)
1
Giải phương trình: . 
(2,0 điểm)
Phương trình 
0,50
0,50
 là nghiệm.
0,50
0,50
2
Giải hệ phương trình: ().
(2,0 điểm)
ĐK: x ³ 0; y ³ 0
0,50
Hệ phương trình tương đương với: 
0,75
Û 
0,50
Từ đó, hệ có nghiệm duy nhất: 
0,25
III
()
1
Cho 6 số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 1 và m + n + p = 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T = a.m + b.n + c.p + m.n + n.p + p.m.
(2,0 điểm)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
Þ .
0,50
Đặt: m.n + n.p + p.m = t.
Ta có: hay 
Và: m2 + n2 + p2 = (m + n + p)2 – 2(m.n + n.p + p.m) = 25 – 2t.
0,50
Vậy .
Ta có:	 Þ f(t) tăng trên 
Þ .
Đẳng thức xảy ra khi: 
0,50
Vậy: đạt được khi và .
0,50
2
Giải phương trình 
(2,0 điểm)
Điều kiện: 
0,50
0,50
+ Với ta có phương trình 
0,50
+ Với ta có phương trình 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là hoặc 
0,50
IV
(4,0)
1
Tìm hệ số của trong khai triển nhị thức Niutơn của , biết: .
(2,0 điểm)
Khi đó: 
Số hạng chứa là .
Hệ số của là .
2
 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): 3x – 4y + 25 = 0 và đường thẳng (d'): 15x + 8y – 41 = 0. Gọi I là giao điểm của (d) và (d'). Viết phương trình đường thẳng đi qua I và tạo với trục hoành một góc bằng 60o.	
(2,0 điểm)
 Toạ độ điểm I là nghiệm của hệ .
0,50
Gọi D là đường thẳng cần tìm, (A2 + B2 > 0) là véc-tơ pháp tuyến của D.
Khi đó, do Ox có véc-tơ pháp tuyến nên từ giả thiết bài toán ta có: Û A2 + B2 = 4B2 Û A2 = 3B2.
0,50
Do A2 + B2 > 0 nên chọn A = 3 Þ .
0,25
Với A = 3, Þ Phương trình D: Û
	Û .
Với A = 3, Þ Phương trình D: Û
	Û .
Vậy, có hai đường thẳng thỏa mãn bài toán:
	D1: , D2: .
0,25
0.50
V
1
Đáy ABCD của hình chóp S.ABCD là hình thoi với cạnh AB = a, góc . Các cạnh bên SA = SC, SB = SD = a.
	a/ Tính thể tích của khối chóp đã cho.
	b/ Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Tính giá trị .
(2,0 điểm)
 Từ giả thiết suy ra DSAC cân, DSBD đều cạnh bằng a.
Gọi H = AC Ç BD Þ SH là đường cao của hình chóp S.ABCD.
Ta có: .
Do đó: (đvtt).
DMBD cân tại M, MH là đường phân giác của góc .
Đặt .
Trong DSAC, MH là đường trung bình Þ .
 Þ DSHA vuông cân tại H Þ .
0.50
Trong DBMH ta có .
Từ đó: .
Vậy: .
0.50
2
 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho bốn điểm A(1;1;1); B(2;0;6); C(3;2;0) ; D(7;4;2). Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và cách đều C, D.
(2,0 điểm)
+ Nếu C, D nằm cùng phía với (P) thì C ,D cách đều (P) khi CD//(P)
là 1 vtpt của (P)
0,50
Pt (P) là 
0,50
+ Nếu C,D nằm khác phía với (P) thì C ,D cách đều (P) khi (P) đi qua trung 
điểm M(5;3;1) cuả CD
là 1 vtpt của (P)
0,50
PT(P) là 
Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
2x – 3y – z + 2 = 0 và 5x – 10y - 3z + 8 = 0.
0,50
---------------- Hết ----------------
TRƯỜNG THCS VÀ THPT VIỆT TRUNG
ĐỀ SỐ 3
ĐỀ ÔN LUYỆN HSG CẤP TỈNH TOÁN 12
NĂM HỌC 2013 – 2014
(Thời gian : 180 phút – không kể thời gian phát đề)
Câu I:Cho hàm số: 	(1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
Viết phương trình tiếp tuyến của , biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại sao cho , với .
Câu II:
Giải hệ phương trình: 
Giải phương trình: 
Câu III:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hình chữ nhật có , điểm thuộc vào đường thẳng có phương trình: . Đường thẳng đi qua và trung điểm của đoạn có phương trình: . Tìm tọa độ của và , biết điểm có hoành độ dương.
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi lần lượt là các điểm di động trên cung nhỏ , sao cho thẳng hàng. Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các đường thẳng tương ứng và lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các đường thẳng . Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác (theo ).
Câu IV: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, tam giác đều cạnh và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy bằng .
Tính thể tích khối chóp theo .
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .
Câu V: Cho là ba số dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Câu VI: Cho dãy số được xác định: .
 Xét dãy số . Tìm . 
------------------HẾT------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. 
Giám thị không giải thích gì thêm.
	HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI 
Câu
Ý
Lời giải
Điểm
I
1
Cho hàm số: . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2,0
TXĐ: 
0,25
 Þ phương trình đường TCN: y = 2
 Þ phương trình đường TCĐ: x = 2
0,5
Þ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
 Hàm số không có cực trị.
0,5
Bảng biến thiên: 
0,25
Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2)
Giao điểm với trục hoành: B(3/2;0)
0,25
Đồ thị:
0,25
2
Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho , với I(2;2).
2,0
Gọi 
PTTT của (C) tại M: 
0,5
Do và tam giác AIB vuông tại I Þ IA = IB nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 1 hoặc k = -1. vì nên ta có hệ số góc tiếp tuyến k = -1.
0,5
0,5
Þ có hai phương trình tiếp tuyến:
 ; 
0,5
II
1
Giải hệ phương trình: 
2,5
Đk: 
0,5
 Pt(2) 
1,0
Pt(1) 
1,25
Hệ đã cho tương đương: 
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: 
0,75
2
Giải phương trình: 
2,5
Đk: (*)
0,5
Pt tương đương: 
0,75
0,75
Nghiệm thỏa mãn (*)
Phương trình có 2 họ nghiệm: 
0,5
III
1
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ , cho hình chữ nhật có , điểm thuộc vào đường thẳng có phương trình: . Đường thẳng đi qua và trung điểm của đoạn có phương trình: . Tìm tọa độ của và , biết điểm có hoành độ dương.
2,0
Gọi , M là trung điểm AB, I là giao điểm của AC và d2: 3x – 4y – 23 = 0.
Ta có đồng dạng 
0,5
Mà nên ta có: 
Vậy C(1;5).
0,5
Ta có: 
0,5
Do 
0,5
2
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn . Gọi lần lượt là các điểm di động trên cung nhỏ , sao cho thẳng hàng. Gọi , lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các đường thẳng tương ứng và lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên các đường thẳng . Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác (theo ).
2,0
Chứng minh góc 
Kẻ KH vuông góc với BC (H thuộc BC), ta có:
 (tứ giác PEBD nội tiếp)
Suy ra: 
Tương tự, ta chứng minh được: 
Vậy (do PQ là đường kính)
0,5
Chứng minh :
Thật vậy, xét hình thang vuông vuông tại D và D’ nên , dấu “=” xảy ra khi 
0,5
Xét tam giác . Ta có: 
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác bằng khi 
1,0
IV
1
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, tam giác đều cạnh và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng đáy bằng .
Tính thể tích khối chóp theo .
1,5
H, M lần lượt là trung điểm của AB và CD
Ta có: 
0,5
Góc giữa (SCD) và mặt đáy là 
0,25
Ta có 
0,25
0,5
2
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và theo .
1,5
Kẻ đường thẳng d đi qua A và d//BD. Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường thẳng D đi qua H , D ^ d và D cắt d tại J, D cắt BD tại I. trong (SHI) kẻ HK vuông góc với SI tại K.
Khi đó: 
0,5
Ta có đồng dạng 
0,5
Xét vuông tại H, ta có: 
Vậy 
0,5
V
Cho là ba số duơng. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2,0
0,75
0,75
Vậy 
 = với 
0,75
f’(t)
f(t)
t
1
+¥
4 
0
+
-
1/4
0
0 
Vậy giá trị lớn nhất của khi 
0,75
VI
Cho dãy số đuợc xác định: .
 Xét dãy số . Tìm . 
2,0
Ta có .
Khi đó: 
Đặt . Khi đó ta có dãy mới được xác định bởi:
0,25
Chứng minh là dãy tăng:
Xét hiệu: 
Do nên suy ra dãy là dãy tăng.
0,25
Chứng minh (xn) không bị chặn hay :
Giả sử (xn) bị chặn, do dãy tăng và bị chặn nên tồn tại giới hạn hữu hạn.
Giả sử dãy (xn) có giới hạn hữu hạn, đặt .
Từ công thức truy hồi 
Lấy giới hạn hai vế, ta được: (không thỏa mãn)
Do đó dãy đã cho không có giới hạn hữu hạn.
0,5
Ta có: 
Mà: 
0,5
Do đó, ta có: 
Mà nên 
0,5