Đề ôn tập học kì I môn Toán– khối 11

ĐỀ ƠN TẬP HỌC KÌ I MƠN TỐN– Khối 11 
Năm học :2010-2011
------------—¯–------------
A. ĐẠI SỐ:
I - LƯỢNG GIÁC:
Dạng 1 : Phương trình lượng giác cơ bản.
sinu=sinv
sinx = 0 x = ksinx = 1 x = sinx = -1 x =-
cosu=cosv (k cosx = -1 x = (2k+1)
cosx = 0 x =cosx = 1 x = k2
tanu=tanv (k
tanx = 0 x = k tanx = -1 x = -
tanx = 1 x = 
cotu=cotv (k
 cotx = 0 x = k cotx = -1 x = -cotx = 1 x = 
Ví dụ:Giải các phương trình sau: 
a. 
b. Phương trình cĩ các nghiệm là: 
c.
d. Ta cĩ: sin2x = -1 .Phương trình cĩ nghiệm là:
Bài 1) Giải các phương trình lượng giác sau:
a) 	b) 
c) d) cos3x - sin4x = 0	
e) f) sinx(3sinx +4) = 0 
Bài 2) Giải các phương trình sau:
a) 	 b) 	
c) tan3x.tanx = 1	 d) cot2x.cot
e) 	g) 
Bài 3) Giải các phương trình sau trên tập đã chỉ ra:
a) 	b) 	
c) tan3x - 2tan4x + tan5x = 0 , x Ỵ(0; 2p) d) 
Dạng 2 : Phương trình bậc nhất, bậc hai.
At+b=0,t là các hàm số sinx,cosx,tanx,cotx
Cách giải :đưa về Phương trình lượng giác cơ bản
Asin2x+bsinx+c=0 ,đặt t=sinx,
Tương tự đối với cosx,tanx,cotx
Ví dụ : Giải các phương trình sau:
(phương trình vơ nghiệm vì )
Bài tập:
Bài 1. 	Giải các phương trình sau:
a) 2cosx - = 0	 b) tanx – 3 = 0 
c) 3cot2x + = 0 d) sin3x – 1 = 0
Bài 2. Giải các phương trình sau:
	a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0	 b) cos2x + sinx + 1 = 0	
c) 2cos2x + cosx – 2 = 0 	 d) cos2x – 5sinx + 6 = 0	
e) cos2x + 3cosx + 4 = 0 	 f) 4cos2x - 4cosx + 3 = 0
 Bài 3. Giải các phương trình:
2sin2x - cos2x - 4sinx + 2 = 0	b) 9cos2x - 5sin2x - 5cosx + 4 = 0
c) 5sinx(sinx - 1) - cos2x = 3	 d) cos2x + sin2x + 2cosx + 1 = 0
Dạng 3 : Phương trình bậc nhất theo sinx, cosx.
Phương trình dạng asinx+bcosx = c
ÛÛ sin(x+a) =
( với cosa=,sina=)
Ví dụ: Giải các phương trình sau: 	
Với 
Với 
Bài tập:
Giải các phương trình lượng giác sau :
 a. b. 
 c. d. 
 e. f. 
Dạng 4 : Phương trình đẳng cấp 
 Cách giải  
Xét cosx = 0 cĩ thỏa mãn phương trình hay khơng.
Xét cosx 0, chia 2 vế cho cos2x để được phương trình bậc 2 theo tanx.
Ví dụ: Giải phương trình:
Khi cosx = 0 thì nên dễ thấy các giá trị của x mà cosx = 0 khơng phải là nghiệm của (3)
Vậy chia hai vế của (3) cho cos2x , ta được phương trình tương đương
Bài tập:
	Giải các phương trình lượng giác sau :
a. 	 b. 
c. 	 d. 	
e. 2sin2x + 3sinx.cosx - 3cos2x = 1	 f. 	
II – TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT:
1/ Số các hốn vị 
2/Số chỉnh hợp chập k của n phần tử : = 
3/Số tổ hợp chập k của n phần tử := 
*Chú ý
4/CƠNG THỨC NHỊ THỨC NIUTƠN: 
5/Xác suất 
Ví dụ:
Bài 1. Trong một lớp cĩ 18 bạn nam, 12 bạn nữ. 
Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn một bạn phụ trách quỹ lớp?
Giaỉ: Số cách chọn 1 bạn nam là: 18 cách; Số cách chọn 1 bạn nữ là: 12 cách.
Theo quy tắc cộng, ta cĩ: 18 + 12 = 30 cách chọn một bạn phụ trách quỹ lớp (hoặc nam hoặc nữ)
Bài2. Nam đến cửa hàng văn phịng phẩm để mua quà tặng bạn. Trong cửa hàng cĩ ba mặt hàng: bút, vở và thước, trong đĩ cĩ 5 loại bút, 4 loại vở và 3 loại thước. Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn một mĩn quà gồm một bút, một vở, 1 thước.’
Giaỉ: Số cách chọn bút: 5 cách;Số cách chọn vở: 4 cách;Số cách chọn thước: 3 cách
Theo quy tắc nhân, cĩ: 5.4.3 = 60 cách chọn.
Bài 4. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn cĩ ba chữ số khác nhau?
Giaỉ:Gọi số tự nhiên cĩ ba chữ số là: ;Vì chẵn nên c Ỵ {0, 2, 4, 6}
Trường hợp c = 0:Cĩ 1 cách chọn c;Cĩ 6 cách chọn a;Cĩ 5 cách chọn b;
Theo quy tắc nhân, cĩ: 6.5.1 = 30 số.
Trường hợp c ¹ 0:Cĩ 3 cách chọn c;Cĩ 5 cách chọn a;Cĩ 5 cách chọn b
Theo quy tắc nhân, cĩ: 3.5.5 = 75 số
Vậy theo quy tắc cộng cĩ: 30 + 75 = 105 số chẵn cĩ ba chữ số khác nhau.
Bài 5. Cĩ một cặp vợ chơng đi dự tiệc. Tính số cách chọn một người đàn ơng và một người đàn bà trong bữa tiệc để phát biểu ý kiến sao cho:
a. Hai người đĩ là vợ chồng.
b. Hai người đĩ khơng là vọ chồng.
Giaỉ:a. Cĩ 10 cách chọn người đàn ơng.
Ứng với mỗi cách chọn người đàn ơng chỉ cĩ một cách chọn người đàn bà (là vợ người đàn ơng đĩ)
Vậy theo quy tắc nhân cĩ:10.1 = 10 cách chọn
b.Cĩ 10 cách chọn người đàn ơng.
Ứng với mỗi cách chọn người đàn ơng chỉ cĩ 9 cách chọn người đàn bà (trừ vợ người đàn ơng đã chọn)
Vậy theo quy tắc nhân cĩ: 10.9 = 90 cách chọn.
Bài 6. Một tổ học sinh gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Giáo viên chọn 4 học sinh để đi trực thư viện. Cĩ bao nhiêu cách chọn nếu:
a. Chọn học sinh nào cũng được?
b. Trong 4 học sinh được chọn, cĩ đúng một học sinh nữ được chọn?
c. Trong 4 học sinh được chọn, cĩ ít nhất một học sinh nữ được chọn?
Gỉai: a. Mỗi cách chọn tùy ý 4 học sinh trong số 12 học sinh là một tổ hợp chập 4 của 12 học sinh:
Vậy ta cĩ: (cách chọn)
b. Vì chọn đúng 1 học sinh nữ nên cần phải chọn thêm 3 học sinh nam.
Số cách chọn học sinh nữ là: ;Số cách chọn học sinh nam là: 
Vậy cĩ: (cách chọn)
c. Trường hợp 1: (1 nữ + 3 nam) cĩ 252 cách chọn.
Trường hợp 2: (2 nữ + 2 nam) Số cách chọn nữ: ;Số cách chọn nam: 
Vậy cĩ: (cách chọn)
Trường hợp 3: (3 nữ + 1 nam) Số cách chọn nữ:;Số cách chọn nam: 
Vây cĩ: 
Vậy số cách chọn 4 học sinh trong đĩ cĩ ít nhất 1 học sinh nữ là: 252 + 108 + 9 = 369 (cách chọn)
Bài 7. Với các số 0, 1, 3, 6, 9 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:
a. Cĩ 4 chữ số khác nhau.
b. Số lẻ với 4 chữ số khác nhau.
c. Số chẵn cĩ 4 chữ số khác nhau.
d. Cĩ 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
Giaỉ:a. Cĩ số cĩ 4 chữ số khác nhau từ tập các chữ số {0, 1, 3, 6, 9} (cĩ thể bắt đầu với chữ số );Cĩ số cĩ 4 chữ số bắt đầu bởi số 0;Vậy cĩ 120 – 24 = 96 số cĩ 4 chữ số khác nhau.
b. Gọi số cĩ 4 chữ số là . Vì là số lẻ nên:Chữ số d cĩ 3 cách chọn (1, 3, 9)
Chữ số a cĩ 3 cách chọn;Chữ số b cĩ 3 cách chọn’Chữ số c cĩ 2 cách chọn.
Vậy cĩ 3 . 3 . 3 . 2 = 54 số lẻ; c. Cĩ 96 – 54 = 42 số chẵn.
d. Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nĩ chia hết cho 3.
Trong tập hợp {0, 1, 3, 6, 9} cĩ duy nhất 1 số khơng chia hết cho 3. 
Vậy số đo chia hết cho 3 khi và chỉ khi các chữ số của nĩ thuộc tập {0, 3, 6, 9}.
Cĩ 4! số cĩ 4 chữ số khác nhau từ {0, 3, 6, 9} (cĩ thể bắt đầu với chữ số 0)
Cĩ 3! số cĩ 4 chữ số khác nhau từ {0, 3, 6, 9} bắt đầu với chữ số 0.
Vậy kết quả là: 4! – 3! = 24 – 6 = 18 số
Bài 8. Cĩ bao nhiêu cách xếp chỗ cho 6 người khách ngồi quanh một bàn trịn? (Hai cách xếp được xem là như nhau nếu cách này nhận được từ cách kia bằng cách xoay bàn đi một gĩc nào đĩ).
Giaỉ: Cĩ 5! = 120 cách
Cĩ (n – 1)! Cách xếp n (n ³ 2) người quanh một bàn trịn. Để xếp n + 1 người quanh bàn trịn ta xếp n người đầu tiên rồi xếp người cuối cùng vào 1 trong n khoảng trống giữa n người.
Vậy cĩ (n – 1)!n = n! cách xếp n + 1 người ngồi quanh một bàn trịn.
Bài 9. Viết 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x của các đa thức sau:
 Giaỉ:
Bài 10. Tìm:a. Số hạng thứ 8 trong khai triển của 
 b. Số hạng thứ 6 trong khai triển của Giaỉ:
Bài 11.Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Tìm xác suất để thẻ được lấy ghi số:
a. Chẵn; b. Chia hết cho 3. c. Lẻ và chia hết cho 3.
Giaỉ: Khơng gian mẫu W = {1, 2, , 20}
Kí hiệu A, B, C là các biến cố tương ứng với các câu a, b, c. Ta cĩ:
a. A = {2, 4, 6, , 20}, n(A) = 10, n(W) = 20 
b. B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}, n(B) = 6
c. C = {3, 9, 15), n(C) = 3 
Bài tập
Dạng 1: Nhị thức Niu tơn - Xác định hệ số, số hạng.
Bài 01: Tính hệ số của trong khia triển 
Bài 02: Tìm số hạng khơng chứa x khi khai triển 
Bài 03: Biết hệ số x2 trong khai triển của biểu thức là 90 .Tìm n .
Bài 04: Tìm hệ số của số hạng thứ sáu của khai triển biểu thức M = (a+b)n nếu biết hệ số của 
 số hạng thứ ba trong khai triển bằng 45. 
Bài 05: Trong khai triển hệ số của các số hạng thứ tư và thứ mười ba bằng nhau Tìm số hạng khơng chứa x .
Dạng 2: Đếm – chọn
Bài 01:Cho tập A cĩ 20 phần tử.
a)Cĩ bao nhiêu tập hợp con của A.
b)Cĩ bao nhiêu tập hợp con khác của A mà các phần tử là số chẵn?
Bài 01:Cho các chữ số 1,2,3,4,5,6.Cĩ thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau chọn từ 6 chữ số trên
cĩ bao nhiêu số chẵn 
Cĩ bao nhiêu số lẻ
Bài 02:Từ tập thể gồm 14 người,cĩ 6 nam và 8 nữ,người ta muốn chọn một tổ cơng tác gồm 6 người.Hỏi 
 a)Cĩ bao nhiêu cách chọn
 b) Cĩ bao nhiêu cách chọn,cĩ 4 nam ,2 nử
Bài 03: Cho tâp hợp A = .
a)Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lấy từ tập A ?
b)Cĩ bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100 ?
Bài 04:Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 thiết lập tất cả các số cĩ 6 chữ số khác nhau.Hỏi trong các số đã thiết lập được,cĩ bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 khơng đứng cạnh nhau.
Bài 05:Một lớp học cĩ 10 học sinh nam và 120 học sinh nữ.Cần chọn ra 5 người trong lớp để đi làm cơng tác phong trào.Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 người đĩ phải cĩ ít nhất :
a)02 học sinh nam và 02 học sinh nữ.	b)01 học sinh nam và 01 học sinh nữ.
Dạng 3: Tính xác suất của biến cố. 
1/ Năm đoạn thẳng cĩ độ dài 1cm, 3cm, 5cm, 7cm, 9cm. Lấy ngẫu nhiễn 3 đoạn thẳng trong 5 đoạn thẳng trện Tìm xác suất để 3 đoạn thẳng lấy ra lập thành 1 tam giác
2/ Cĩ một bài kiểm tra trắc nghiệm 8 câu với lựa chọn A,B,C,D (mỗi câu chọn một đáp án).Một bạn học sinh trả lời đại các đáp án.Tính xác suất của bạn đĩ cĩ thể chọn ra được chỉ 4 câu đúng
3/ Rút 4 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ gồm 52 con. Xác suất để rút được 3 quân át 
4/ Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần. Xác suất để ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 3 chấm 
5/ Một hộp đựng 12 bĩng đèn trong đĩ cĩ 8 bĩng tốt . Lấy ngẫu nhiên 3 bĩng . Tính xác suất để lấy được : 
 a/ Một bĩng hỏng 	b/ ít nhất một bĩng hỏng
6/ Gieo đồng thời hai con xúc sắc cân đối, đồng chất. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc là 7
7/ Một khách sạn cĩ 6 phịng đơn. Cĩ 10 khách đến thuê phịng, trong đĩ cĩ 6 nam và 4 nữ. Người quản lí chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính xác suất để :
a) Cả 6 người đều là nam.	 b) Cĩ 4 nam và 2 nữ.	c) Cĩ ít nhất hai nữ.
III – DÃY SỐ VÀ CẤP SỐ: 
DÃY SỐ-CSC-CSN
I/CẤP SỐ CỘNG (un)là cấp số cộng u = u + d
 Số hạng tổng quát +(n-1)d
Tổng n số hạng đầu 
II/CẤP SỐ NHÂN 1/là cấp số nhân 
2. Số hạng tổng quát 
3/ Tổng n số hạng đầu 
Dạng 1: Chứng minh quy nạp. 
1. CMR:	2. CMR: 
3. CMR: 	4. CMR : 
Dạng 2: Cấp số cộng. 
Tìm số hạng đầu và cơng sai của cấp số cộng, biết:
a. 	 b. 	c. 	d.	
Cho một Cấp số cộng cĩ 5 số hạng . biết rằng số hạng thứ 2 bằng 3 và số hạng thứ 4 bằng 7 . Hãy tìm các số hạng cịn lại của Cấp số cộng đĩ .
Một Cấp số cộng cĩ 7số hạng mà tổng của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 5 bằng 28 , tổng của số hạng thứ 5 và số hạng cuối bằng 140 .hãy tìm Cấp số cộng đĩ .
Viết 6 số xen giữa 2 số 3 và 24 để được một Cấp số cộng cĩ 8 số hạng .Tính tổng các số hạng của Cấp số cộng
 Dạng 3: Cấp số nhân.
Cho cấp số nhân (un) thỏa: .
Tìm số hạng đầu u1 và cơng bội q của cấp số nhân đĩ.
Tính S10.
Ba số dương lập cấp số cộng cĩ tổng bằng 21. Thêm lần lượt 2, 3, 9 vào 3 số đĩ ta được cấp số nhân. Tìm 3 số của cấp số cộng.
Cho hai số : 2 và 54. Điền vào giữa hai số ấy 2 số sao cho 4 số mới lập cấp số nhân.
Cho hai số : 3 và 48. Xen giữa 3 số để được cấp số nhân.
Tìm cấp số nhân cĩ tổng 4 số hạng đầu bằng 15, tổng bình phương bằng 85.
A. HÌNH HỌC:
I – PHÉP BIẾN HÌNH:
Dạng 1: Các bài tốn sử dụng phép tịnh tiến 
M’(x’,y’) là ảnh M 
Cho đường thẳng d:ax+by+c=0 ảnh d’:ax+by+c’=0 .Tìm M trên d và tìm ảnh M’ trên d’ ,ta cĩ c’
Đối với đường trịn:Tâm I(a,b) tìm ảnh I’(a’,b’) và cĩ cùng bán kính .
Tìm ảnh của các điểm sau qua phép tịnh tiến = (2;-1 )
 A(2; -3), B(–1; 4), C(0; 6), D(5; –3).
Tìm ảnh của cácđường thẳng sau qua phép tịnh tiến = (1;-3 )
 a) -2x +5 y – 4 = 0	 b) 2x -3 y – 1 = 0
 c) 3x – 2 = 0	 d) x + y – 1 = 0 
 Tìm ảnh của đường trịn qua phép tịnh tiến = (3;-1 )
	a) (x - 2)2 + (y +1)2 = 9	 	b) x2 + (y – 2)2 = 4
Dạng 2: Các bài tốn cĩ sử dụng biểu thức tọa độ phép đối xứng trục 
a)Biểu thức toạ độ trục Ox: b) Biểu thức toạ độ trục Oy:
Ví dụ 1:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đường trịn (C1) và (C2) lần lượt cĩ phương trình:
Viết phương trình ảnh của đường trịn trên phép đối xứng cĩ trục Oy
Gỉai: Ảnh của điểm M(x ; y) qua phép đối xứng cĩ trục Oy là điểm M’(-x ; y). Ta cĩ:
Bài tập:
Tìm ảnh của các điểm sau qua phép đối xứng trục Ox: 
	A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3).
.Tìm ảnh của điểm A(3; 2) qua phép đối xứng trục d với d: x – y = 0.
Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Ox:
	a) 2x + y – 4 = 0	b) x + y – 1 = 0
Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng trục Oy:
	a) x – 2 = 0	b) x + y – 1 = 0
Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng trục Ox:
	a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9	b) x2 + (y – 2)2 = 4	
Dạng 3: Tìm ảnh của Điểm, đường thẳng, đường trịn qua phép đối xứng tâm. 
Hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M(x;y) ,ảnh M’(x’,y’) đối xứng với M qua gốc tọa độ O
Ví dụ:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho I(2 ; -3) và d cĩ phương trình 3x + 2y – 1 = 0. Tìm tọa độ của điểm I và phương trình đường thẳng d’ lần lượt là ảnh của I và đường thẳng d qua phếp đối xứng tâm
Giải Ta cĩ I’ = (-2 ; 3)
Từ biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ ta cĩ: Thay biểu thức của x và y vào phương trình của d ta được:3(-x’) + 2(-y’) – 1 = 0 hay . Vậy d’: 3x + 2y + 1 = 0
Bài tập:
Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3) qua phép đối xứng tâm 
	a) Tâm O(0; 0)	b) Tâm I(1; –2)	c) Tâm H(–2; 3)
Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm O(0; 0):
	a) 2x – y = 0	b) x + y + 2 = 0	
Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
	a) 2x – y = 0	b) x + y + 2 = 0	
Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I(2; 1):
	a) (x - 2)2 + (y +1)2 = 9	b) x2 + y2 – 6x – 2y +6 = 0	
Dạng 4:Các bài tốn sử dụng phép quay
 1 Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay Q(O;90o);Q(O;-90 o)
 A(2; -3), B(–1; 4), C(0; 6), D(5; –3).
 2 Tìm ảnh của cácđường thẳng sau qua phép quay Q(O;90 o);Q(O;-90 o)
 a) -2x +3 y – 7 = 0	b) 2x -5 y – 4 = 0
 3 Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép Q(O;90 o);Q(O;-90 o)
	a) (x - 2)2 + (y +1)2 = 9	b) x2 + y2 – 6x – 2y +6 = 0	
 Dạng 5 :Các bài tốn sử dụng phép vị tự
- Cho điểm O và tỉ số k¹0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k
-Biến đường thẳng thành đường thẳng song song
-Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính ½k½R.
Ví dụ:Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d cĩ phương trình: 3x + 2y – 6 = 0. Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = -2.
Giaỉ: d’ : 3x + 2y + C = 0
Lấy M(0 ; 3) thuộc d. Gọi M’(x’ ; y’) là ảnh của M qua phép vị tự tâm O, tỉ số .
Ta thấy: , 
Ta cĩ: x’ = 0, y’ = -2.3 = -6 ; Do M’ thuộc d’ nên: 2.(-6) + C = 0 Þ C = 12 ;Vậy d’: 3x + 2y + 12 = 0.
Bài tập:
 1 Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự V(I;k) ;I(-3;4);k=-3
 A(2; -3), B(–1; 4), C(0; 6), D(5; –3).
 2 Tìm ảnh của cácđường thẳng sau qua phép vị tự V(I;k) ;I(1;-2);k=-5
 a) -2x +3 y – 7 = 0	b) 2x -5 y – 4 = 0
 3 Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép vị tự V(I;k) ;I(3;-2);k=-3
	a) (x - 2)2 + (y +1)2 = 9	b) x2 + y2 – 6x – 2y +6 = 0	
II – HÌNH HỌC KHƠNG GIAN:
1. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Để tìm giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (P) , ta tìm trong (P) một đường thẳng c cắt a tại điểm M nào đĩ thì M là giao điểm của a và (P) .
Chú ý : Nếu c chưa cĩ sẵn thì ta chọn một mặt phẳng (Q) qua a và lấy c là giao tuyến của (P) và (Q) .
2. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, chứng minh 3 đường thẳng đồng quy .
- Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đĩ là các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt.Khi đĩ chúng sẽ thẳng hàng trên giao tuyến của hai mặt phẳng đĩ .
- Muốn chúng minh 3 đường thẳng đồng quy ta chứng minh giao điểm của hai đường này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba .
II.Đường thẳng song song 
1. Chứng minh hai đường thẳng song song:
- Chứng minh hai đường thẳng đĩ đồng phẳng , rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song song hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo của định lý Ta-lét ...)
- Chứng minh hai đường thẳng đĩ cùng song song song với đường thẳng thứ 3 .
- Áp dụng định lý về giao tuyến .
 2 .Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 
Thiết diện qua một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước .:
* Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng
* Áp dụng định lý về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến (tức chứng minh giao tuyến song song với một đường thẳng đã cĩ)
Giao tuyến sẽd là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy .
-Ghi chú : Ta cĩ 2 cách để tìm giao tuyến :
Cách 1(2 điểm chung) và cách 2 (1 điểm chung + phương giao tuyến) ta thường sử dụng phối hợp 2 cách khi xác định thiết diện của hình chĩp .
Ví dụ:
 Bài 1. Cho S là một điểm khơng thuộc mặt phẳng hình thàng ABCD (AB // CD và AB > CD). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
Gọi I = AD Ç BC
Ta cĩ S và I là hai điểm chung của (SAD) và (SBC) nên:
(SAD) Ç (SBC) = SI
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng SI
Bài 2. Cho S là một điểm khơng thuộc mặt phẳng hình bình hành ABCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD)
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Ta cĩ: S và O là hai điểm chung của (SAC) và (SBD) nên:
(SAC) Ç (SBD) = SO
Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO.
Bài tập:
Cho tứ diện ABCD. M và N lần lượt là trung điểm AD và BC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (NAD).
Cho tứ diện SABC. Gọi M,N là các điểm trên các đoạn SB và SC sao cho MN khơng song song với BC. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (AMN) và (ABC), mặt phẳng (ABN) và (ACM). 
Cho tứ diện SABC. Gọi I, J, K là ba điểm tuỳ ý trên SB, AB, BC sao cho JK khơng song song với AC và SA khơng song song với IJ.Xác định giao tuyến của (IJK) và (SAC). 
Cho 2 hình thang ABCD và ABEF cĩ chung đáy lớn AB và khơng đồng phẳng.
 a). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (ACE) và (BFD).
 b). Xác định giao tuyến của mặt phẳng (BCE) và (ADF).
Cho tam giác ABC và điểm S nằm ngồi mặt phẳng chứa tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
 a). (SMN) và (ABC)
 b). (SAN) và (SCM)
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD khơng phải là trung điểm. Tìm giao điểm của: 
a). CD và mặt phẳng (MNK); b). AD và mặt phẳng (MNK)
Cho hình chĩp SABCD. Gọi I, J, K lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, AB, BC. Giả sử đường thẳng JK cắt các đường thẳng AD, CD tại M, N. Tìm giao điểm của các đường thẳng SD và SC với mặt phẳng (IJK)
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. P là điểm nằm trên cạnh AD nhưng khơng là trung điểm. Tìm thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng(MNP).
Cho tứ diện ABCD. Trên các đoạn AC, BC, BD lấy các điểm M, N, P sao cho MN khơng song song với AB, NP khơng song song với CD. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) và tứ diện ABCD.
 Cho hình chĩp S.ABCD đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy AB và CD (AB > CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
a) Chứng minh: MN // CD
b) Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (ADN)
Hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD .
a) Chứng minh MN // (SBC) và MN // (SAD)
b) Gọi P là trung điểm của cạnh SA. Chứng minh SB // (MNP) và SC // (MNP).
Chú ý :bài tập trong SGK- ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 , HÌNH HỌC 11