Đề số 13. thi thử đại học môn toán thời gian làm bài: 180 phút

ĐỀ SỐ 13. THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phút
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) 
 Cho hµm sè y=-x3+3x2-2 (C)
 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C).
 2. T×m trªn ®­êng th¼ng (d): y=2 c¸c ®iÓm kÎ ®­îc ba tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C ).
Câu II (2,0 điểm) 
 1. Giải bất phương trình ( x R).
 2. Giải phương trình .
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
Câu IV(1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên măt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng cách giữa AA’ và BC là 
Câu V (1,0 điểm) 
 Cho x, y, z thoả mãn x + y + z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a( 2,0 điểm)
 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng:, và điểm A(-2 ; 1). Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng , đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ’. 
 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: ; d2: và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 3 = 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng D, biết D nằm trên mặt phẳng (P) và D cắt hai đường thẳng d1, d2 .
Câu VII.a (1,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số phức z4 – z3 + 6z2 – 8z – 16 = 0
B. Theo chương trình Nâng cao.
Câu VI.b(2,0 điểm)
1. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 – 4 y – 5 = 0 và (C2): x2 + y2 - 6x + 8y + 16 = 0 Lập phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) 
 2. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng sau:
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 
-----------------Hết---------------
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 13.
Câu
Ý
Nội dung
I
1
2
 (1,0 điểm): Gọi M M(m;2). Gọi là đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc k PTĐT có dạng : y=k(x-m)+2.
ĐT là tiếp tuyến của (C ) khi và chỉ khi hệ PT sau có nghiệm (I).
Thay (2) và (1) được: 2x3 -3(m+1)x2+6mx-4=0 (x-2)[2x2-(3m-1)x+2]=0
 . Đặt f(x)=VT(3)
Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị ( C) hệ (I) có 3 nghiệm x phân biệt PT(3) có hai nghiệm phan biệt khác 2 .
Vậy M(m;2) thuộc (d): y=2 với thì từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)
II
1
Điều kiện , PT: 
Đặt ta được bpt ( do) Với ( do ) Vậy bpt có nghiệm 
2
4cos2x-sin2x(sinx+cosx)-4(sinx+cosx)=0(sinx+cosx)[4(cosx-sinx)-sin2x-4]=0
 . PT (2) có nghiệm .
Giải (2) : Đặ , thay vào (2) được PT: t2-4t-5=0 t=-1( t/m (*)) hoặc t=5(loại )
Với t=-1 ta tìm được nghiệm x là : . KL: ..
III
Đặt . Đổi cận 
Suy ra 
IV
Gọi M là trung điểm BC ta thấy: 
Kẻ (do nhọn nên H thuộc trong đoạn AA’.)
Do .Vậy HM là đọan vông góc chung của
A
B
C
C’
B’
A’
H
O
M
AA’và BC, do đó .
Xét 2 tam giác đồng dạng AA’O và AMH
 ta có: 
 suy ra 
Thể tích khối lăng trụ: 
V
Trước hết ta có: (biến đổi tương đương) 
Đặt x + y + z = a. Khi đó 
(với t = , ). Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t. Có
Lập bảng biến thiên GTNN của P là đạt được khi x = y = 4z > 0
VIa
1
Tâm I của đường tròn thuộc nên I(-3t – 8; t)
Theo yc thì k/c từ I đến ’ bằng k/c IA nên ta có 
Giải tiếp được t = -3 Khi đó I(1; -3), R = 5 và pt cần tìm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25.
2
Gọi A = d1Ç(P) suy ra A(1; 0 ; 2) ; B = d2 Ç (P) suy ra B(2; 3; 1)
Đường thẳng D thỏa mãn bài toán đi qua A và B.
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng D là 
Phương trình chính tắc của đường thẳng D là: 
VIIa
Xeùt phöông trình Z4 – Z3 + 6Z2 – 8Z – 16 = 0
Deã daøng nhaän thaáy phöông trình coù nghieäm Z1 = –1, sau ñoù baèng caùch chia ña thöùc hoặc Honer ta thaáy phöông trình coù nghieäm thöù hai Z2 = 2. Vaäy phöông trình trôû thaønh:
(Z + 1)(Z – 2)(Z2 + 8) = 0 Suy ra: Z3 = vaø Z4 = –
Ñaùp soá: 
VIb
1
Gọi tiếp tuyến chung của là 
 là tiếp tuyến chung của 
Từ (1) và (2) suy ra hoặc 
Trường hợp 1: .Chọn 
Trường hợp 2: . Thay vào (1) được
2
Gọi 
VIIb
 Điều kiện: 
Hệ phương trình 
 ( loại) 
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
ĐỀ SỐ 14. THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN 
Thời gian làm bài: 180 phút.
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số 
	1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2. Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
 với .
Câu II (2 điểm) : Giải phương trình, hệ phương trình: 
	1. ;	2. 
Câu III: Tính diện tích của miền phẳng giới hạn bởi các đường và .
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp một hình cầu bán kính r cho trước. Tính thể tích hình chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh đáy nhỏ.
Câu V (1 điểm) Định m để phương trình sau có nghiệm
PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a (2 điểm)
	1. ChoABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: và phân giác trong CD: 	. 	Viết phương trình đường thẳng BC.
	2. Cho đường thẳng (D) có phương trình: 	.Gọi là đường thẳng qua điểm A(4;0;-1) song song với (D) và I(-2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (D). Trong các mặt phẳng qua , hãy viết phương trình của mặt phẳng có khoảng cách đến (D) là lớn nhất.
Câu VII.a (1 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng
2. Theo chương trình nâng cao.
Câu VI.b (2 điểm) 	
1. Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D.
2. Cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng có phương trình tham số .Một điểm M thay đổi trên đường thẳng , tìm điểm M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu VII.b (1 điểm) Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh
----------------------Hết----------------------
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 14
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
I
2
1,00
Xét phương trình với (1)
Đặt , phương trình (1) trở thành: 
Vì nên , giữa x và t có sự tương ứng một đối một, do đó số nghiệm của phương trình (1) và (2) bằng nhau.
0,25
Ta có: 
Gọi (C1): với và (D): y = 1 – m.
Phương trình (3) là phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (D).
Chú ý rằng (C1) giống như đồ thị (C) trong miền .
0,25
Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau:
 	: Phương trình đã cho vô nghiệm.
 	: Phương trình đã cho có 2 nghiệm.
	: Phương trình đã cho có 4 nghiệm.
 	: Phương trình đã cho có 2 nghiệm.
 	 : Phương trình đã cho có 1 nghiệm.
m < 0	 : Phương trình đã cho vô nghiệm.
0,50
II
2,00
1
1,00
Phương trình đã cho tương đương: 
0,50
0,50
2
1,00
Điều kiện: 
Đặt ; không thỏa hệ nên xét ta có . 
Hệ phương trình đã cho có dạng:
0,25
 hoặc 
+ (I)
+ (II)
0,25
Giải hệ (I), (II).
0,25
Sau đó hợp các kết quả lại, ta được tập nghiệm của hệ phương trình ban đầu là 
0,25
Sau đó hợp các kết quả lại, ta được tập nghiệm của hệ phương trình ban đầu là 
1,00
III
0,25
Diện tích miền phẳng giới hạn bởi: và 
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):
Suy ra diện tích cần tính:
0,25
Tính: 
Vì nên 
0,25
Tính 
Vì và nên .
0,25
Vậy 
1,00
IV
0,25
Gọi H, H’ là tâm của các tam giác đều ABC, A’B’C’. Gọi I, I’ là trung điểm của AB, A’B’. Ta có:
Suy ra hình cầu nội tiếp hình chóp cụt này tiếp xúc với hai đáy tại H, H’ và tiếp xúc với mặt bên (ABB’A’) tại điểm .
0,25
Gọi x là cạnh đáy nhỏ, theo giả thiết 2x là cạnh đáy lớn. Ta có:
Tam giác IOI’ vuông ở O nên: 
0,25
Thể tích hình chóp cụt tính bởi: 
Trong đó: 
0,25
Từ đó, ta có: 
0,25
V
1,00
Ta có:
+/ ;
+/ 
+/ 
Do đó phương trình đã cho tương đương:
Đặt (điều kiện: ). 
0,25
Khi đó . Phương trình (1) trở thành:
 (2) với 
Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường (là đường song song với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ 2 – 2m) và (P): với .
0,25
Trong đoạn , hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là tại và đạt giá trị lớn nhất là tại . 
0,25
Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 
.
0,25
VIa
2,00
1
1,00
Điểm . 
Suy ra trung điểm M của AC là . 
0,25
Điểm 
0,25
0,25
Từ A(1;2), kẻ tại I (điểm ).
 Suy ra . 
Tọa độ điểm I thỏa hệ: . 
Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK tọa độ của .
Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình: 
2
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng , thì hoặc . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P). Ta luôn có và . 
Mặt khác 
Trong mặt phẳng , ; do đó . Lúc này (P) ở vị trí (P0) vuông góc với IA tại A.
Vectơ pháp tuyến của (P0) là , cùng phương với .
Phương trình của mặt phẳng (P0) là: .
VIIa
Để ý rằng ; 
và tương tự ta cũng có 
0,25
Vì vậy ta có:
vv
1,00
Ta có: . Phương trình của AB là: .
. I là trung điểm của AC và BD nên ta có: . 
0,25
Mặt khác: (CH: chiều cao) . 
0,25
Ngoài ra: 
Vậy tọa độ của C và D là hoặc 
0,50
2
1,00
Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM.
Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất.
Đường thẳng có phương trình tham số: .
Điểm nên .
0,25
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ và .
Ta có 
Suy ra và 
Mặt khác, với hai vectơ ta luôn có 
Như vậy 
0,25
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng 
 và .
0,25
Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 
0,25
VIIb
1,00
Vì a, b, c là ba cạnh tam giác nên:. 
Đặt .
Vế trái viết lại:
0,50
Ta có: .
Tương tự: 
Do đó: .
Tức là: 
0,50