Đề tài Bài toán về cực trị

A MỞ ĐẦU
Các bài toán về cực trị đại số ở cấp 2 có ý nghĩa rất quan trọng đối với học sinh ở bậc học này .Để giải các bài toán cực trị đại số , tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số người làm toán phải sử dụng các phép biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số , phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các dạng hằng đẳng thức từ các dạng đơn giản đến các dạng phức tạp .Bởi thế , có thể nói các bài toán cực trị đại số ở cấp 2 tạo ra khả năng giúp học sinh có điều kiện rèn luyện kỹ năng biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số.
Các bài toán cực trị đại số ở chương trình toán cấp 2 có sự liên quan mật thiết đến các kiến thức chứng minh bất dẳng thức , các bài toán giải phương trình và hệ phương trình , các kiên thức về tập hợp về hàm số và đồ thị hàm số. 
Về mặt tư tưởng bài toán cực trị đại số giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức thực tế của đời sống xã hội , rèn luyện nếp nghĩ khoa học , luôn mong muốn những công việc đạt hiệu quả cao nhất , tốt nhất .
Tóm lại các bài toán cực trị trong đại ở chưong trình toán cấp 2 là các bài toán tổng hợp các kiến thứcvà kỹ năng tính toán rèn khả năng tư duy cho học sinh , nó có một vai trò quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi .Bồi dưõng HS thi vào các trường chuyên , thi vào cấp 3.
B NỘI DUNG:
I. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một biểu thức bằng cách đưa về dạng Ax 0 hoặc Ax 0
a, Cơ sở lý luận 
- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) không âm thì số 0 có giá trị nhỏ nhất .
- Trong tập hợp các số (nguyên , hữu tỷ , số thực) âm thì số 0 có giá trị lớn nhất .
- Từ đó ta có kết luận : Nếu M = Ax / Ax 0 thì GTNN của Ax = 0
 Nếu M = Ax / Ax 0 thì GT LN của Ax = 0
b, Các ví dụ .
Ví dụ 1:
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
 Ax = 2x2 – 8x +1 với x là số thực bất kỳ .
Lời giải : Ta có Ax = 2x2 – 8x +1 = 2( x- 2 )2 – 7 Ta có với mọi x thì 
(x- 2 )2 0 Nên ta có 2( x- 2 )2 – 7 -7 . 
Vậy Ax đạt giá trị nhỏ nhất bằng -7 khi x=2 
Ví dụ 2: 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 Mx = - 5x2 – 4x + 1 với x là số thực bất kỳ .
Lời giải: Ta có Mx = - 5x2 – 4x + 1 = -5 ( x + )2 + 
 Với mọi giá trị của x ta luôn có : -5 ( x + )2 0 . Vậy Mx (dấu = xảy ra khi x = -. Ta có GTLN của Mx = với x = -.
II . Phương pháp giải các bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng hoặc 
Ví dụ 3:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 Ax = Vói x là các số thực dương .
Lời giải: Ta có Ax = = với mọi x >0 thì . Vậy GTNN của Ax = với x= 4.
Ví dụ 4:
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 Mx= với x thuộc tập hợp số thực.
Lời giải:Ta có Mx= = 3 + . Vì nên ta có 
Mx = 3 + 3 + 0,5 = 3,5 . Vậy GTLN Mx = 3,5 với (x+1)2 = 0 hay x= -1 
Ví dụ 5: 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 Fx,y = với x, y là các số thực.
Lời giải:Ta có Fx,y = = vì y4 +1 0 với mọi giá trị của x nên ta chia cả tử và mẫu cho y4 +1 ta được : Fx,y = vì x2 0 với mọi x nên x2 + 2 2 với mọi x ,và do đó ta có Fx,y = 
Vậy Fx,y dật GTLN = với x=0, y lấy giá trị tuỳ ý. 
III. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức đại số bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi.
1.Bất đẳng thức Côsi : Với các số dương a,b, c ta có:
a + b đạt được dấu = khi a=b .
a + b+ c đạt được dấu = khi a=b = c .
 2. Các ví dụ : 
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 Ax = với x > 0.
Lời giải:Ta có Ax = = 8x + . Ta thấy 8x và là hai đại lượng lấy giá trị dương áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương là 8x và ta có:
 8x + dấu = xẩy ra khi 8x = = > x = .
 Vậy GTNN Ax = 8 với x = .
Ví dụ 7 : 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 Bx = 16x3 - x6 với x thuộc tập hợp các số thực dương .
Lời giải: Trước hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng được bất đẳng thức Côsi ta có 
Bx = 16x3 - x6 = x3(16- x3) . Ta có x3 > 0 , còn 16 – x3 > 0 khi 16 > x3 hay x < (*)
ta thấy x3 và 16 – x3 là hai đại lượng dương . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x3 và 16- x3 ta có 2 suy ra x3( 16 – x3) 64 dấu = xẩy ra khi x3 = 16- x3 => x = 2 (Thoả mãn *). GTLN của Bx = 64 , với x=2.
IV. Giải các bài toán cực trị đại số bằng phương pháp đặt ẩn phụ :
Ví dụ 8 :
 Với giá trị nào của x thì biểu thức 
 Px = đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải: Ta có : Px = = 4x2 + 8x+ 20 + 
Vì x2 + 2x +5 = (x+1)2 +4 > 0 (*) nên Px luôn xác định với mọi x ta đặt
 y = x2 + 2x + + 5 , ta có Px = 4y + với y > 0 , ta thấy 4y và là hai đại lượng luôn dương .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương 4y và ta có :
 4y + . Dấu = xẩy ra khi 4y = => y = 8 hoặc y = -8
từ đó tính được x= -3 hoặc x=1. Vậy với x=-3 hoặc x=1 thì GTNN của Px = 64.
Ví dụ 9 : 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Qx = (x2- 2x + 2)(4x- 2x2+ 2) với x thuộc tập hợp các số thực. 
Lời giải: Đặt x2- 2x +2 = y ta có 4x – 2x2 + 2 = -y +6 . Vậy Qx = y ( 6- 2y). 
 Ta có 2Qx = 2y(6-2y) , ta thấy x2- 2x+2 = (x- 1)2 +1 >0 => y >0 => 6-2y > 0 khi y<3
Vậy 2y và 6-2y là hai số dương .áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương 2y và 6-2y ta có : 2y + 6-2y => 3 => 9 2 Qx dấu = xẩy ra khi 
2y = 6- 2y => y = 1,5 thay vào ta có x2- 2x +2 = 1,5 => x = 1+ hoặc x= 1 -.Vậy GTLN của Qx = 4,5 với x = 1+ hoặc x= 1 -.
Ví dụ 10 : 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
	Hx = (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) với x là các số thực tuỳ ý .
Lời giải: Ta có : * 8+ x2 + x =( x+ )2 + >0 với mọi giá trị của x
*20 – x2 –x > 0 khi -5 < x < 4 .
Như vậy Hx = (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) >0 khi -5 < x <4 . Từ đó suy ra Hx có giá trị lớn nhất thì GTLN đó chỉ đạt ở trong khoảng xác định (-5 ; 4). 
Với -5 <x <4 ta có 8+ x2 + x và 20 – x2 –x luôn dương . áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai đại lượng dương 8+ x2 + x và 20 – x2 –x ta có :
 (8+ x2 + x )+( 20 – x2 –x) 
14 => 196 (8 + x2 + x )(20 – x2 –x) .Dấu = xẩy ra khi 8+ x2 + x =20 – x2 –x => x= 2 hoặc x= -3.
Hay Hx 196 .Vậy GTLN của Hx = 196 ,với x=2 hoặc x = -3.
V. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức chứa nhiều đại lượng .
Ví dụ 11 : 
 Tìm giá trị của m, p sao cho A = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó .
Lời giải: 
Ta có A = m2 – 4mp + 5p2 + 10m – 22p + 28 = ( m – 2p)2 + ( p – 1)2+27 + 10(m – 2p)
Đặt X = m-2p ta có A = X2 + 10 X +( p-1)2 + 27 = (X+5) 2 + (p-1)2+ 2 .
Ta thấy (X+5) 2 0 ; (p-1)2 0 với mọi m, p do đó A đạt GTNN khi X+ 5=0 và p-1=0.
Giải hệ điều kiện trên ta được p= 1 , m= -3 .Vậy GTNN của A = 2 với p= 1, m=-3 
Ví dụ 12 : 
Tìm giá trị của x, y sao cho F = x2 + 26y2 – 10xy +14x – 76y + 59. đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải: 
Ta có F = x2 + 26y2 – 10xy +14x – 76y + 59 = ( x-5y)2+ (y-3)2 +14(x-5y)+50.
Đặt ẩn phụ : Z = x-5y ta có F = (Z+7)2 + (y- 3)2 +1 1. 
Dấu = xẩy ra khi Z+7=0 và y-3 = 0 giả hệ điều kiện trên ta được x=8 y= 3 .Vậy GTNN của F = 1 với x=8, y=3 .
Ví dụ 13 : 
Tìm giá trị của x, y,z sao cho P = 19x2 +54y2 +16z2 -16xz – 24yz +36xy +5. Đạt giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Lời giải: 
Ta có P = 19x2 +54y2 +16z2 -16xz – 24yz +36xy +5 = ( 9x2+ 36xy + 36y2) + (18y2- 24yz +8z2) + (8x2 – 16xz + 8z2) + 2x2 + 5 hay
	P = 9(x+2y)2 + 2(3y – 2z)2 + 8(x- z )2 + 2x2 + 5 .Ta thấy (x+2y)2 0 ; 
(3y – 2z)2 0; (x- z )2 0; 2x2 0 với mọi giá trị của x, y, z .
Vậy GTNN của P = 5 đạt được khi x+2y = 0 và 3y- 2z =0 và x- z =0 và x=0 . Giải hệ phương trình trên ta được x= y =z = 0 .
VI. Tìm GTLN,GTNN bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Buanhiacôpski.
*Bất đẳng thức Buanhiacôpski.
 ( a1b1 + a2b2 + .........anbn)2 (a12 + a22 +......+an2)(b12 + b22.......bn2)
 Dấu bằng xẩy ra khi 
*Các ví dụ :
Ví dụ 14 : Tìm các giá trị của x,y,z để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất . 
 P = x2 + y2 +z2. Tìm giá trị nhỏ nhất đó biết : x+y+z = 1995.
Lời giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 1, 1, 1 và x, y, z ta có :
 (x.1 + y.1 + z.1)2 (1 + 1+ 1)(x2 + y2 + z2)
Hay : ( x + y +z )2 3.(x2 + y2 + z2 ) . Từ đó ta có :
 P = x2 + y2 + z2 ( Vì theo giả thiết x+ y +z =1995).
Vậy GTNN của P = dấu = xẩy ra khi x =y =z kết hợp với giả thiết x + y +z = 1995 .Ta có x= y =z =665.
Ví dụ 14 :
Cho biểu thức Q = . Trong đó x,y,z là các đại lượng thoả mãn điều kiện 
 x2 + y2 + z2 = 169.Tìm GTLN của Q.
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Buanhiacốpki cho bộ ba số : 2, 4, và x, y, z ta có :
 (2x + 4y + z)2 { 22 + 42 + ()2}( x2 + y2 + z2) .
Hay Q2 { 22 + 42 + ()2}( x2 + y2 + z2) vì x2 + y2 + z2 = 169 nên Q2 25.169.
Vậy GTLN của Q= 65 , dấu = xẩy ra khi và x2 + y2 + z2 = 169 từ đó tìm được x =. y= z =
VII. Các bài tập áp dụng :
Bài 1: Cho biểu thức : Q = . Tìm GTLN của Q.
Bài 2: Biểu thức : P = có giá trị lớn nhất không ? 
Hãy chứng tỏ khẳng định của mình.
Bài 3: Cho biểu thức : A = . Với x -1 , x >0 .Hãy tìm GTNN của A.
Bài 4: Cho biểu thức : B= . Tìm GTLN của B.
Bài 5: Cho biểu thức: F = . Với x >0. Hãy tìm GTNN của F.
Bài 6: Cho biểu thức: A = . Hãy tìm GTLN của A.
Bài 7: Cho biểu thức: Y = . Với x > 0 . Hãy tìm GTNN của Y.
Bài 8: Cho biểu thức: Y = . Tìm GTNN cua Y.
VIII. Hướng dẫn giải và đáp số :
Bài 1:Ta có : Q = . Vậy GTLN của Q = , với x= 0,5.
Bài 2: Ta có P = 1 - . Vì 0 với mọi x nên P 1. Vậy GTLN của P= 1
khi x=1.
Bài 3:Ta có : A= 1 - . Để A đạt giá trị nhỏ nhất khi đạt GTLN muốn vậy x+ + 2 phải đạt GTNN. Mà x> 0 nên > 0 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x và ta có : x + = 2 .Dấu = xẩy ra khi 
 x = => x= 1; x = -1 (Loại ).
Vậy GTNN của A = 1 - , với x= 1.
Bài 4: Ta có : B= = 1+ . Ta thấy B có GTLN thì phải đạt giá trị lớn nhất , và do đó (x-3)2 + 3 phải đạt giá trị nhỏ nhất . 
Ta có (x- 3)2 + 3 3 với mọi x . Vậy GTLN của B = , với x = 3. 
Bài 5: Ta có F = . Với x >0 chia tử cho mẫu ta có F = vì x > 0
Nên > 0; > 0 . áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : + =; Dấu = xẩy ra khi x = 4. Vậy GTNN của F = 5 + = ; với x = 4.
Bài 6: Ta có : A = với x 0 thì A = . A đạt GTLN khi + x2 nhỏ nhất , ta thấy x2 và là hai số dương nên theo bất đẳng thức Côsi ta có:
 x2 + = 2 . Dấu = xẩy ra khi x4 = 1 => x= 1; x = -1.
Vậy GTLN của A = , với x= 1; x = -1.
Bài 7: Ta có : Y = . Với x > 0 Y = x + + 10 + 10 = 18 ( Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x và ). Dấu = xẩy ra khi x = 4.
Vậy GTNN của Y = 18; với x = 4 .
Bài 8: Ta có : Y = ( với x 1) Y = ( x + )2 - . 
 Dấu = xẩy ra khi x = - .
Vậy GTNN của Y = -; với x = - .