Đề tài Các cách nhìn khác nhau đối với một bài toán

CÁC CÁCH NHÌN KHÁC NHAU ĐỐI VỚI MỘT BÀI TỐN 
 Tiếp cận lời giải của một bài tốn, chúng ta cĩ những cách nhìn, quan niệm khác nhau. 
Nhờ việc thay đổi cách nhìn và quan niệm đĩ chúng ta sẽ cĩ những cách giải khác nhau cho một 
bài tốn. Sau đây là một bài tốn như vậy: 
Bài tốn: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh: 
√ + √ + √ √ 
Bài giải 
Cách 1: Áp dụng BĐT Cauchy ta cĩ: 
√
 √ √
 ( ) 
 ( )
 ( ) 
√
 √ √
 ( ) 
 ( )
 ( ) 
√
 √( ) √
 ( ) 
 ( )
 ( ) 
Cộng các vế tương ứng (1), (2) và (3) ta được: √
 (√ √ √ ) 
 [ ( )] ⇔ √ √ √ √ . 
 Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1/3 . 
Cách 2: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta cĩ: 
√ + √ + √ √( )( ) = √ . Dấu “=” xảy ra khi 
√ 
 = 
√ 
 = 
√ 
 ⇒ a = b = c mà a + b + c = 1 
Cách 3: Dùng hình học giải tích trong khơng gian. 
Đặt √ √ + √ (x,y,z > 0) 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
 {
√ √ √ ( )
 ( ) 
Với m là tham số, ta cĩ: là phương trình mặt phẳng. là 
phương trình mặt cầu tâm I(0;0;0) và bán kính r = √ . Theo bài ra thì hệ sau phải cĩ nghiệm: 
{ 
 ( )
 ( )
 . Tức là mặt phẳng (1) phải cắt mặt cầu (2). Điều này xãy ra khi 
khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (1) phải phải nhỏ hơn hoặc bằng bán kính r, tức là ta cĩ: 
| |
√ 
 √ ⇔ | | √ m √ hay √ + √ + √ √ . 
Dấu “=” xảy ra khi mặt phẳng (1) tiếp xúc với mặt cầu (2). Ta tìm tọa độ tiếp điểm của chúng: 
Đường thẳng qua I(0;0;0) và vuơng gĩc với mặt phẳng: √ là: (d): {
Giao điểm của (d) với mặt cầu là K 3t2 = 2 ⇔ t = √
 (vì t > 0) x = y = z = √
K(√
 √
 √
) 
 a = b = c = 1/3 . 
Cách 4: Dùng phương pháp biến đổi kết hợp với BĐT cauchy: 
Đặt P = √ + √ + √ > 0 P
2
 = 2(a + b +c) + 2( √ . √ + √ 
.√ + √ √ ) P
2
 2 + 2.[
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
] ⇔ P2 2 + 
2.
 ( )
 = 6 ⇔ P √ (do P > 0). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1/3 . 
Cách 5: Dùng phương pháp biến đổi: 
Đặt √ √ + √ {
 √ ( )
 √ 
(*)⇔ ( ) ⇔ ( ) ( 
 ) ⇔ (x2-2xy+y2)+(y2-2yz+z2)+(z2-2zx+x2) ⇔ (x-y)2 +(y-z)2+(z-x)2 (luơn đúng) 
Vậy (*) đúng, hay BĐT đã cho đúng. Dấu “=” xảy ra khi x = y = z a = b = c = 1/3 . 
Cách 6: Dùng phương pháp biến đổi: 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Đặt √ √ + √ {
 √ ( )
 √ 
(*)⇔ ( ) ⇔ [ ( )] ( 
 ) ⇔ . Áp dụng BĐT Cauchy ta cĩ: ; 
 ; . Vậy BĐT đã cho là đúng. 
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z a = b = c = 1/3 . 
Cách 7: Dùng định lý thuận của tam thức bậc hai: 
Với mọi x ta luơn cĩ: 
{
 ( √ ) 
 ( √ ) 
 ( √ ) 
 ⇔ {
 √ ( ) ( )
 √ ( ) ( )
 √ ( ) ( )
Cộng vế với vế (1), (2) và (3) ta được: (√ √ √ ) 
 ( ) ⇔ (√ √ √ ) (*). Do (*) đúng với 
mọi x nên hay (√ √ √ )
2 ⇔ √ √ 
√ √ . Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1/3 . 
Cách 8: Dùng đạo hàm khảo sát hàm số: 
Ta cĩ: √ √ √ √ ⇔ √ √ √ √ (*). Do a,b,c 
 ( ) nên ta cĩ: 5 - 3a ; 5 – 3b – . 
(*)⇔ 
( – )√ 
( – )
 + 
( – )√ 
( – )
 + 
( – )√ 
( – )
 √ (**). Xét hàm số f(x) = 
√ 
( – )
 với x ) 
Cĩ f ‟(x) = 
 ( ) √ 
 với x ) f ‟(x) = 0 ⇔ x = 1/3. Ta cĩ bảng biến thiên: 
X 0 1/3 1 
f „(x) + 0 - 
f(x) 
√ 
 1/5 0 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Do x ) nên 5 – 3x > 0 (5 – 3x).f(x) (5 – 3x).f(1/3) hay 5 – 3x).f(x) (5 – 3x). 
√ 
Thay x lần lượt bởi a, b, c thì ta cĩ: VT(**) 
√ 
 (5 – 3a + 5 – 3b + 5 – 3c) = √ . Vậy (*) đúng, 
tức là √ √ √ √ . Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1/3 . 
Cách 9:Dùng phương pháp dồn biến kết hợp với đạo hàm khảo sát hàm số : 
Ta cĩ: √ √ √ = √ √ √ . Lại cĩ: (√ √ )
2
 = 
2a + b + c + 2√ ( ) = 1 + a + 2√ ( ) 1 + a + 2√ (
) 
= 1 + a + 2√ (
) = 1 + a + 2√ 
 = 1 + a + √ = 2(a + 1) (vì 
a ( )). √ √ √ ( ) √ √ √ √ 
√ ( ) Xét hàm số f(a) = √ √ ( ) , với a ( ) Khơng mất tính tổng quát, 
giả sử a = Max{a;b;c} 1 = a + b + c 3a 
 a < . Ta cĩ: f „(a) = 
 √ 
√ ( )
Xét f „(a) 0 ⇔ 4(1 – a) 2(1 + a) ⇔ a 1/3 f „(a) = 0 ⇔ a = 1/3. Ta cĩ bảng biến thiên 
của f(a) với a [
 ) như sau: 
A 1/3 1 
f „(a) + 0 - + 
f (a) 
 √ 
 2 
Vậy 
 ( )
[
 )
 = √ tại a = 1/3 hay ta được √ √ √ √ . Dấu “=” xảy ra 
khi a = b = c = 1/3 . 
Cách 10: Dùng định lý vi-et và điều kiện cĩ nghiệm của bất phương trình bậc hai : 
Đặt √ √ + √ 
 {
 ⇔ 
 √ 
 {
 ⇔ 
 √ 
 {
( ) 
 √ 
. 
 Áp dụng định lý Vi-et ta cĩ điều kiện cần để tồn tại x, y là: 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
( ) 
( ) 
 ⇔ ( ) ( ) ⇔ ( ) 
Do (*) phải cĩ nghiệm z nên ‟ 0(vì a = 3 ) hay ( ) ⇔ 
⇔ √ (vì S > 0). Vậy: √ √ √ √ . Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 
1/3 . 
Cách 11: Dùng định BĐT phụ : 
Ta chứng minh BĐT phụ sau: √ 
 √ 
 với ( ). Do ( ) nên -3x + 5 > 0, 
nên ta được 24(1-x) 25 – 30x + 9x2 ⇔ x2 – 6x + 1 ⇔ (3x-1)2 . BĐT này đúng với 
 ( ). Áp dụng cho các số a, b, c ( ) ta được: 
√ 
 √ 
 ( ) √ 
 √ 
 ( ) √ 
 √ 
 ( ) 
Cộng vế theo vế của (1), (2) và (3) ta được: 
√ √ √ 
 ( ) 
 √ 
 . Mà a + b + c = 1 nên √ √ 
√ √ hay √ √ √ √ . Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1/3 
 . 
Cách 12: Sử dụng vec-tơ và tọa độ trong khơng gian: 
Trong khơng gian Oxyz, xét ⃗(√ √ √ ); ⃗(1;1;1). Ta luơn cĩ ⃗. ⃗ | ⃗| | ⃗| 
nên ta cĩ: √ √ √ √ √( ) ( ) ( ) 
⇔ √ √ √ √ . Dấu “=” xảy ra khi ⃗, ⃗ cùng phương a = b = c = 1/3 
 . 
Cách 13: Sử dụng lượng giác hĩa: 
Ta cĩ: √ √ √ √ √ √ . Do a, b, c > 0 và a + b + c = 
1 nên a, b, c ( ). Đặt a = cosx; b = cosy với x, y ( 
). Khi đĩ √ √ 
√ = √ √ √ = √ 
 √ 
√ 
 √ 
 + √ .sin
 + √ .sin
 = √ ( 
) + √ .sin
 . 
 √ ( 
) + √ .sin
 = A. Để chứng minh bài tốn, ta chỉ cần chứng minh 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
A √ , thật vậy: A √ ⇔ √ ( 
) + √ .sin
 √ 
⇔ √ ( 
) √ .sin
 √ (*). Do o < x, y < 
 nên 0 < 
 < 
 sin
 sin 
 = 
√ 
 √ .sin
 √ > √ . 
√ 
 √ = √ - 2 > 0 và 
 > 1 – 2. (
√ 
)2 = 0 nên hai vế của (*) đều dương, bình phương hai vế ta được: 
 4.sin2(
) + 3 - 4√ .sin
 ⇔ 6.sin2(
) - 4√ .sin
 + 2 0 
⇔ (√ . sin
 - √ )2 0 (BĐT đúng). Nên A √ hay √ √ √ √ . 
Dấu “=” xảy ra khi {
√ 
√ 
√ 
 ⇔ sin
 = sin
 = 
√ 
 ⇔ = cos = 
 = 1 – 
2. 
 = 
 a = b = c = 1/3 . 
Cách 14:Dùng đạo hàm khảo sát hàm số : 
Đặt a = 
 - x; b = 
 ; c = 
 + x + y. Do a, b ( ) nên: 0 < 
 - x < 1 và 0 < 
 < 1. Vậy 
x, y (
). Ta cĩ: √ √ √ = √
 √
 √
 = f(x;y). 
Ta xem f(x;y) là hàm số của x với y là tham số f ‟x(x;y) = 
 √
 + 
 √
 . Xét f ‟x(x;y) 0 
⇔ 
 ⇔ x 
. Ta cĩ bảng biến thiên sau: 
X 
f ‟x(x;y) + 0 - 
f (x;y) 
Vậy f(x;y) M = f( 
 ) = 2. √
 √
 = g(y). Xét hàm số g(y) với y (
). 
g‟(y) = 
 √
 + 
 √
. g‟(y) 0 ⇔ 
 ⇔ y 0. Ta cĩ bảng biến thiên: 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Y 
g‟(y) + 0 - 
g(y) √ 
 f(x;y) √ √ √ √ √ . Dấu “=” xảy ra khi x = y = 0 a = b = c 
= 1/3 . 
Cách 15: Dùng BĐT phụ : 
Đặt √ √ + √ {
 √ 
 Vậy ta cần chứng minh: 
x + y + z √ . Trước tiên ta chứng minh BĐT: t 3t2 + (1 - 2√ )t + 2 (*), thật vậy: 
(*) ⇔ 3t2 - 2√ t + 2 0 ⇔ (√ t - √ )2 0 (luơn đúng). Áp dụng cho các số x, y, z ta được: 
{
 ( √ ) 
 ( √ ) 
 ( √ ) 
 x + y + z 3( )+( √ )( ) 
⇔ x + y + z √ . Dấu “=” xảy ra khi x = y = √
 a = b = c = 1/3 . 
Chú ý: BĐT (*) tìm được bằng cách xét đường thẳng y = t là tiếp tuyến của Parabol y = 3t2 + 
(1 - 2√ )t + 2 tại điểm t0 = √
. 
Cách 16: Sử dụng véc-tơ, tọa độ trong mặt phẳng và đạo hàm : 
 Trong mặt phẳng Oxy xét ⃗⃗(1;1); ⃗(x;y). Bằng cách đặt √ √ √ 
 {
 ⇔ 
 √ 
 {
 ( ) 
 √ 
. Mà ⃗⃗. ⃗ | ⃗⃗|.| ⃗| nên x + y √ ( ). 
Kết hợp (*) ta được: m – z √ ( ) hay m √ ( ) + z = f(z). Ta cĩ: f ‟(z)= 1 - 
√ ( )
 = 
√ ( ) 
√ ( )
. f ‟(z) = 0 ⇔ ( ) = ⇔ z = √
 . 
Ta cĩ bảng biến thiên của f(z): 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Z 
 0 √
 √ 
f‟(z) + 0 - 
f(z) √ 
Vậy m f(z) f(√
) = √ . Dấu “=” xảy ra khi z = √
 = x = y ( ⃗⃗, ⃗ cùng phương) 
 a = b = c = 1/3 . 
Cách 17: Dùng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: 
Đặt √ √ √ 
 {
 ⇔ 
 √ 
 {
 ( ) 
 ( ) 
 √ 
(1) là phương trình đường thẳng, cịn (2) là phương trình đường trịn tâm O(0;0), bán kính 
R = √ trong mặt phẳng Oxy. Vậy để tồn tại x, y thỏa mãn (1), (2) ta cần cĩ: Khoảng cách 
từ O đến đường thẳng (1) phải nhỏ hơn hoặc bằng bán kính đường trịn (2): 
| |
√ 
 √ 
⇔ m2 – 2mz + z2 4 – 2z2 ⇔ 3z2 – 2mz + m2 – 4 0. Bất phương trình này phải cĩ nghiệm z 
nên hay m2 - 3 m2 + 12 ⇔ m2 ⇔ √ hay √ √ √ 
√ , m = √ khi z = √
 = x = y a = b = c = 1/3 . 
Cách 18: Dự đốn đấu bằng xãy ra, đưa về trường hợp dấu bằng xãy ra khi các phần tử 
bằng 0: 
 Đặt √ √ √ và √ , 
ta cần chứng minh: √ (1). Đặt x = m + √
 ; y = n + √
; z = k + √
. Ta cần chứng 
minh: (m + √
) (n + √
 )+ (k + √
 ) √ hay m + n + k 0 (2). Lại cĩ: 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
 ( √
) + ( √
 ) + ( √
 ) = 2 ⇔ m2 + n2 + k2 + 2. √
 (m + n + k) = 0 
⇔ 2. √
 (m + n + k) = - (m
2
 + n
2
 + k
2
 ) 0 hay . Vậy (2) đúng, nên (1) đúng 
 BĐT đã cho đúng. Dấu “=” xảy ra khi m = n = k = 0 x = y = z = √
 a = b = c = 1/3 
 . 
Nhận xét: Cách này gợi cho ta một hướng đi mới để chứng minh BĐT, đĩ là dự đốn dấu bằng 
ở BĐT sau đĩ đặt ẩn phụ, đưa về trường hợp dấu bằng xãy ra khi các phần tử bằng khơng. 
Cách 19: Dự đốn đấu bằng xảy ra, từ đĩ quy ra BĐT đúng hiển nhiên(là BĐT phụ ta dùng 
để chứng minh BĐT ban đầu): 
 Đặt √ √ √ ( ). Ta cần chứng 
minh: √ (1). Dự đốn dấu “=” xãy ra ở (*) tại x = y = z = √
, nên ta liên tưởng 
đến BĐT đúng hiển nhiên: (√ √ )2 0, t R. Ta cĩ: (√ √ )2 0 ⇔ 3t2 - 2√ .t + 
2 0 ⇔ t 
 √ 
. Vậy t 
 √ 
 ( t R), áp dụng cho các số x, y, z ta cĩ: x 
 √ 
 ; y 
 √ 
 ; z 
 √ 
 x + y + z 
 ( ) 
 √ 
 = √ hay (1) đúng. Dấu “=” xảy ra khi x = y = z 
= √
 a = b = c = 1/3 . 
Bài viết của: Trần Tuấn Anh (cử nhân Toán). 
Điện thoại: 0974.484858. 
Email: TranTuanAnh858@gmail.com 
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com