Đề tài Giúp học sinh quy các bài toán phức tạp về bài toán đơn giản đã học

I. Đặt Vấn đề
	Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng hoặc lên một mặt phẳng cho trước là bài toán cơ bản của học sinh trung học phổ thông. Trong khi đó dạng toán tìm cực trị hình học thì học sinh gặp lúng túng trong cách tìm lời giải cũng như phương pháp giải bài toán dạng này. Vì vậy trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn áp dụng tìm hình chiếu của một điểm để giải một số dạng toán cực trị hình học.
	Phương pháp này giúp học sinh quy các bài toán phức tạp về bài toán đơn giản đã học. Tạo hứng thú trong cách tìm lời giải rèn luyện tư duy lô gíc phát triển khả năng sáng tạo trong việc tìm lời giải cho một bài toán.
II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
	Sau đây tôi đưa ra một số dạng toán cực trị hình học áp dụng phương pháp tìm hình chiếu của một điểm để giải bài toán. Để cho đơn giản tôi đưa ra một ví dụ cụ thể từ đó tổng quát hoá bài toán và nêu hướng dẫn lời giải để từ đó phát triển tư duy cho học sinh.
Bài toán 1: Cho đường thẳng d: x - 2y - 2 = 0 và 2 điểm A(0;1) và B(3;4). Tìm điểm M trên d sao cho là nhỏ nhất.
Lời giải
	Ta có và 
 	Từ đó tìm điểm C cố định sao cho .
 áp dụng đẳng thức véc tơ từ đó tìm được điểm C(2;3).
 Khi đó 
 Vậy là nhỏ nhất khi và chỉ khi là nhỏ nhất. 
Suy ra M là hình chiếu vuông góc của C trên d.
 áp dụng phương pháp tìm toạ độ hình chiếu suy ra .
Tổng quát : Cho một đường thẳng d và 2 điểm A và B phân biệt cố định.Tìm điểm M trên d sao cho là nhỏ nhất (với a và b là 2 số thực).
Hướng dẫn 
	Nếu a = 0 thì = = khi đó M là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng d.
	Nếu thì = . Nếu đúng với mọi M trên đường thẳng d vì khi đó = là không đổi. 
Nếu khi đó ta tìm điểm C cố định sao cho .(áp dụng đẳng thức véc tơ dễ dàng tìm được toạ độ điểm C). Khi đó =. 
Vậy M là hình chiếu vuông góc của C lên d.
Bài toán 2: Cho đường thẳng d: x - 2y - 2 = 0 và 2 điểm A(0;1) và B(3;4). Tìm điểm N trên d sao cho (2NA2 + NB2) là nhỏ nhất.
Lời giải
 Cộng lại ta được .
Từ đó ta tìm điểm C cố định sao cho suy ra C(1;2) .
Vậy (2NA2 + NB2) = 3NC2 + 2CA2 + CB2 nhỏ nhất khi và chỉ khi N là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng d. 
Từ đó ta tìm được N(2;0)
Tổng quát: Cho đường thẳng d và 2 điểm A và B phân biệt cố định. Tìm điểm N trên d sao cho (aNA2 + bNB2) là nhỏ nhất với a và b là 2 số thực không âm .
Hướng dẫn 
	Nếu b = 0 thì (aNA2 + bNB2) = bNB2 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi N là hình chiếu vuông góc của điểm B lên đường thẳng d.
	Nếu thì . 
	. 
 Khi đó tìm điểm C cố định sao cho .
 áp dụng đẳng thức véc tơ ta tìm được toạ độ điểm C.
 Khi đó 
Từ đó (aNA2 + bNB2) là nhỏ nhất khi và chỉ khi N là hình chiếu vuông góc của điểm C lên đường thẳng d.
Bài toán 3: Cho mặt phẳng (R): 3x - 3y - 2z - 9 = 0 và 2 điểm A(1;4;5) và B(0;3;1) . Tìm P trên (R) sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
	 và .
Cộng từng vế ta được 
Từ đó tìm điểm C cố định sao cho suy ra 
Vậy . Từ đó điểm P là hình chiếu vuông góc của điểm C lên mặt phẳng (R). 
áp dụng phương pháp tìm toạ độ hình chiếu suy ra 
Tổng quát: Cho mặt phẳng (R) và 2 điểm A và B phân biệt cố định. Tìm P trên (R) sao cho thoả mãn đạt giá trị nhỏ nhất. (Với a và b là 2 số thực)
Hướng dẫn 
	Nếu a = 0 thì = = khi đó P là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (R).
	Nếu thì = .
 Nếu đúng với mọi P trên (R) vì là số không đổi. 
 Nếu khi đó ta tìm điểm C cố định sao cho .
áp dụng đẳng thức véc tơ từ đó ta tìm được toạ độ điểm C. 
Khi đó =đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm P là hình chiếu vuông góc của điểm C lên mặt phẳng (R).
Bài toán 4: Cho mặt phẳng (R): 3x - 3y - 2z - 15 = 0 và 3 điểm A(1;4;5); B(0;3;1) và C(2;-1;0). Hãy tìm điểm Q nằm trên (R) sao cho (QA2+ QB2 + QC2) đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải
Cộng từng vế lại 
Ta tìm điểm D cố định sao cho . 
Suy ra được điểm D(1;2;2) 
Vậy nhỏ nhất khi và chỉ khi Q là hình chiếu vuông góc của điểm D lên mặt phẳng (R).
 Từ đó ta tìm được điểm Q(4;-1;0).
Tổng quát: Cho mặt phẳng (R) và n điểm A1; A2; ...; An phân biệt và cố định. Hãy tìm Q nằm trên (R) sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn 
	Tìm điểm D cố định sao cho .
	Từ đó 
 Vậy nhỏ nhất khi Q là hình chiếu vuông góc của điểm D lên mặt phẳng (R).
 áp dụng phương pháp tìm hình chiếu ta tìm được toạ độ điểm Q.
III. Kết Luận
	Qua công tác giảng dạy theo cách trên tôi thấy học sinh dễ hiểu và hứng thú trong việc tìm lời giải phát huy được trí lực của học sinh. Quy các bài toán lạ về các bài toán quen thuộc đã học. Từ đó tạo hứng thú tìm tòi lời giải cũng như tổng quát hoá một bài toán hoặc cụ thể hoá bài toán đã cho.
	Trên đây là một vài kinh nghiệm tôi tích luỹ được trong những năm tôi dạy học. Mong rằng các cấp lãnh đạo đóng góp ý kiến để kinh nghiệm của tôi ngày càng hoàn thiện hơn.
	Tôi xin chân thành cảm ơn !
Trường THPT Bình Minh
Hiệu trưởng
 Vũ Văn Chức
Bình Minh, ngày 25 tháng 5 năm 2008
Người viết
Nguyễn Văn Hoà