Đề tài Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH TRÀ VINH
TRƯỜNG PT DÂN TỘC NỘI TRÚ TRÀ VINH
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học 2007 – 2008
.. .
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
Người viết: CHUNG THUẬN THIÊN
A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Để giải được một bài toán thì điều quan trọng nhất là chúng ta phải lựa chọn được phương pháp để giải bài toán đó. Các bài toán đặc biệt là các bài toán về bất đẳng thức rất đa dạng và phong phú vì thế các phương pháp để chứng minh bất đẳng thức rất nhiều ; việc lựa chọn phương pháp để chứng minh một bất đẳng thức là rất khó khăn. Đối với học sinh THPT đa số các em ngại khi gặp các bài toán về bất đẳng thức nhưng các em học khá, giỏi thì lại rất thích thú và say mê với các bài toán về bất đẳng thức . Các bài toán về bất đẳng thức thì giường như là không thể thiếu trong các đề thi đại học, cao đẳng
đề thi học sinh giỏi.
 Bất đẳng thức là vấn đề được rất nhiều người yêu toán quan tâm. Tôi cũng là một người yêu toán vì thế Tôi luôn luôn học hỏi và tìm kiếm các phương pháp để chứng minh bất đẳng thức. Sau khi chứng minh được một bất đẳng thức Tôi luôn đặt câu hỏi :” Tại sao lại có bất đẳng thức này ; Liệu từ bất đẳng thức này có thể xây dựng được các bất đẳng thức khác có liên quan hay không ?”. Sau khi cùng học sinh giải được một bài toán đặc biệt là bài toán bất đẳng thức Tôi luôn khuyến khích và yêu cầu các em xây dựng các bất đẳng thức mới có liên quan bất đẳng thức . Cách làm này giúp các em học sinh nhìn nhận bài toán một cách sâu sắc hơn đồng thời phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Việc ra các đề bài toán rất quan trọng trong quá trình giảng dạy môn Toán
 Vì vậy tôi chọn đề tài: “ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ”
B. NỘI DUNG
CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN :
nếu m > 0
nếu m < 0
nếu m > 0
nếu m < 0
. BÀI TOÁN: Xét bài toán: với điều kiện R ( nếu có )
 Chứng minh rằng : p = f( x, y, z,) A ( hoặc )
Phương pháp giải:
	+ Chứng minh với 
+ Chứng minh với 
Vấn đề đặt ra là đánh giá biểu thức p để đưa về biểu thức một biến g(t) và chứng minh 
 - Việc chứng minh ở đây tôi chỉ sử dụng cách biến đổi ( dự đoán dấu bằng xảy ra ), ngoài ra đối với học sinh lớp 12 có thể làm một cách nhanh chóng hơn bằng cách sử dụng đạo hàm, lập bảng biến thiên để giải .
 - Còn đánh giá p nói chung là phong phú tùy thuộc từng bài toán lựa chọn đánh giá thích hợp ( dùng cách biến đổi, sử dụng bất dẳng thức cổ điển bunhiacopki, côsi...).
Kiến thức bổ sung
1. Bất đẳng thức cơ bản:
a). Bất đẳng thức Côsi : 
Cho số không âm. Khi đó:
 đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
b). Bất đẳng thức bunhiacopxki :
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
c). Bất đẳng thức svac – xơ ( hệ quả của bất đẳng thức bunhiacopxki ) :
Với là số dương :
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
2.Tính chất;
a). Nếu p có giá trị không đổi khi ta hoán vị vòng quanh các biến x,y,zchẳng
hạn p = f(x, y, z ) = f ( y, x, z ) = f( z, x, y ).
Khi đó không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x = Max( x, y, z,) 
hoặc x = Min( x, y, z,) 
I. MỘT BIẾN LÀ ẨN PHỤ t = h( x, y, z)
 Sau đây là một số bài toán ví dụ mở đầu
Bài toán 1: Với x, y là số dương . Chứng minh rằng: 
	Hướng dẫn:
 Vì x là số dương nên: 
 . Đặt thì 
(1) trở thành 
	 đúng với mọi đpcm
Tổng quát ta có bài toán sau:
 Cho x, y là số dương . Chứng minh rằng : 
 Chứng minh hoàn toàn tương tự như bài toán 1
 Bài toán 2: Với x, y khác không chứng minh rằng:
	Hướng dẫn.
 Đặt thì ( áp dụng bất đẳng thức Côsi )
Khi đó (2) trở thành :
+) Với : Ta có 
 Nên bất đẳng thức đúng 
+) Với : Ta có 
 Và t + 2 0 nên bất đẳng thức đúng 
Vậy bất đẳng thức đúng , dấu bằng xảy ra khi t = - 2 hay x = - y đpcm
 Bài toán 3: Với x, y, z là số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức 
	- Nhận xét : Dự đoán dấu giá trị LN, NN đạt được khi x = y = z hoặc tại các điểm biên, Thử vào ta có phán đoán 
	Hướng dẫn.
Từ đẳng thức 
 và điều kiện ta có:
Đặt 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy khi hoặc hoán vị
 khi hoặc hoán vị
 Sau đây ta xét một ví dụ mà phải đánh giá biểu thức P mới thấy được ẩn phụ
 Bài toán 4: Cho . Chứng minh rằng: 
	Hướng dẫn.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
Đặt 
Vậy 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi đpcm
Tổng quát ta có bài toán : Cho là số dương :
Chứng minh rằng : 
Sơ lược lời giải :
Nhận xét 1:
	- Từ bài toán ta có: Đặc biệt hóa
 1. Với a = 1; b = 4; n = 3; k = ta có bài toán :
Cho . Chứng minh rằng: 
Kết hợp bất đẳng thức bunhiacopxki ta có 
Bài toán 2’: Cho .
 Cmr: 
Thật vậy: Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có :
Tương tự sau đó cộng lại kết hợp bài toán trên ta suy ra điều phải chứng minh
 Với a = 1; b = 9; n = 3; k = 1 kết hợp bất đẳng thức bunhiacopxki ta có bài toán
 Cho .Cmr: 
 2. Với a = - 1; b = 1; n = 2; k = ta có bài toán: 
 Cho . Chứng minh rằng: 
Bằng cách thay đổi giả thiết, đặt ẩn phụ ta có Bài toán 2”:
Cho . Chứng minh rằng: 
Thật vậy: Bằng cách đặt : và kết hợp bất đẳng thức bunhiacopxki và bài toán trên ta suy ra điều phải chứng minh
Tổng quát : Cho là số dương :
. 
Chứng minh rằng:
Chứng minh hoàn toàn tương tự như trên !
- Nếu đổi chiều của bất đẳng thức ở điều kiện(bài toán (*)) thì bài toán thay đổi như thế nào ?
 Trả lời câu hỏi này ta có bài toán mới :
Cho là số dương :
Chứng minh rằng : 
Từ bài toán (**) ta có thể khai thác ta được những bài toán mới khá thú vị.
Như vậy khi làm một bài toán ta có thể dùng hoạt động trí tuệ để khai thác sâu bài toán ở trên có một chu kì hoạt động khá hay đó là : 
Bài toán cụ thể tổng quát đặc biệt ( phân tích, so sánh ) bài toán mớitổng quát (chú ý tổng quát có nhiều hướng: theo hằng số, theo số biến hoặc số mũ)
Bài toán 5: Với x, y, z là số dương và 
Chứng minh rằng: 
 Hướng dẫn.
Đặt 
Bài toán trở thành : a, b, c là số dương và 
	Chứng minh rằng : 
Áp dụng bất đẳng thức Svac – xơ ta có: 
Bình phương hai vế bất đẳng thức: 
( Vì )
Đặt thì ( vì )
Ta có: 
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1điều phải chứng minh
Tổng quát : ta có bài toán sau: với là số dương và 
Cmr: 
Bài toán 6: Cho . Cmr: 
 Nhận xét: Ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức Svac – xơ nhưng ở đây chiều bất đẳng thức lại ngược. Một ý nghĩ nảy sinh là biến đổi P để làm đổi chiều bất đẳng thức ?
 Hướng dẫn.
Đặt từ điều kiện 
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki và Côsi ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = đpcm
Khi gặp bài toán có điều kiện phức tạp khó sử dụng thì xử lí điều kiện. Ta xét bài toán sau:
Bài toán 7: Cho Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: nên
Đặt t = x + y + z thì 0 < t < 3 . Khi đó :
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hay x = y = z = đpcm
Nhận xét 2: từ ý tưởng phương pháp giải ở trên ta có thể sáng tạo các bất đẳng thức :
Chẳng hạn : Từ bất đẳng thức Côsi
Cho x, y là số dương. Chứng minh rằng : 
Cho x, y, z là số dương không lớn hơn 1. Chứng minh rằng :
Từ đó ta có bài toán Tổng quát : ( chú ý câu b chặt hơn câu a )
 Cho là số dương khôg lớn hơn . Chứng minh rằng:
 Hướng dẫn.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
Bất đẳng thức trở thành : 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
Kết hợp điều kiện bài toán nên bất đẳng thức (*) đúng 
Ngoài ra từ cách chứng minh ta có bất đẳng thức chặt hơn sau:
 Cho là số dương khôg lớn hơn a. Chứng minh rằng:
Chứng minh hoàn toàn tương tự như tổng quát trên !
Từ đẳng thức, bất đẳng thức cơ bản , đơn giản ta có thể tạo vô số bài toán !
Để kết thúc phần I tôi xin đưa thêm một số bài toán làm theo phương pháp này :
************* Một số bài toán ************
. Cho . Chứng minh rằng : 
. Cho . Chứng minh rằng : 
 Hướng dẫn : Từ bất đẳng thức bunhiacopxki , Svac – xơ và đẳng thức:
. Cho x, y, z nằm trong đoạn Cmr : 
. Cho . Chứng minh rằng: 
. Cho . Chứng minh rằng: 
. Chứng minh rằng: với mọi x, y thuộc R
HD: đặt t = 
. Cho . 
Chứng minh rằng: 
 HD: đặt t = 
	. Cho . Chứng minh rằng: 
 	HD: Giả sử . Đặt t = x( y + z ) ta chúng minh được 
Cho . Chứng minh rằng: 
. Cho 
Chứng minh rằng: 
Nhận xét 3: 
Nếu chứng minh g(t) bằng cách biến đổi như trên thì trước tiên phải dự đoán được dấu bằng xảy ra tại đâu để giá hay tách nhóm hợp lý.
Khi đặt ẩn phụ thì phải tìm điều kiện sát của ẩn phụ đặc biệt là chứng minh g(t) bằng phương pháp đạo hàm.
II. MỘT BIẾN LÀ x( y hoặc z)
 - Ở ví dụ trên thì chúng ta phải làm xuất hiện ẩn phụ, sau đây ta xét một lớp bài toán mà ẩn phụ chính là x hoặc y hoặc z
	1. Đưa về một biến nhờ điều kiện :
 Bài toán 8: Cho . Chứng minh rằng: 
 Hướng dẫn.
Từ điều kiện bài toán ta thấy 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 
Với mọi z, 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = đpcm
 Bài toán 9: Cho . Chứng minh rằng: 
 Hướng dẫn. 
Không mất tính tổng quát giả sử z = min(x,y,z)
Từ điều kiện dễ thấy 
 Đúng với . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1đpcm
Nhận xét 4:
Nếu lấy điều kiện thì bất đẳng thức đánh giá biểu thức trên là không đúng. Ở đây chúng ta sử dụng tính chất 1 để làm hạn chế điều kiện của biến để có thể đánh giá được biểu thức.
Ta có bài toán Tổng quát của bài toán 9 sau: 
Bài toán 9’. Cho 
Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn.
Không mất tính tổng quát giả sử z = min(x,y,z)
Từ điều kiện dễ thấy . Ta có:
Chú ý: Nếu thì việc chứng minh bài toán tổng quát không cần sử dụng tính nhất 1
 Thay đổi hình thức bài toán:
Sử dụng đẳng thức ta có thể đưa bài toán trên về bài toán tương đương nhưng hình thức khác:
Chẳng hạn bài toán 9 có thể phát biểu dưới dạng tương đương :
Cho . Chứng minh rằng: 
Hay sử dụng đẳng thức: 
Bài toán 9 có thể phát biểu dưới dạng :
Cho . Chứng minh rằng: 
 - Đặt ẩn phụ : a = mx; b = my; c = mz hoặc 
Chẳng hạn : bài toán 9 có thể phát biểu dưới dạng tương đương
	 Cho . Chứng minh rằng: 
	 Cho .Chứng minh rằng:
Sử dụng tính chất bắc cầu và bất đẳng thức ta có:
Chẳng hạn bài 9: Từ bất đẳng thức Côsi: 
Ta có bài toán . Chứng minh rằng: 
 Từ cách chứng minh bài toán tổng quát trên ta có bài toán Tương tự:
Bài toán 9”. Cho .
Chứng minh rằng: 
Chú ý: Để chứng minh : sử dụng Tính chất 1 với z = max(x,y,z)
Đặc biệt hóa ta có bài toán:
Với a = 1; b = - 2: Cho . Chứng minh rằng: 
 Sau đây ta xét tiếp một số bài toán sử dụng tính chất này để làm hạn chế phạm vi của biến:
 Bài toán 10: Cho . Chứng minh rằng: 
 Hướng dẫn.
Không mất tính tổng quát, giả sử z = max ( x,y,z)
Từ điều kiện . Ta có:
Với 
Dấu bằng xảy ra khi ( x,y,z ) = ( 0, 1, 2) và hoán vị của nó đpcm
 Bài toán 11: Cho . Chứng minh rằng: 
 Hướng dẫn.Ta có :
Do đó trong ba số ; ; có ít nhất 1 số không âm.
Giả sử . Ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 điều phải chứng minh
	Bằng cách sử dụng tính chất ta có thể tạo ra các bài toán mới
 chẳng hạn. Cho . Chứng minh rằng: 
************* Một số bài toán ************
	. Cho . 
 Chứng minh rằng: 
	. Cho . Chứng minh rằng: 
	. Cho . Chứng minh rằng: 
 HD: Giả sử ta đi chứng minh 
	. Cho. Chứng minh rằng: 
 Hướng dẫn.
Giả sử x = max(x,y,z)
 Câu b tương tự !
	. Cho . Chứng minh rằng: 
2. Đưa dần về một biến: 
Từ biểu thức P có n biến ta đánh giá đưa về ( n - 1) biến  và cuối cùng về 1 biến . Sau đây ta xet một số ví dụ đặc trưng thể hiện phương pháp này:
 Bài toán 12: Cho x, y, z nằm trong đoạn 
 Chứng minh rằng: 
 Hướng dẫn.
Đặt 
Không mất tính tổng quát giả sử : 
Vì : nên 
Mặt khác : 
Vì: 
nên 
Vậy 
Dấu bằng bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x, y, z) = ( 2, 1, 1)
 và hoán vị của (2, 1, 1) 
 điều phải chứng minh
 Bài toán 13: ( đây là bài toán số 9 )
 Cho . Chứng minh rằng: 
 Hướng dẫn 
Đặt P( x, y, z) = 2( xy + yz + zx ) – xyz
Ta cần chứng minh . Do vai trò của x, y, z trong f là như nhau nên theo tính chất 2 ta giả sử kết hợp điều kiện ta dễ dàng suy ra 
Xét :
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 điều phải chứng minh.
 Bài toán 14: Cho x, y, z là số dương . Chứng minh rằng : 
 Hướng dẫn.
Không mất tính tổng quát , giả sử 
Đặt 
Ta có: 
Mặt khác: Đặt 
Vậy 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 điều phải chứng minh.
Nhận xét : 
- Khi đưa biểu thức 3 biến về 2 biến hay 1 biến thường xét hiệu biểu thức của bất đẳng thức và biểu thức đó với x ( hoặc y hoặc z ) thay bởi trung bình nhân hoặc trung bình cộng
- thường ta phải sử dụng tính chất 2 mới có đánh giá được.
************* Một số bài toán ************
	II. Cho 
 Chứng minh rằng : 
II. Cho 
	Chứng minh rằng : 
II. Cho 
	Chứng minh rằng : 
II. Cho . Chứng minh rằng : 
II. Cho . Chứng minh rằng : 
II. Cho x, y, z là số dương chứng minh rằng :
II. Cho 
	Chứng minh rằng : 
II. Cho 
	Chứng minh rằng : 
II. Cho 
	Chứng minh rằng : 
III. KHAI THÁC PHƯƠNG PHÁP TRONG LƯỢNG GIÁC 
 Ở trên là những bất đẳng thức trong đại số. Vậy trong lượng giác liệu có thể đánh giá không ? sau đây ta xét một số ví dụ trong lượng giác.
 Bài toán 15: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có :
 Hướng dẫn.
Đặt 
Ta có:
Áp dụng bất đẳng thức côsi :
(15’)
 đúng với mọi t > 0 
Vì vậy 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 điều phải chứng minh.
 Bài toán 16: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
 Hướng dẫn.
 +). Nếu tam giác có góc vuông hoặc góc tù thì bất đẳng thức luôn đúng
 +). Nếu tam giác là nhọn, ta có:
Ta có :
Vì tam giác nhọn nên (16’’) luôn đúng . Do đó (16) đúng
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 điều phải chứng minh.
 * Trong tam giác ABC ta có điều kiện là 
Nên gợi ý cho chúng ta sử dụng tính chất 1 để làm hạn chế vi biến từ đó có thể đánh giá được biểu thức.
Sau đây là một ví dụ :
 Bài toán 17: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có :
 Hướng dẫn.
Khi hoán vị ( A, B, C ) thì bđt ( 17) không thay đổi do đó không mất tính tổng quát
Giả sử : A = min ( A, B, C ). Vì .
 Nên 
 Vì 
Mặt khác nên
trong đó . Vì vậy 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 điều phải chứng minh.
 Bài toán 18: Chứng minh rằng trong mọi tm giác ABC ta đều có:
 Hướng dẫn.
Khi hoán vị ( A, B, C ) thì bất đẳng thức ( 18) không thay đổi do đó không mất tính tổng quát. Giả sử A = max( A, B, C )
Khi đó . Xét :
Từ ( 18’ ) ta có : và nên
Vì vậy: 
Dấu bằng xảy ra khi 
 điều phải chứng minh.
************* Một số bài toán ************
Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có:
III. Nếu tam giác ABC nhọn :
III. 
III. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có: 
III. 
III. 
III. 
III. 
III. Nếu tam giác ABC không phải là tam giác tù thì :
Nhận xét 5: Ta có thể chuyển bất đẳng thức có điều kiện trong đại số sang lượng giác bằng cách :
*) Từ đẳng thức lượng giác cơ bản :
	+) Từ đẳng thức :
Kết hợp bài toán . Cho . Chứng minh rằng: 
Chứng minh bài này tượng tự bài toán 11 ( hoặc sử dụng đưa về một biến )
Từ ( 1) bằng cách trình đặt :
Ta được bài toán tương đương bài này : Cho tam giác ABC nhọn :
Chứng minh rằng : 
Tương tự ta có : 
 +) Từ đẳng thức : và
 bài toán 11: 
Cho . Chứng minh rằng: 
Đặt x = 2cosA ; y = 2cosB ; z = 2cosC ta có bài toán:
Chứng minh rằng với tam giác ABC nhọn thì:
Đây là bài toán khá hay.
*) Từ bất đẳng thức lượng giác cơ bản :
Ta xét bài toán 9: 
Dễ thấy từ cách chúng minh có thể thay điều kiện của bài toán như sau: 
Cho 
Chứng minh rằng : 
Đặc biệt hóa: ta có bài toán :
 1. a = -2; b = 1. Chứng minh rằng : 
 2. a = -4; b = 3. Chứng minh rằng : 
Kết hợp bất đẳng thức cơ bản trong lượng giác chẳng hạn 
 1. ta có bài toán :
Cho tam giác ABC nhọn . Chứng minh rằng :
 2. ta có bài toán :
Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC thì :
Tượng tự đối với tang , cotang và các bài toán khác
Chú ý: Giải bài toán đại số thông qua giải lượng giác người ta gọi là phương pháp
 lượng giác hóa. Làm ngược lại gọi là phương pháp đại số hóa.
C. KẾT LUẬN
	Trên đây là một trích dẫn về sự vận dụng phương pháp đưa về một biến trong vấn đề chứng minh bất đẳng thức.
	Đề tài này đã được bản thân tôi thí điểm cho các em học sinh có học lực khá trở lên, kết quả thu được rất khả quan, các em học một cách say mê hứng thú. Một số em đã đạt được những thành tích tốt trong học tập. Vì tác dụng tích cực trong học tập trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi nên kính mong quý thầy cô và đồng nghiệp góp ý bổ sung để đề tài ngày một hoàn thiện hơn, có ứng dụng hơn trong quá trình dạy học ở nhà trường THPT
	Xin chân thành cảm ơn !
 Trà vinh, ngày 28 tháng 3 năm 2008
 Người thực hiện
 CHUNG THUẬN THIÊN