Đề tài Một số phương pháp giải bài toán chia hết lớp 6

I. §Æt vÊn ®Ò
Cïng víi sù ph¸t triÓn cña ®Êt n­íc, sù nghiÖp gi¸o dôc còng ®æi míi kh«ng ngõng. C¸c nhµ tr­êng cµng chó träng ®Õn chÊt l­îng toµn diÖn bªn c¹nh sù ®Çu t­ thÝch ®¸ng cho gi¸o dôc. Víi vai trß lµ m«n häc c«ng cô,bé m«n To¸n ®· gãp phÇn t¹o ®iÒu kiÖn cho c¸c em häc tèt c¸c m«n khoa häc tù nhiªn kh¸c.
D¹y nh­ thÕ nµo ®Ó häc sinh kh«ng nh÷ng n¾m ch¾c kiÕn thøc c¬ b¶n mét c¸ch cã hÖ thèng mµ ph¶i ®­îc n©ng cao, ph¸t triÓn ®Ó c¸c em cã høng thó, say mª häc tËp lµ mét c©u hái mµ mçi thÇy c« chóng ta lu«n ®Æt ra cho m×nh.
§Ó ®¸p øng ®­îc yªu cÇu cña sù nghiÖp gi¸o dôc vµ nhu cÇu häc tËp cña häc sinh. Do vËy trong gi¶ng d¹y chóng ta ph¶i biÕt ch¾t läc néi dung kiÕn thøc, ph¶i ®i tõ dÔ ®Õn khã, tõ cô thÓ ®Õn trõu t­îng vµ ph¸t triÓn thµnh tæng qu¸t gióp häc sinh cã thÓ ph¸t triÓn t­ duy To¸n häc.
B¶n th©n t«i trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu ch­¬ng tr×nh líp 6 cò vµ míi t«i nhËn thÊy phÐp chi hÕt lµ mét ®Ò tµi thËt lý thó, phong phó vµ ®a d¹ng kh«ng thÓ thiÕu ë m«n sè häc líp 6.
B. Gi¶i quyÕt vÊn ®Ò
 I. Tr­íc tiªn lµ häc sinh ph¶i n¾m v÷ng ®Þnh nghÜa phÐp chia hÕt, c¸c dÊu hiÖu chia hÕt còng nh­ c¸c tÝnh chÊt vÒ quan hÖ chia hÕt.
 1. §Þnh nghÜa: 
 Cho hai sè tù nhiªn a vµ b, trong ®ã b ¹ 0, nÕu cã sè tù nhiªn x sao cho 
b.x = a th× ta nãi a chia hÕt cho b vµ ta cã phÐp chia hÕt a : b = x.
 2. C¸c dÊu hiÖu chia hÕt:
a. DÊu hiÖu chia hÕt cho 2:
Mét sè chia hÕt cho 2 khi vµ chØ khi ch÷ sè tËn cïng cña sè ®ã lµ sè ch½n.
b. DÊu hiÖu chia hÕt cho 3(hoÆc 9):
Mét sè chia hÕt cho 3(hoÆc 9) khi vµ chØ khi tæng c¸c ch÷ sè cña sè ®ã chia hÕt cho 3(hoÆc 9).
Chó ý: Mét sè chia hÕt cho 3(hoÆc 9) d­ bao nhiªu th× tæng c¸c ch÷ sè cña nã chia cho 3(hoÆc 9) còng d­ bÊy nhiªu vµ ng­îc l¹i.
c. DÊu hiÖu chia hÕt cho 5:
Mét sè chia hÕt cho 5 ch÷ sè cña sè ®ã cã tËn cïng b»ng 0 hoÆc b»ng 5.
d. DÊu hiÖu chia hÕt cho 4(hoÆc 25):
Mét sè chia hÕt cho 4(hoÆc 25) khi vµ chØ khi hai ch÷ sè tËn cïng cña sè ®ã chia hÕt cho 4(hoÆc 25).
e. DÊu hiÖu chia hÕt cho 8(hoÆc 125):
Mét sè chia hÕt cho 8(hoÆc 125) khi vµ chØ khi ba ch÷ sè tËn cïng cña sè ®ã chia hÕt cho 8(hoÆc 125).
 f. DÊu hiÖu chia hÕt cho 11:
Mét sè chia hÕt cho 11 khi vµ chØ khi hiÖu gi÷a tæng c¸c ch÷ sè hµng lÎ vµ tæng c¸c ch÷ sè hµng ch½n(tõ tr¸i sang ph¶i) chia hÕt cho 11.
3. TÝnh chÊt cña quan hÖ chia hÕt:
+ 0 chia hÕt cho b víi b lµ sè tù nhiªn kh¸c 0.
+ a chia hÕt cho a víi mäi a lµ sè tù nhiªn kh¸c 0.
+ NÕu a chia hÕt cho b vµ b chia hÕt cho a th× a = b.
+ NÕu a chia hÕt cho b vµ b chia hÕt cho c th× a chia hÕt cho c.
+ NÕu a chia hÕt cho b vµ a chia hÕt cho c mµ (b,c) = 1 th× a chia hÕt cho (b.c).
+ NÕu a.b chia hÕt cho c vµ (b,c) = 1 th× a chia hÕt cho c.
+ NÕu a chia hÕt cho m th× k.a chia hÕt cho m víi mäi k lµ sè tù nhiªn.
+NÕu a chia hÕt cho m, b chia hÕt cho m th× (a b) chia hÕt cho m.
+ NÕu a chia hÕt cho m, b kh«ng chia hÕt cho m th× (a b) kh«ng chia hÕt cho m.
+ NÕu a chia hÕt cho m vµ b chia hÕt cho n th× (a.b) chia hÕt cho (m.n).
+ NÕu (a.b) chia hÕt cho m vµ m lµ sè nguyªn tè th× a chia hÕt cho m hoÆc b chia hÕt cho m.
+ NÕu a chia hÕt cho m th× chia hÕt cho m víi n lµ sè tù nhiªn.
+ NÕu a chia hÕt cho b th× chia hÕt cho víi n lµ sè tù nhiªn.
II. Khi häc sinh ®· n¾m ch¾c c¸c vÊn ®Ò nªu trªn th× gi¸o viªn cã thÓ ®­a ra mét vµi ph­¬ng ph¸p th­¬ngf dïng ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n chia hÕt: 
Ph­¬ng ph¸p 1: Dùa vµo ®Þnh nghÜa phÐp chia hÕt.
§Ó chøng minh a chia hÕt cho b( b ¹ 0) ta biÓu diÔn sè a d­íi d¹ng mét tÝch c¸c thõa sè, trong ®ã cã mét thõa sè b»ng b( hoÆc chia hÕt cho b).
VÝ dô 1: Chøng minh r»ng (3n)100 chia hÕt cho 81 víi mäi sè tù nhiªn n.
Gi¶i: Ta cã (3n)100 = 31000. n1000 = 34.3996.n1000 = 81.3996.n1000. 
V× 81 chia hÕt cho 81 nªn 81.3996.n1000 chia hÕt cho 81.
 (3n)1000 chia hÕt cho 81.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng : 165 + 215 chia hết cho 33
Giải :
Ta có : 165 + 215 = (24)5 + 215 = 220 + 215 = 215(25+1) = 215 . 33
Vì 33 chia hết cho 33 à 215 . 33 chia hết cho 33
Vậy 165 + 215 chia hết cho 33.
Ph­¬ng ph¸p 2: Dùa vµo tÝnh chÊt cña quan hÖ chia hÕt.
* Dïng tÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng, hiÖu:
- §Ó chøng minh a chia hÕt cho b(b ¹ 0) ta biÓu diÔn sè a d­íi d¹ng mét tæng cña nhiÒu sè h¹ng råi chøng minh tÊt c¶ c¸c sè h¹ng ®ã ®eÌu chia hÕt cho b.
- §Ó chøng minh a kh«ng chia hÕt cho b ta biÓu diÔn sè a thµnh tæng cña c¸c sè h¹ng råi chøng minh mét sè h¹ng kh«ng chia hÕt cho b cßn tÊt c¶ c¸c sè h¹ng cßn l¹i ®Òu chia hÕt cho b.
VÝ dô 3: Khi chia mét sè cho 255 ta ®­îc sè d­ lµ 170. Hái sè ®ã cã chia hÕt cho 85 kh«ng? V× sao? 
 Gi¶i: Gäi sè ®ã lµ a (a lµ sè tù nhiªn).
V× a chia cho 255 cã sè d­ lµ 170 nªn a = 255.k + 170 (k lµ sè tù nhiªn).
Ta cã: 	 255 chia hÕt cho 85 nªn 255.k chia hÕt cho 85.
	170 chia hÕt cho 85.
 (255.k + 170) chia hÕt cho 85 (TÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng).
 Do vËy a chia hÕt cho 85.
VÝ dô 4: Chøng minh r»ng tæng cña ba sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 3.
 Gi¶i: Gäi ba sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ: a, a + 1, a + 2.
Tæng cña ba sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ a + a + 1 + a + 2 = (a + a + a) + (1 + 2) 
 = (3a + 3) chia hÕt cho 3 (TÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng).
Tõ bµi tËp, nµy gi¸o viªn cã thÓ ®­a häc sinh vµo t×nh huèng : Cã ph¶i tæng cña n sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n lu«n chia hÕt cho n hay kh«ng?
Qua ®ã gîi trÝ tß mß, ®­a häc sinh vµo t×nh huèng cã vÊn ®Ò cÇn ph¶i gi¶i quyÕt. Sau ®ã gi¸o viªn gîi ý cho häc sinh, ®Ó tr¶ lêi c©u hái nµy, c¸c em cÇn lµm bµi tËp sau:
VÝ dô 5: Tæng cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã chia hÕt cho 4 hay kh«ng ?
Gi¶i: Gäi 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ a, a + 1, a + 2, a + 3.
Tæng cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ:
a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = (a + a + a + a) + (1 + 2 + 3) = (4a + 6). 
Do 4 chia hÕt cho 4 nªn 4a chia hÕt cho 4 mµ 6 kh«ng chia hÕt cho 4 nªn 
(4a + 6) kh«ng chia hÕt cho 4.
 Tæng cña 4 sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng chia hÕt cho 4.
Gi¸o viªn chèt l¹i: Tæng cña n sè tù nhiªn liªn tiÕp ch­a ch¾c ®· chia hÕt cho n.
* Dïng tÝnh chÊt chia hÕt cña mét tÝch:
§Ó chøng minh a chia hÕt cho b (b 0) ta cã thÓ chøng minh b»ng mét trong c¸c c¸ch sau:
+ BiÓu diÔn b = m.n víi (m, n) = 1. Sau ®ã chøng minh a chia hÕt cho m, a chia hÕt cho n.
+ BiÓu diÔn a = a1.a2 , b = b1.b2 , råi chøng minh a1 chia hÕt cho b1 ; a2 chia hÕt cho b2 .
VÝ dô 6: Chøng minh (495a + 1035b) chia hÕt cho 45 víi mäi a , b lµ sè tù nhiªn.
 Gi¶i:
V× 495 chia hÕt cho 9 nªn 1980.a chia hÕt cho 9 víi mäi a.
V× 1035 chia hÕt cho 9 nªn 1035.b chia hÕt cho 9 víi mäi b.
Nªn: (495a + 1035b) chia hÕt cho 9.
Chøng minh t­¬ng tù ta cã: (1980a + 1995b) chia hÕt cho 5 víi mäi a, b.
Mµ (9, 5) = 1.
 (495a + 1035b) chia hÕt cho 45.
 VÝ dô 7: Chøng minh r»ng tÝch cña hai sè ch½n liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 8.
Gi¶i: 
Gäi hai sè ch½n liªn tiÕp lµ 2n, 2n + 2.
TÝch cña hai sè ch½n liªn tiÕp lµ: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1).
V× n, n + 1 kh«ng cïng tÝnh ch½n lÎ nªn n.(n + 1) chia hÕt cho 2.
Mµ 4 chia hÕt cho 4 nªn 4n.(n + 1) chia hÕt cho (4.2)
 4n.(n + 1) chia hÕt cho 8.
 2n.(2n + 2) chia hÕt cho 8.
Ph­¬ng ph¸p 3: Dïng ®Þnh lý vÒ chia cã d­.
§Ó chøng minh n chia hÕt cho p, ta xÐt mäi tr­êng hîp vÒ sè d­ khi chia n cho p.
 VÝ dô 8: Chøng minh r»ng:
 a. TÝch cña ba sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 3.
 b. TÝch cña bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho 4.
 Gi¶i: 
 a. Gäi ba sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ n, n +1, n + 2.
 TÝch cña ba sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ: n.(n + 1).(n + 2).
 Mét sè tù nhiªn khi chia cho 3 cã thÓ nhËn mét trong c¸c sè d­ 0; 1; 2.
 - NÕu r = 0 th× n chia hÕt cho 3 n.(n +1).(n +2) chia hÕt cho 3.
 - NÕu r = 1 thf n = 3k + 1 (k lµ sè tù nhiªn).
 	n + 2 = 3k + 1 + 2 = (3k + 3) chia hÕt cho 3.
 n.(n + 1).(n + 2) chia hÕt cho 3.
 - NÕu r = 2 th× n = 3k + 2 (k lµ sè tù nhiªn).
 n + 1 = 3k + 2 + 1 = (3k +3) chia hÕt cho 3.
 n.(n +1).(n +2) chia hÕt cho 3.
Tãm l¹i: n.(n +1).(n +2) chia hÕt cho 3 víi mäi n lµ sè tù nhiªn.
b. Chøng minh t­¬ng tù ta cã n.(n +1).(n +2).(n +3) chia hÕt cho 4 víi mäi n lµ sè tù nhiªn.
 Sau khi gi¶i bµi tËp nµy, gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh nªu bµi tËp nµy ë d¹ng tæng qu¸t.
Gi¸o viªn kh¾c s©u cho häc sinh: TÝch cña n sè tù nhiªn liªn tiÕp lu«n chia hÕt cho n.
III. Khi häc sinh ®· n¾m v÷ng c¸c ph­¬ng ph¸p th­êng dïng ®Ó chøng minh chia hÕt, gi¸o viªn cã thÓ ra mét sè bµi to¸n vÒ chia hÕt nh»m gióp häc sinh n¾m mét c¸ch cã hÖ thèng, ®­îc ®µo s©u c¸c kiÕn thøc vÒ phÐp chia hÕt.
Bµi 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè x, y ®Ó cã sè chia hÕt cho 36.
Gi¶i: V× (4, 9) = 1 nªn chia hÕt cho 36 chia hÕt cho 9 vµ chia hÕt cho 4.
 Ta cã: chia hÕt cho 4 5y chia hÕt cho 4 y Î .
 chia hÕt cho 9 (3 + 4 + x + 5 + y) chia hÕt cho 9.
 (9 + 13 + x + y) chia hÕt cho 9. Û (3 + x + y) chia hÕt cho 9
V× x, y Î N vµ 0 £ x; y £ 9 Nªn x + y thuéc 
 NÕu y = 2 th× x = 4 hoÆc x = 13 ( > 9 - Lo¹i ).
 NÕu y = 6 th× x = 0 hoÆc x = 9.
 VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ: 34452; 34056; 34956.
 Bµi 2: Cho c¸c ch÷ sè 0, a, b. H·y viÕt tÊt c¶ c¸c sè cã ba ch÷ sè t¹o bëi ba sè trªn. Chøng minh r»ng tæng tÊt c¶ c¸c sè ®ã chia hÕt cho 211.
 Gi¶i: 
 TÊt c¶ c¸c sè cã ba ch÷ sè t¹o bëi ba ch÷ 0, a, b lµ: .
 T æng cña c¸c sè ®ã lµ: 
 = 100a + b + 100a + 10b + 100b + 10a + 100b + a 
 = 211a + 211b = 211(a + b) chia hÕt cho 211.
 Bµi 3: T×m sè tù nhiªn n ®Ó (3n + 14) chia hÕt cho (n + 2).
 Gi¶i:
 Ta cã 5n + 14 = 5.(n + 2) + 4.
 Mµ 5.(n +2) chia hÕt cho (n +2).
 Do ®ã (5n + 14) chia hÕt cho (n +2) 4 chia hÕt cho (n + 2) (n + 2) lµ ­íc cña 4.
 (n +2) Î
 n Î.
 VËy víi n Î{0; 2} th× (5n + 14) chia hÕt cho (n +2).
 Bµi 4: T×m sè tù nhiªn n ®Ó lµ sè tù nhiªn .
 Gi¶i: §Ó lµ sè tù nhiªn th× (n + 15) chia hÕt cho (n + 3).
 [(n + 15) - (n + 3)] chia hÕt cho (n + 3).
 12 chia hÕt cho (n +3) .
 (n + 3) lµ ¦(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.
 n Î {0; 1; 3; 9}.
 VËy víi n Î {0; 1; 3; 9}th× lµ sè tù nhiªn.
 Bµi 5: Ph¶i viÕt thªm vµo bªn ph¶i sè 579 ba ch÷ sè nµo ®Ó ®­îc sè chia hÕt cho 5; 7; 9.
 Gi¶i:
Gi¶ sö ba sè viÕt thªm lµ .
Ta cã: chia hÕt cho 5.7.9 = 315.
MÆt kh¸c: = 579000 + = (315.1838 + 30 + ) chia hÕt cho 315.
Mµ 315.1838 chia hÕt cho 315 (30 + ) chia hÕt cho 315 Þ 30 + Î (315).
Do 100 £ £ 999 Þ 130 £ 30 + £ 1029 
Þ 30 + Î {315; 630; 945}.
 .
VËy ba sè cã thÓ viÕt thªm vµo lµ 285; 600; 915.
C. KÕt luËn
I / KÕt qu¶: 
Víi nh÷ng kinh nghiÖm võa tr×nh bµy ë trªn, sau nhiÒu n¨m d¹y To¸n 6, b¶n th©n thÊy: Khi d¹y phÇn chia hÕt trong tËp hîp sè tù nhiªn, häc sinh tiÕp nhËn kiÕn thøc mét c¸ch tho¶i m¸i, chñ ®éng, râ rµng, cã hÖ thèng, häc sinh ph¶i ph©n biÖt vµ nhËn d¹ng ®­îc c¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn phÐp chia hÕt vµ tõ ®ã hÇu hÕt gi¶i ®­îc c¸c bµi tËp phÇn nµy, xo¸ ®i c¶m gi¸c khã vµ phøc t¹p ban ®Çu lµ kh«ng cã quy t¾c gi¶i tæng qu¸t. Qua ®ã rÌn luyÖn cho häc sinh trÝ th«ng minh, s¸ng t¹o, c¸c phÈm chÊt trÝ tuÖ kh¸c vµ häc sinh còng thÊy ®­îc d¹ng to¸n nµy thËt phong phó chø kh«ng ®¬n ®iÖu, gióp häc sinh høng thó khi häc bé m«n nµy.
II / Bµi häc kinh nghiÖm:
PhÇn " PhÐp chia hÕt trong " ë líp 6 lµ mét néi dung quan träng bëi kiÕn thøc nµy cã liªn quan chÆt chÏ, nã lµ tiÒn ®Ò cho häc sinh häc tèt c¸c kÕn thøc vÒ sau vµ ®Æc biÖt øng dông cña nã rÊt nhiÒu. Do vËy, tr­íc hÕt chóng ta cÇn cho häc sinh n¾m thËt v÷ng ®Þnh nghÜa phÐp chia hÕt, c¸c dÊu hiÖu chia hÕt ®Æc biÖt lµ tÝnh chÊt cña quan hÖ chia hÕt bëi v× tÝnh chÊt nµy rÊt hay sö dông.
§Ó häc sinh n¾m v÷ng vµ høng thó häc tËp, chóng ta cÇn chän läc hÖ thèng bµi tËp theo møc ®é t¨ng dÇn tõ dÔ ®Õn khã. CÇn rÌn luyÖn nhiÒu vÒ c¸ch lËp luËn vµ tr×nh bµy cña häc sinh v× ®©y lµ häc sinh ®Çu cÊp.
Víi mçi d¹ng tuy kh«ng cã quy t¾c tæng qu¸t, song sau khi gi¶i gi¸o viªn nªn chØ ra mét ®Æc ®iÓm, mét h­íng gi¶i quyÕt nµo ®ã ®Ó khi gÆp bµi t­¬ng tù, häc sinh cã thÓ tù liªn hÖ ®­îc.
III. Kiến nghị đề xuất:
Vấn đề sách tham khảo ở trường THCS Lương Chí còn hạn chế cả về số lượng và chất lượng đầu sách , chưa đáp ứng đủ yêu cầu , của giáo viên và học sinh . Vì vậy cần đầu tư thêm.
Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện cho nhà trường được xây dựng thêm phòng học để chuyển về học một ca .
Với việc đổi mới phương pháp dạy học theo chiều hướng tích cực , phát huy tính độc lập của học sinh không thể trong chốc lát mà là cả một quá trình , lâu dài từng bước từ thấp đến cao . Mục tiêu cuối cùng là hướng dẫn học sinh biết cách giải toán , học toán và vận dụng toán học vào các bộ môn khác cũng như vào thực tế.
Trªn ®©y lµ mét vµi kinh nghiÖm nhá cña b¶n th©n t«i tù rót ra khi d¹y phÇn phÐp chia hÕt trong N. Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y ch¾c ch¾n ch­a thÓ hoµn h¶o ®­îc. RÊt mong nhËn ®­îc sù gãp ý ch©n t×nh cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp ®Ó nh÷ng n¨m häc tíi ®­îc tèt h¬n, ®¸p øng víi yªu cÇu cña sù nghiÖp gi¸o dôc n­íc nhµ.
 Ngµy 10 th¸ng 4 n¨m2008
 Ng­êi viÕt
Bùi Thị Hương