Đề tài Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Đề tài Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
®Æt vÊn ®Ò Trong ch¬ng tr×nh to¸n häc THPT c¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn d·y sè lµ mét phÇn quan träng cña ®¹i sè vµ gi¶i tÝch líp 11 , Häc sinh thêng ph¶i ®èi mÆt víi nhiÒu d¹ng to¸n khã liªn quan ®Õn vÊn ®Ò nµy vµ gÆp khã kh¨n trong vÊn ®Ò x¸c ®Þnh c«ng thøc sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè. §Æc biÖt ë mét sè líp bµi to¸n khi ®· x¸c ®Þnh ®îc c«ng thøc tæng qu¸t cña d·y sè th× néi dung cña bµi to¸n gÇn nh ®îc gi¶i quyÕt §Ó ®¸p øng ®îc mét phÇn ®Ò tµi “ X¸c ®Þnh c«ng thøc tæng qu¸t cña d·y sè “ vµ kÕt hîp víi sù tiÕp cËn “ Lý thuyÕt ph¬ng tr×nh sai ph©n “ qua mét sè chuyªn ®Ò mµ b¶n th©n t¸c gi¶ ®· ®îc häc Néi dung cña ®Ò tµi nh»m cung cÊp mét sè ph¬ng ph¸p c¬ b¶n x¸c ®Þnh c«ng thøc tæng qu¸t cña d·y sè vµ cã sù ph©n lo¹i ë mét sè líp bµi to¸n . §©y còng lµ ®Ò tµi vµ bµi gi¶ng mµ t¸c gi¶ ®· d¹y cho häc sinh , ®Æc biÖt lµ häc sinh kh¸ giái vµ líp chän, lµ tµi liÖu häc sinh vµ ®ång nghiÖm tham kh¶o Trong ®Ò tµi nµy t¸c gi¶ ®· sö dung mét sè kÕt qu¶ cã tÝnh hÖ thèng cña ‘ Lý thuyÕt ph¬ng tr×nh sai ph©n “ . Tuy nhiªn nh÷ng vÊn ®Ò ¸p dông kiÕn thøc to¸n häc hiÖn ®¹i chØ dõng l¹i ë mét sè trêng hîp ®Æc biÖt vµ giíi h¹n trong trêng sè thùc . Giíi h¹n cña ®Ò tµi chØ dõng l¹i ë viÖc x¸c ®Þnh c«ng thøc tæng qu¸t cña mét sè d·y sè , tõ ®ã cã ¸p dông vµo mét sè bµi to¸n cô thÓ . Qua ®ã, ngêi ®äc cã thÓ trang bÞ thªm cho m×nh ph¬ng ph¸p x¸c ®Þnh c«ng thøc tæng qu¸t cña d·y sè. §Æc biÖt c¸c thÇy c« cã thÓ tù kiÓm tra kÕt qu¶ vµ x©y dùng cho m×nh mét líp c¸c bµi to¸n vÒ d·y sè ®îc tr×nh bµy trong ®Ò tµi Mét sè ph¬ng ph¸p x¸c ®Þnh c«ng thøc tæng qu¸t cña d·y sè vµ x©y dùng bµi to¸n vÒ d·y sè A. Ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp mét Ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp mét lµ ph¬ng tr×nh sai ph©n d¹ng trong ®ã a,b, lµ c¸c h»ng sè ,a # 0 vµ lµ biÓu thøc cña n cho tríc D¹ng 1 T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (1.1) trong ®ã cho tríc Ph¬ng ph¸p gi¶i Gi¶i ph¬ng tr×nh ®Æc trng ®Ó t×m Khi ®ã (q lµ h»ng sè ) , trong ®ã q ®îc x¸c ®Þnh khi biÕt Bµi to¸n 1: X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña cÊp sè nh©n, biÕt sè h¹ng ®Çu tiªn b»ng 1 vµ c«ng béi b»ng 2 Bµi gi¶i Ta cã (1.2) Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cã nghiÖm VËy . Tõ suy ra Do ®ã D¹ng 2 T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (2 .1) trong ®ã lµ ®a thøc theo n Ph¬ng ph¸p gi¶i Gi¶i ph¬ng tr×nh ®Æc trng ta t×m ®îc Ta cã Trong ®ã lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt (1.1) vµ lµ nghiÖm riªng tuú ý cña ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt (2.1) VËy q lµ h»ng sè sÏ ®îc x¸c ®Þnh sau Ta x¸c ®Þnh nh sau : NÕu th× lµ ®a thøc cïng bËc víi NÕu th× víi lµ ®a thøc cïng bËc víi Thay vµo ph¬ng tr×nh, ®ång nhÊt c¸c hÖ sè ta tÝnh ®îc c¸c hÖ sè cña Bµi to¸n 2: T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (2.2) Bµi gi¶i Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cã nghiÖm Ta cã trong ®ã Thay vµ ph¬ng tr×nh (2.2) ta ®îc (2.3) thay n=1vµ n=2 vµo (2.3) ta ®îc hÖ ph¬ng tr×nh sau Do ®ã Ta cã V× nªn VËy D¹ng 3 T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (3.1) trong ®ã lµ ®a thøc theo n Ph¬ng ph¸p gi¶i Gi¶i ph¬ng tr×nh ®Æc trng ta t×m ®îc Ta cã Trong ®ã , c lµ h»ng sè cha ®îc x¸c ®Þnh , ®îc x¸c ®Þnh nh sau : NÕu th× NÕu th× Thay vµo ph¬ng tr×nh (3.1) ®ång nhÊt c¸c hÖ sè ta tÝnh ®îc c¸c hÖ sè cña . BiÕt tõ hÖ thøc , tÝnh ®îc c Bµi to¸n 3: T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (3.2) Bµi gi¶i Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cã nghiÖm Ta cã trong ®ã Thay vµo ph¬ng tr×nh (3.2) , ta thu ®îc Suy ra Do ®ã v× nªn c=1 VËy D¹ng 4 T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (4.1) Trong ®ã lµ ®a thøc theo n vµ Ph¬ng ph¸p gi¶i Ta cã Trong ®ã lµ nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt , lµ mét nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt , lµ nghiÖm riªng bÊt kú cña ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt Bµi to¸n 4: T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (4.2) Bµi gi¶i Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cã nghiÖm Ta cã trong ®ã Thay vµo ph¬ng tr×nh , ta ®îc Cho n=1 , n=2 ta thu ®îc hÖ ph¬ng tr×nh VËy thay vµo ph¬ng tr×nh Ta ®îc VËy Do ®ã . Ta cã nªn VËy B. Ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai Ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp mét lµ ph¬ng tr×nh sai ph©n d¹ng trong ®ã a,b,c, , lµ c¸c h»ng sè , a # 0 vµ lµ biÓu thøc cña n cho tríc (NX: Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai lu«n cã hai nghiÖm kÓ c¶ nghiÖm phøc, song néi dung cña ®Ò tµi chØ dõng l¹i trong trêng sè thùc , tøc lµ chØ xÐt nghiÖm thùc ) D¹ng 1 T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (5.1) Ph¬ng ph¸p gi¶i Gi¶i ph¬ng tr×nh ®Æc trng t×m Khi ®ã NÕu lµ hai nghiÖm thùc kh¸c nhau th× , trong ®ã A vµ B ®îc x¸c ®Þnh khi biÕt NÕu lµ hai nghiÖm kÐp th× , trong ®ã A vµ B ®îc x¸c ®Þnh khi biÕt Bµi to¸n 5: T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn sau (5.1) Bµi gi¶i Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cã nghiÖm kÐp Ta cã (5.2) Cho n=0 , n=1 thay vµo (5.2) ta thu ®îc hÖ ph¬ng tr×nh VËy D¹ng 2 T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (6.1) trong ®ã a # 0, lµ ®a thøc theo n cho tríc Ph¬ng ph¸p gi¶i Gi¶i ph¬ng tr×nh ®Æc trng ®Ó t×m . Khi ®ã ta cã trong ®ã lµ nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt vµ lµ mét nghiÖm tuú ý cña ph¬ng tr×nh Theo d¹ng 1 ta t×m ®îc , trong ®ã hÖ sè A, B cha ®îc x¸c ®Þnh , ®îc x¸c ®Þnh nh sau : NÕu th× lµ ®a thøc cïng bËc víi NÕu lµ nghiÖm ®¬n th× lµ ®a thøc cïng bËc víi NÕu lµ nghiÖm kÐp th× lµ ®a thøc cïng bËc víi, Thay vµo ph¬ng tr×nh , ®ång nhÊt c¸c hÖ sè, tÝnh ®îc c¸c hÖ sè cña . BiÕt tõ hÖ thøc tÝnh ®îc A, B Bµi to¸n 6: T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (6.2) Bµi gi¶i Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cã nghiÖm kÐp Ta cã trong ®ã Thay vµo ph¬ng tr×nh (6,2) , ta ®îc Cho n=1 , n=2 ta thu ®îc hÖ ph¬ng tr×nh Vậy Do ®ã Mặt kh¸c VËy D¹ng 3 T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (7.1) Ph¬ng ph¸p gi¶i Gi¶i ph¬ng tr×nh ®Æc trng ®Ó t×m Khi ®ã ta cã trong ®ã ®îc x¸c ®Þnh nh d¹ng 1 vµ hÖ sè A vµ B cha ®îc x¸c ®Þnh, ®îc x¸c ®Þnh nh sau NÕu th× NÕu lµ nghiÖm ®¬n th× NÕu lµ nghiÖm kÐp th× Thay vµo ph¬ng tr×nh , dïng ph¬ng ph¸p ®ång nhÊt thøc c¸c hÖ sè sÏ tÝnh ®îc hÖ sè k . BiÕt tõ hÖ thøc tÝnh ®îc A,B Bµi to¸n 7: T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Bµi gi¶i Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cã nghiÖm kÐp Ta cã trong ®ã Thay vµo ph¬ng tr×nh , ta ®îc VËy . Do ®ã . (1) Thay vµo ph¬ng tr×nh ta thu ®îc VËy D¹ng 4 T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (8.1) trong ®ã a # 0 , lµ ®a thøc theo n vµ Ph¬ng ph¸p gi¶i Ta cã trong ®ã lµ nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh thuÇn nhÊt , lµ nghiÖm riªng tïy ý cña ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt lµ nghiÖm riªng tïy ý cña ph¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt Bµi to¸n 8: ( §Ò thi OLYPIC 30 -4 To¸n 11 LÇn thø VIII- 2002 ) T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (8.2) Bµi gi¶i Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cã nghiÖm Ta cã trong ®ã Thay vµo ph¬ng tr×nh , ta ®îc VËy Do ®ã Thay vµo ph¬ng tr×nh , ta ®îc Do ®ã VËy (8.3) Ta thay vµo (8.3) ta ®îc hÖ ph¬ng tr×nh VËy C. Ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp ba Ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp ba lµ ph¬ng tr×nh sai ph©n d¹ng (a.1) trong ®ã a,b,c, d, ,, lµ c¸c h»ng sè , a # 0 vµ lµ biÓu thøc cña n cho tríc (NX: Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp ba lu«n cã ba nghiÖm kÓ c¶ nghiÖm phøc, song néi dung cña ®Ò tµi chØ dõng l¹i trong trêng sè thùc , tøc lµ chØ xÐt nghiÖm thùc ) Ph¬ng ph¸p gi¶i NghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp ba cã d¹ng , trong ®ã lµ nghiÖm tæng qu¸t ña ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt, lµ mét nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt XÐt ph¬ng tr×nh ®Æc trng (a.2) X¸c ®Þnh c«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp ba thuÇn nhÊt NÕu (a.2) cã ba nghiÖm thùc ph©n biÕt th× NÕu (a.2) cã mét nghiÖm thùc béi 2 vµ mét nghiÖm ®¬n th× NÕu (a.2) cã mét nghiÖm thùc béi 3 th× X¸c ®Þnh nghiÖm riªng cña ph¬ng tr×nh (a.1) XÐt lµ ®a thøc cña n ta cã NÕu th× lµ ®a thøc cïng bËc víi NÕu (nghiÖm ®¬n ) th× lµ ®a thøc cïng bËc víi NÕu (béi 2 ) th× lµ ®a thøc cïng bËc víi NÕu (béi 3) th× lµ ®a thøc cïng bËc víi XÐt ta cã NÕu th× NÕu (nghiÖm ®¬n ) th× NÕu (nghiÖm béi s ) th× Bµi to¸n 9: T×m d·y sè biÕt r»ng (9.1) Bµi gi¶i XÐt ph¬ng tr×nh ®Æc trng cã 3 nghiÖm thùc VËy Cho n=1, n=2, n=3 vµ gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh t¹o thµnh, ta ®îc VËy D. Bµi tËp ¸p dông Bµi to¸n 10: Cho d·y sè ®îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau (10.1) Chøng minh sè lµ sè chÝnh ph¬ng Bµi gi¶i Ta cã (10.2) Trong (9.2) ta thay n bëi n-1, ta ®îc (10.3) Trõ c¸c vÕ cña (10.1) cho (10.2) ta thu ®îc (10.4) Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña (10.4) lµ cã nghiÖm lµ nghiÖm béi bËc ba VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph¬ng tr×nh (10.4) lµ Cho n=0, n=1, n=2 ta ®îc Ta thu ®îc vµ tõ ®ã ta cã §iÒu nµy chøng tá A lµ mét sè chÝnh ph¬ng Bµi to¸n 11: Cho d·y sè ®îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau (11.1) Chøng minh r»ng Bµi gi¶i XÐt d·y sè víi vµ (11.2) DÔ thÊy . Do ®ã chØ cÇn chøng minh §Æt suy ra . NhËn xÐt r»ng (11.3) Ta l¹i cã suy ra (11.4) ThÕ (11.4) vµo (11.3) ta ®îc Suy ra (11.5) Ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña (11.5) lµ cã nghiÖm NghiÖm tæng qu¸t cña (11.1) lµ Ta cã Do ®ã ta nhËn ®îc (11.6) Tõ (11.6) ta suy ra Ta cÇn chøng minh Do Nªn . Tõ ®ã , ta cã , vµ khi ®ã VËy E. Bµi tËp t¬ng tù Bµi 1: X¸c ®Þnh c«ng thøc cña d·y sè tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau Bµi 2: Cho d·y sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Chøng minh r»ng lµ mét sè lÎ Bµi 3: Cho d·y sè x¸c ®Þnh bëi Chøng minh r»ng Bµi 4: Cho d·y sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Chøng minh r»ng lµ mét sè chÝnh ph¬ng Bµi 5: (TuyÓn tËp ®Ò thi Olympic 30 – 4 To¸n 11 LÇn thø VIII – 2002 NXB gi¸o dôc ) Cho d·y sè tho¶ m·n nh sau Chøng minh : ( kÝ hiÖu chia hÕt ) Bµi 6: Cho d·y sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Chøng minh r»ng tån t¹i c¸c h»ng sè nguyªn M sao cho c¸c sè ®Òu lµ sè chÝnh ph¬ng Bµi 7: ( B¸o To¸n Häc vµ Tuæi TrÎ sè 356) Cho d·y sè ( i=1,2,3,4)®îc x¸c ®Þnh bëi TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc Bµi 8: Cho d·y sè nguyªn d¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn T×m sè nguyªn d¬ng h bÐ nhÊt cã tÝnh chÊt F. X©y dùng bµi to¸n vÒ d·y sè truy håi NhËn xÐt : Néi dung cña ®Ò tµi trªn gióp b¹n ®äc t×m ra c«ng thøc tæng qu¸t cña mét líp d·y sè cã tÝnh chÊt truy håi mét c¸ch chÝnh x¸c nhÊt, gióp c¸c ThÇy c« kiÓm tra kÕt qu¶ bµi to¸n theo c¸ch gi¶i kh¸c. Bªn c¹nh ®ã ta cã thÓ tiÕn hµnh x©y dùng thªm c¸c bµi to¸n míi vÒ d·y sè Díi ®©y lµ mét sè vÝ dô “ x©y dùng thªm c¸c bµi to¸n vÒ d·y sè cã tÝnh quy luËt “ chØ mang tÝnh chÊt tham kh¶o. T¸c gi¶ mong muèn b¹n ®äc t×m hiÓu vµ ph¸t triÓn réng h¬n c¸c bµi to¸n kh¸c vÒ d·y sè VÝ dô 1: XuÊt ph¸t tõ ph¬ng tr×nh (12.1) ph¬ng tr×nh (12.1) cã thÓ ®îc coi lµ ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña mét d·y sè cã quy luËt. Ch¼ng h¹n d·y sè ®îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau cã thÓ cho . Ta cã thÓ ph¸t biÓu thµnh c¸c bµi to¸n sau Bµi to¸n 1: Cho d·y sè x¸c ®Þnh nh sau X¸c ®Þnh c«ng thøc cña d·y sè Bµi to¸n 2: Cho d·y sè x¸c ®Þnh nh sau TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc VÝ dô 2: XuÊt ph¸t tõ ph¬ng tr×nh (12.2) ph¬ng tr×nh (12.2) cã thÓ ®îc coi lµ ph¬ng tr×nh ®Æc trng cña mét d·y sè cã quy luËt. Ch¼ng h¹n d·y sè ®îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau cã thÓ cho khi ®ã vËn dông thuËt to¸n trªn x¸c ®Þnh ®îc c«ng thøc tæng qu¸t cña d·y sè Ta cã thÓ ph¸t biÓu thµnh c¸c bµi to¸n sau Bµi to¸n 1: X¸c ®Þnh c«ng thøc cña d·y sè tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau Bµi to¸n 2: Cho d·y sè x¸c ®Þnh nh sau Chøng minh r»ng lµ mét sè chÝnh ph¬ng Bµi to¸n 3: Cho d·y sè x¸c ®Þnh nh sau X¸c ®Þnh sè tù nhiªn n sao cho KÕt luËn- kiÕn nghÞ Tr¶i qua thùc tiÔn gi¶ng d¹y, néi dung c¸c bµi gi¶ng liªn quan ®Õn ®Ò tµi vµ cã sù tham gia gãp ý cña ®ång nghiÖp, vËn dông ®Ò tµi vµo gi¶ng dËy ®· thu ®îc mét sè kÕt qu¶ nhÊt ®Þnh sau : Häc sinh trung b×nh trë lªn n¾m v÷ng ®îc mét sè ph¬ng ph¸p vµ biÕt vËn dông ë d¹ng c¬ b¶n x¸c ®Þnh ®îc c«ng thøc cña d·y sè Mét sè ®Ò thi häc sinh giái, Häc sinh líp chän cã thÓ sö dông ph¬ng ph¸p tr×nh bµy trong ®Ò tµi ®Ó gi¶i bµi to¸n Lµ mét ph¬ng ph¸p tham kh¶o cho häc sinh vµ c¸c thÇy c« gi¸o Qua néi dung ®Ò tµi, ®ång nghiÖp cã thÓ x©y dùng thªm c¸c bµi to¸n vÒ d·y sè X©y dùng ph¬ng ph¸p gi¶ng dËy theo quan ®iÓm ®æi míi lµ viÖc mµ toµn x· héi vµ nghµnh ®ang quan t©m. Tuy nhiªn, trong mét sè líp bµi to¸n bËc THPT ta cã thÓ sö dông mét sè kÕt qu¶ cña to¸n häc hiÖn ®¹i ®Ó x©y dùng ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n s¬ cÊp lµ mét vÊn ®Ò Ýt ®îc chó ý. Qua néi dung ®Ò tµi t¸c gi¶ mong muèn cã sù t×m hiÓu s©u h¬n vÒ mèi quan hÖ gi÷a “To¸n häc hiÖn ®¹i” vµ “Ph¬ng ph¸p to¸n s¬ cÊp ”. Qua ®ã ta cã thÓ t×m ®îc ph¬ng ph¸p gi¶i, x©y dùng c¸c líp bµi to¸n ë bËc THPT Tµi liÖu tham kh¶o Lª §×nh ThÞnh- Lª §×nh §Þnh , Ph¬ng ph¸p sai ph©n. Nhµ xuÊt b¶n §¹i Häc Quèc Gia Hµ Néi 2004 TuyÓn tËp ®Ò thi OLYMPIC 30 – 4 M«n To¸n LÇn thø V, Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o Dôc TuyÓn tËp ®Ò thi OLYMPIC 30 – 4 M«n To¸n LÇn thø VII-2002 , Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o Dôc T¹p trÝ To¸n Häc vµ Tuæi TrÎ Sè 356 , Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o Dôc TrÇn ChÝ HiÕu – NguyÔn Danh Phan TuyÓn chän c¸c bµi to¸n PTTH §¹i sè vµ gi¶i tÝch 11, Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o Dôc NguyÔn V¨n MËu , Mét sè bµi to¸n chän läc vÒ d·y sè , Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o Dôc - 2003 Trị đặc trưng và vector đặc trưng 23 tháng 10, 2007 Eigenvalues và eigenvectors xuất hiện cực kỳ nhiều trong các ngành khoa học và kỹ thuật: Vật Lý, xác suất thống kê, KHMT, lý thuyết đồ thị, v.v. Để hiểu ý nghĩa của chúng, có hai hướng nhìn thông dụng, áp dụng được trong rất nhiều trường hợp. 1. Loại động cơ (motivation) thứ nhất. Trong nhiều ứng dụng ta thường phải làm phép tính sau đây: cho trước một ma trận A và nhiều vectors x, tính với nhiều giá trị khác nhau của số mũ . Ví dụ 1: nếu A là ma trận của một phép biến đổi tuyến tính (linear transformation) nào đó, như phép quay và co dãn trong computer graphics chẳng hạn, thì cho ra kết quả của phép BĐTT này áp dụng k lần vào x. Các games máy tính hay các annimations trong phim của Hollywood có vô vàn các phép biến đổi kiểu này. Mỗi một object trong computer graphics là một bộ rất nhiều các vector x. Quay một object nhiều lần là làm phép nhân với từng vectors x biểu diễn object đó. Khối lượng tính toán là khổng lồ, dù chỉ trong không gian 3 chiều. Ví dụ 2: nếu A là transition matrix của một chuỗi Markov rời rạc và x là distribution của trạng thái hiện tại, thì chính là distribution của chuỗi Markov sau k bước. Ví dụ 3: các phương trình sai phân (difference equation) như kiểu phương trình cũng có thể được viết thành dạng để tính với k tùy ý. Ví dụ 4: lũy thừa của một ma trận xuất hiện tự nhiên khi giải các phương trình vi phân, xuất hiện trong khai triển Taylor của ma trận chẳng hạn. Tóm lại, trong rất nhiều ứng dụng thì ta cần tính toán rất nhanh lũy thừa của một ma trận vuông, hoặc lũy thừa nhân một vector. Mỗi ma trận vuông đại diện cho một phép BĐTT nào đó. Lũy thừa bậc k của ma trận đại diện cho phép biến đổi này áp dụng k lần. Ngược lại, bất kỳ phép BĐTT nào cũng có thể được đại diện bằng một ma trận. Có rất nhiều ma trận đại diện cho cùng một BĐTT, tùy theo ta chọn hệ cơ sở nào. Mỗi khi ta viết một vector dưới dạng là ta đã ngầm định một hệ cơ sở nào đó, thường là hệ cơ sở trực chuẩn , , và . Các tọa độ 3, -2, 5 của x là tương ứng với tọa độ của x trong hệ cơ sở ngầm định này. Hệ cơ sở như trên thường được dùng vì ta “dễ” hình dùng chúng trong không gian n chiều, chúng là sản phẩm phụ của hệ tọa đồ Descartes cổ điển hay dùng trong không gian 2 chiều. Tuy nhiên, khi áp dụng một phép BĐTT thì các vectors thường cũng bị biến đổi theo luôn, rất bất tiện nếu ta phải tính cho nhiều giá trị k và x khác nhau. Bây giờ, giả sử ta tìm được hướng độc lập tuyến tính và bất biến qua phép BĐTT đại diện bởi A. (Đây là giả sử rất mạnh, may mà nó lại thường đúng trong các ứng dụng kể trên.) Dùng vector để biểu diễn hướng thứ . Bất biến có nghĩa là áp dụng A vào hướng nọ thì hướng không đổi. Cụ thể hơn, BĐTT A làm hướng “bất biến” nếu với là một con số (scalar) thực hoặc phức nào đó (dù ta giả sử A là thực). Do các hướng này độc lập tuyến tính, một vector x bất kỳ đều viết được dưới dạng Nếu ta lấy làm hệ cơ sở thì cái hay là có áp dụng A bao nhiêu lần thì cũng không đổi hướng của các vectors trong hệ cơ sở! Điều này rất tiện lợi, bởi vì Như vậy, thay vì tính lũy thừa bậc cao của một ma trận, ta chỉ cần tính lũy thừa của n con số và làm một phép cộng vectors đơn giản. Các giá trị là các trị đặc trưng (eigenvalues) của A, và các vectors là các vector đặc trưng (eigenvectors). Tiếp tục với giả thiết rất mạnh là n eigenvectors độc lập tuyến tính với nhau. Nếu ta bỏ các vectors này vào các cột của một ma trận , và các eigenvalues lên đường chéo của một ma trận thì ta có . Trong trường hợp này ma trận A có tính diagonalizable (chéo hóa được). Diagonalizability và sự độc lập tuyến tính của n eigenvectors là hai thuộc tính tương đương của một ma trận. Ngược lại, ta cũng có , và vì thế lũy thừa của A rất dễ tính: do lũy thừa của một ma trận đường chéo rất dễ tính. Cụm từ “khả năng đường chéo hóa được” (diagonalizability) nghe ghê răng quá, có bạn nào biết tiếng Việt là gì không? Nếu ta biết được các eigenvectors và eigenvalues của một ma trận thì — ngoài việc tính lũy thừa của ma trận — ta còn dùng chúng vào rất nhiều việc khác, tùy theo ứng dụng ta đang xét. Ví dụ: tích các eigenvalues bằng với định thức, tổng bằng với trace, khoảng cách giữa eigenvalue lớn nhất và lớn nhì của transition matrix của một chuỗi Markov đo tốc độ hội tụ đến equilibrium (mixing rate) và eigenvector đầu tiên là steady state distribution, vân vân. Quay lại với cái “giả thiết rất mạnh” ở trên. Có một loại ma trận mà giả thiết này đúng; và hơn thế nữa, ta có thể tìm được các eigenvectors vuông góc nhau, đó là các normal matrices. Rất nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật cho ta các normal matrices. Các trường hợp đặc biệt thường thấy là các ma trận (thực) đối xứng và các ma trận Hermitian (đối xứng theo nghĩa phức). Còn các ma trận không thỏa mãn “giả thiết rất mạnh” này, nghĩa là không diagonalizable, thì làm gì với chúng? Ta có thể tìm cách làm cho chúng rất “gần” với một ma trận đường chéo bằng cách viết chúng thành dạng chuẩn Jordan. Đề tài này nằm ngoài phạm vi bài đang viết. 2. Loại động cơ (motivation) thứ hai. Trong rất nhiều ứng dụng, ta “được” làm việc với một ma trận đối xứng: nó có đủ bộ eigenvectors, do đó diagonalizable và vì thế có thể thiết kế các thuật toán hiệu quả cho các bài toán tương ứng. Không những đối xứng, chúng còn có một thuộc tính mạnh hơn nữa gọi là positive (semi) definite, nghĩa là các eigenvalues đều không âm. Ví dụ 1: bài toán least squares có ứng dụng khắp nơi (linear regression trong statistics chẳng hạn) dẫn đến ma trận symmetric positive (semi) definite . Ví dụ 2: bài toán xác định xem một một điểm tới hạn của một hàm đa biến bất kỳ có phải là điểm cực tiểu hay không tương đương với xác định xem ma trận đối xứng Hessian của các đạo hàm bậc hai tại điểm này là positive definite. Ví dụ 3: ma trận covariance của một random vector (hoặc một tập hợp rất nhiều sample vectors) cũng là positive (semi) definite. Nếu A là một ma trận symmetric positive definite thì ta có thể hiểu các eigenvectors và eigenvalues theo cách khác. Bất phương trình trong đó c là một hằng số dương là một bất phương trình bậc 2 với n biến (các tọa độ của vector x). Nghiệm của nó là các điểm nằm trong một hình e-líp trong không gian n chiều (Ellipsoid) mà n trục của ellipsoid chính là hướng của các eigenvectors của A, và chiều dài các trục tỉ lệ nghịch với eigenvalue tương ứng (tỉ lệ với nghịch đảo của căn của eigenvalue). Đây là trực quan hình học phổ biến thứ hai của eigenvectors và eigenvalues. Trong trường hợp của Principal Component Analysis (PCA) như có bạn đã hỏi trong phần bình luận bài tư duy trừu tượng, thì ta có thể hiểu nôm na về sự xuất hiện của eigen-vectors/values như sau. Giả sử ta có một đống các sample vectors (data points) trên một không gian n chiều nào đó. Các tọa độ là exponentially distributed (Gaussian noise chẳng hạn). Thì đa số các vectors này tập trung trong một ellipsoid định nghĩa bởi covariance matrix (positive semi-definite). Trục dài nhất của ellipsoid là trục có variance cao nhất, nghĩa là SNR cao. Trục này chỉ cho ta hướng biến thiên quan trọng nhất của data. PCA lấy các trục của ellipsoid làm hệ cơ sở, sau đó lấy k trục dài nhất làm principal components để biểu diễn data. (Dĩ nhiên, ta phải shift cái mean về gốc tọa độ trước khi đổi hệ cơ sở.) Ngô Quang Hưng | Đề tài: Toán Ứng Dụng | | In bài này Solution to Difference Equation A solution of a difference equation is an expression (or formula) that makes the difference equation true for all values of the integer variable k. The nature of a difference equation allows the solution to be calculated recursively . It is easier to see the solution of the difference equation through algebraic equation. Example: We have difference equation with initial value . Then we can determine set the k = 0: initial value k = 1: k = 2: k = 3: k = 4: k = n: However, the series has a closed-form of Thus the solution of the difference equation with initial value is See: Numerical Example
File đính kèm:
Sang kien kinh nghiem Xac dinh cong thuc tong quat cua day so.doc
