Đề tài Một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục

Phần 1: Những vấn đề chung
I. Lí do chọn đề tài: 
Toán học có một vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí, góp phần tạo nên nguồn tài nguyên chất xám, nguồn tài nguyên quý nhất cho đất nước. Toán học là bộ môn khoa học tự nhiên được hình thành từ rất sớm bởi sự gắn bó chặt chẽ của nó với thực tiễn đời sống con người. Toán học là môn khoa học cơ bản rất quan trọng, nó giúp cho việc hình thành và phát triển cho người học năng lực tư duy logic, phương pháp luận khoa học, phẩm chất trí tuệ, tư tưởng đạo đức.
Ngày nay sự phát triển của tất cả các ngành khoa học cũng như tất cả các ngành công nghiệp then chốt đều không thể thiếu toán học, chúng đều được khởi nguồn và dựa trên toán học. Sự phát triển của một đất nước không phụ thuộc nhiều ở tài nguyên thiên nhiên, mà phụ thuộc chủ yếu vào trình độ dân trí. Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí, góp phần tạo nên nguồn tài nguyên chất xám. Việt Nam chúng ta so với các nước trên thế giới còn ở trong tình trạng nghèo nàn, lạc hậu. Muốn thoát khỏi tình trạng này và đuổi kịp các nước trên thế giới, đối với Việt Nam phải có lớp người mới được trang bị kiến thức tốt, luôn phát huy tính sáng tạo và khả năng nhanh nhạy để nắm bắt kĩ thuật mới. Nhiệm vụ quan trọng này ngành GD - ĐT vinh dự được Đảng và Nhà nước giao cho. Chính vì vậy trong từng năm học, Bộ GD - ĐT đã có những chỉ thị kịp thời, Sở GD - ĐT, Phòng GD & ĐT và Nhà trường đã chủ động đề ra những kế hoạch chi tiết, những mục tiêu rõ ràng và giao nhiệm vụ cụ thể đến từng giáo viên.
Để hoàn thành nhiệm vụ, người giáo viên phải có lòng nhiệt tình, có kiến thức và phương pháp truyền thụ kiến thức phù hợp. Nhưng thực tế đã cho thấy hầu hết giáo viên đều có lòng nhiệt tình, có kiến thức song phương pháp còn nhiều hạn chế, các thầy cô giáo viên dạy toán cũng không phải là ngoại lệ. Vậy đâu là nguyên nhân của những hạn chế trên? Theo tôi nguyên nhân cơ bản là: 
- Giáo viên chưa tạo cho học sinh thói quen tiến hành đầy đủ các bước cần thiết khi giải một bài toán, nhất là những bài toán mới lạ hoặc những bài toán khó nên học sinh chưa có phương pháp suy nghĩ, suy luận đúng trong việc tìm tòi lời giải một bài toán.
- Chỉ nặng về trình bày lời giải đã tìm ra mà không chú ý đến việc hướng dẫn để học sinh tự tìm ra lời giải. Bởi vậy học sinh cũng chỉ hiểu được lời giải cụ thể của bài toán chưa học tập được cách suy luận để giải bài toán tương tự.
- Chưa chú trọng đến việc phân tích bài toán theo nhiều khía cạnh, theo từng loại để tạo ra phương pháp và lời giải khác nhau, chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh kĩ năng thực hành tính toán, biến đổi, suy luận.
- Cho học sinh giải nhiều bài tập mà không chú ý đến việc lựa chọn một hệ thống bài tập đa dạng, đầy đủ.
Trong quá trình học tập, học sinh sớm được làm quen với bộ môn toán. Nhìn chung Toán học là môn học rất trừu tượng. Tính trừu tượng và logic tăng dần khi các em càng học lên các lớp trên. Từ năm học lớp 8 khó khăn của học sinh đã được bộc lộ rõ nét hơn, đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Đây là một đề tài thú vị, nó thường không có quy tắc giả tổng quát. Do vậy học sinh hay mắc thiếu sót và sai lầm khi giải các bài toán loại này. Vậy tại sao học sinh thường mắc phải sai lầm khi giải các bài toán cực trị? Theo tôi nguyên nhân này xuất phát từ những lý do sau:
1. Người giải toán chưa có đường lối rõ ràng khi giải bài toán tìm cực trị.
2. Chưa nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức.
3. Chưa hệ thống, phân dạng được các bài tập cùng loại.
4. Không đọc kĩ đầu bài, chưa hiểu rõ bài toán đã đã vội đi ngay vào giải toán.
5. Không biết đề cập bài toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu nghiên cứu kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết trong từng bài toán, không sử dụng hết giả thiết bài toán, không biết linh hoạt vận dụng kiến thức đã có.
6. Không tự tư duy lại bài toán mình làm sau khi đã giải xong xem đã đúng chưa.
Nói chung dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là dạng toán khó nhưng rất thú vị. Nó lôi cuốn nhiều người phải say mê, từ các em học sinh đến các nhà bác học lỗi lạc. Tại sao vậy? Mỗi bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Điều đó có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Chính vì thế chúng ta thấy trong các kì thi học sinh giỏi toán thường có bài toán về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 
 Tóm lại, từ nhiệm vụ yêu cầu thực tế của đất nước và của ngành giáo dục, từ khó khăn của giáo viên và học sinh thường hay mắc sai lầm trong việc giải các bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tôi đã chọn đề tài “Một số sai lầm thường gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục” trong chương trình THCS để nghiên cứu với hy vọng đề tài này sẽ góp phần vào việc giải quyết khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học kiến thức về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Như nhà giáo dục toán học Polya đã nói: ” Con người phải biết học ngay ở những sai lầm của mình” .







II. Cơ sở khoa học
Đề tài được viết dựa vào những cơ sở lí luận và thực tiễn. 
II.1. Cơ sở lý luận
Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc chìa khoá vạn năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành khoa học, kinh tế, quân sự... trong cuộc sống. Chính vì vậy việc dạy và học bộ môn toán trong nhà trường đóng vai trò vô cùng quan trọng dạy toán chiếm vị trí số một trong các môn học của nhà trường, đối với giáo viên, dạy toán là niềm tự hào song đó cũng là thử thách vô cùng lớn. Để dạy toán và học toán tốt thì Thày và Trò không ngừng rèn luyện và đầu tư trí và lực vào nghiên cứu học hỏi. Học và dạy toán với chương trình cơ bản đã rất khó, xong dạy và học toán trong đào tạo mũi nhọn lại vô cùng gian truân, việc học và dạy không dừng ở việc người học và người dạy phải có trí tuệ nhất định mà cả thày và trò phải dày công đầu tư vào nghiên cứu các dạng toán, thuật toán vận dụng hợp lý các tính chất toán học do các nhà toán học đã nghiên cứu vào giải toán, ngoài ra người dạy và học toán phải tự rèn luyện và nghiên cứu để có những công trình toán của riêng mình cùng góp sức để đưa bộ môn toán ngày càng phát triển.
Thực hiện nhiệm vụ năm học cũng như được sự phân công của Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Yên Dũng, Ban giám hiệu trường THCS Yên Lư, qua quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm gần đây bản thân tôi thấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho bài toán hoặc mỗi dạng toán nào đó là công việc rất khó. Đứng trước một bài toán nếu người thày chưa hiểu chưa có hướng giải thì ta hướng dẫn học sinh như thế nào, thật khó trong những tình huống như thế người thày sẽ mất vai trò chủ đạo trong việc dạy học sinh, còn học sinh đã không giải được toán nhưng lại mất niềm tin ở thày và cảm thấy việc học toán là cực hình là khó vô cùng không thể học được.
Toán học là bộ môn khoa học của nhân loại một bộ môn khoa học đa dạng về thể loại không phải cứ dạy toán và học toán là biết hết, là đã đến đỉnh cao của trí tuệ nhân loại. Khi trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi tôi tự thấy kiến thức toán của bản thân còn rất hạn chế, nhất là những bài toán về Bất đẳng thức, bài toán về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Đây là dạng toán lớn, có nhiều cách thức để giải xong cả thày và trò lại rất ngại khi đụng đến vì nó khó và phải mất rất nhiều thời gian để dự đoán kết quả và tìm cách giải, hơn nữa rất dễ mắc sai lầm. Tôi đã tìm nhiều biện pháp để hướng dẫn học sinh nhận xét, phân tích để giải các bài toán dạng này bằng các phương pháp mà học sinh và thày được trang bị trong cấp học, nhưng đều không thành công bởi chính thày cũng phải lần mò mãi mới có lời giải, học sinh thì hay mắc sai lầm. Cho đến một ngày tôi đọc được bài báo của tác giả Vũ Hữu Bình – GV trường THCS Trưng Vương - Hà Nội trên báo Toán học và tuổi trẻ ra tháng 8 năm 2000, bài báo này đã giúp tôi nhất nhiều trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, đối với bài toán trên khi áp dụng kiến thức của bài báo vào, mỗi khi hướng dẫn học sinh tôi đã hoàn toàn tự tin và giữ vai trò chủ đạo để hướng dẫn học sinh, còn học sinh đã khai thác bài toán được bằng nhiều cách, tránh được những sai lầm cố hữu thường mắc phải khi giải toán cực trị và có hứng thú thực sự với dạng toán này. Từ thực tế này tôi xin được trao đổi kinh nghiệm này cùng các đồng nghiệp mong rằng đề tài này sẽ được mở rộng và phát triển sâu rộng hơn.
II.2 Cơ sở thực tiễn
II.2.1 Tình hình học sinh
 Đối tượng là học sinh khá, giỏi nên kiến thức cơ bản các em nắm tương đối vững có trí tuệ nhất định. Xong không phải bất cứ bài toán nào hay dạng toán nào các em cũng làm được, đối với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hầu hết các em đều cho rằng đây là một loại toán rất khó nên đầu tư vào sẽ mất nhiều thời gian mà chưa chắc đã làm được và lại rất dễ mắc sai lầm. Do vậy các em thường bỏ qua bài toán này để tập trung thời gian giải bài toán khác và rất nhiều em không có hứng thú khi gặp bài toán này.
II.2.2 Tình hình giáo viên
- Thuận lợi: Hầu hết các thầy cô có trình độ, được đào tạo cơ bản, tâm huyết với nghề và luôn cầu tiến bộ.
- Khó khăn:
Thời lượng thực dạy trên lớp 19 tiết/1 tuần và chuẩn bị giáo án đồ dùng để phục vụ tiết dạy đẫ lấp kín thời gian trên lớp và ở nhà, mặt khác trong nền kinh tế thị trường với đồng lương không cao, chỉ đủ đáp ứng được cuộc sống đạm bạc thậm chí có phần khó khăn của các nhà sư phạm nên các thầy cô giáo còn bị chi phối nhiều thời gian vào cuộc sống cho bản thân cùng gia đình. Trong khi đó kiến thức đã khó lại rộng lớn và bao trùm. Do đó để dành nhiều thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có kiến thức vững và sâu thì rất hạn chế, nhiều người còn tư tưởng chỉ cần hoàn thành nhiệm vụ là được còn nghiên cứu tìm tòi đã có các nhà khoa học.
Nguyên nhân góp phần không nhỏ nữa cho rằng việc nghiên cứu tìm lời giải cho các bài toán là những người phải có trí tuệ, phải là bậc vĩ nhân. Suy nghĩ này chỉ đúng một phần vì “Ngọc không mài thì không sáng được”. Đối với bài toán tìm cực trị không có cách giải mẫu mực mà chủ yếu dựa vào phân tích - kinh nghiệm của người làm toán. Do đó đòi hỏi người giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết và tinh thần học hỏi cao thì mới đáp ứng được chuyên môn, công việc giảng dạy của mình. Toán học cao cấp có kiến thức, có cách giải nhanh và khoa học với dạng toán trên song không vận dụng được vào cấp học phổ thông, hoặc chưa tìm được phương pháp khoa học để học sinh tiếp cận cho phù hợp với chương trình học, và nội dung sách giáo khoa hiện hành.
II.2.3 Các tài liệu
Các tài liệu tham khảo của môn toán THCS dành cho giáo viên và học sinh về số lượng, có vô số và lan tràn khắp thị trường, vì mục đích kinh doanh bề ngoài sách đẹp, tiêu đề sách thu hút song nội dung thì trùng nhau lời giả sơ sài, thậm chí nhiều cuốn sách có rất nhiều sai sót, tính sư phạm không cao. Các sách của Bộ giáo dục vì lý do sư phạm vì khuôn khổ chương trình học của cấp học nên phần giải bài toán tìm cực trị và những sai lầm dễ mắc trong chương trình THCS chỉ có tính chất giới thiệu thông qua một vài bài tập mà không viết riêng thành một tài liệu để giáo viên và học sinh ở cấp học này có thể tham khảo. 
Chính vì những lý do nêu trên, tôi đã chon đề tài “Một số sai lầm thường gặp trong các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục” trong chương trình THCS để nghiên cứu và thực hiện.
Phần 2: Nội dung chính
I. Vài nét khái quát về tình hình địa phương huyện Yên Dũng và các nhà trường.
I.1 Đặc điểm
I.1.1 Thuận lợi
- Huyện Yên Dũng có bề dày về thành tích bồi dưỡng HSG, có thế mạnh về đội ngũ giáo viên có tay nghề chuyên môn cao, kiến thức vững vàng.
- Về phía học sinh các em hiếu học, có ý thức tốt. 
- Chính quyền và tổ chức đoàn thể rất quan tâm và coi trọng công tác giáo dục.
- Các bậc phụ huynh đặc biệt coi trọng việc học tập của con cái.
- Cơ sở vật chất các nhà trường cơ bản đã đầy đủ để học một ca.
I.1.2 Khó khăn
- Do không còn hình thức tuyển chọn học sinh như trước nên lực học của học sinh không đồng đều, mức độ đào tạo, dạy dỗ ở các trường không đồng đều, nhiều em ham chơi, coi nhẹ việc học. Về phía gia đình nhiều hộ còn gặp khó khăn mải miết làm ăn nên thiếu sự phối hợp với nhà trường giáo dục các em. Còn một bộ phận giáo viên công tác chưa thực sự nỗ lực, trách nhiệm chưa cao.
I.2 Phương pháp và đối tượng nghiên cứu.
I.2.1 Phương pháp.
Trong quá trình nghiên cứu đề tài tôi đã dùng những phương pháp sau: 
- Đọc sách, nghiên cứu thu thập, xử lí tài liệu sưu tầm được.
- Điều tra, trò chuyện với giáo viên và học sinh.
- Tự tìm hiểu đối tượng học sinh .
- Tổng kết đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy.
- Cập nhật thông tin từ mạng Internet.
Dựa vào các phương pháp này và phân tích nguyên nhân tôi đã định hình cho việc nghiên cứu đề tài.
I.2.2 Đối tượng.
Đối tượng nghiên cứu là môn toán và những kiến thức toán học có liên quan đến các dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, những sai lầm học sinh thường mắc phải và cách khắc phục là trọng tâm nghiên cứu của đề tài.
II. Phần cơ bản.
II.1. Phương pháp trình bày đề tài.
Đề tài được trình bày dưới dạng đưa ra các bài tập cụ thể, mỗi bài tập đều được đưa ra lời giải sai, phân tích sai lầm và cách khắc phục, đồng thời đưa ra lời giải đúng, cuối cùng đưa ra các bài tập đề nghị cho người đọc. Các sai lầm thường mắc phải được liệt kê ở cùng dạng và chỉ được nêu rõ ở phần giải đáp.
II.2. Nội dung cụ thể.
II.2.1. Một số tính chất của bất đẳng thức
Cho a, b, c là các số thực
Tính chất 1: 
Tính chất 2. 
Tính chất 3. Tính chất bắc cầu

Tính chất 4. 
Tính chất 5. 
Chú ý: Không được trừ hai bất đẳng thức cùng chiều cho nhau.
Tính chất 6. 
Tính chất 7. 
Tính chất 8. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều và hai vế không âm

Tổng quát: 
Chú ý: Không được chia hai bất đẳng thức cho nhau.
Tính chất 9. Nâng luỹ thừa hai vế của bất đẳng thức


Tính chất 10. 
Tính chất 11. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số


Tính chất 12. 
…
II.2.2. Một số kiến thức thường dùng để giải bài toán cực trị hình học
II.2.2.1 Sử dụng quan hệ đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu
- Quan hệ đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu thường được sử dụng dưới dạng: 
+ Trong các tam giác vuông (có thể suy biến thành đoạn thẳng), cạnh góc vuông AB và cạnh huyền BC thì , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A trùng với C;
+ Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng có độ dài nhỏ nhất.
+ Trong các đoạn thẳng nối hai điểm thuộc hai đường thẳng song song, đoạn thẳng vuông góc với hai đường thẳng sông song có độ dài nhỏ nhất.
+ Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến cùng một đường thẳng, đường xiên lớn hơn khi và chỉ khi hình chiếu của nó lớn hơn.
II.2.2.2. Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc
- Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc được sử dụng dưới dạng:
+ Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta có . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi B thuộc đoạn thẳng AC.
+ Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A và B ngắn hơn độ dài đường gấp khúc có hai đầu là A và B.
II.2.2.3 Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn
- Các bất đẳng thức trong đường tròn được thể hiện trong các định lý:
+ Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.
+ Trong hai dây của một đường tròn:
	*Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
	* Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
+ Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm chắn cung đó lớn hơn.
+ Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trương cung ấy lớn hơn.
II.2.3. Một số bất đẳng thức thường vận dụng để tìm cực trị.
* Bất đẳng thức Côsi
Dạng cơ bản: Cho, khi đó ta có bất đẳng thức .
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi.
Dạng tổng quát: Cho các số không âm . 
Ta có bất đẳng thức với .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
* Bất đẳng thức Bunhiacôpxki
Dạng cơ bản: Với là các số thực tuỳ ý ta luôn có
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Dạng tổng quát: Cho hai bộ số , khi đó ta có

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
(Với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa).
* Bất đẳng thức Trêbusep
Dạng cơ bản: Cho hoặc , ta có: .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc .
Dạng tổng quát: Cho hai bộ số cùng tăng hoặc cùng giảm
 hoặc .
Ta có bất đẳng thức

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc .
Lưu ý: Nếu một dãy tăng và một dãy giảm thì bất đẳng thức đổi chiều.
* Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

 nếu 
 nếu 

. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

* Bất đẳng thức trong tam giác
Nội dung: Cho tam giác ABC có . Ta có




II.2.4. Đường lối tổng quát giải bài toán cực trị
* Cực trị đại số: Để tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của biểu thức f ta phải thực hiện hai bước:
- Bước 1: Chứng minh (hoặc ) với m là hằng số.
- Bước 2: Trả lời câu hỏi “dấu bằng xảy ra khi nào?” và kết luận.
* Cực trị hình học: Để tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho đại lượng f (f là số đo độ dài, hoặc số đo diện tích,…) có giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất), ta phải thực hiện hai bước:
- Bước 1: Chứng tỏ rằng với mọi vị trí của hình H trên miền D thì (hoặc ) với m là hằng số.
- Bước 2: Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m.
*Chú ý: Trong một bài toán mà sử dụng nhiều bất đẳng thức để tìm cực trị thì lưu ý các dấu “=” phải xảy ra đồng thời.
II.2.5. Các bài tập minh hoạ
A. Cực trị Đại số
A.1. Dạng sai lầm thứ nhất
Bài 1. Cho x, y là hai số dương thoả mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

Lời giải “có vấn đề”.
Từ x, y > 0 ta có .
Từ x, y > 0 và ta có 
Do vậy .
Dấu “=” xảy ra Û x = y .
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 7964, giá trị này đạt được khi x = y.
Bình luận
Nhưng!... x = y thì M = 2039. Vậy sai lầm ở đâu?
Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức biết .

Lời giải sai: 
Gọi ta có 
Xét 


Ta lại có nên (2)
Cộng (1) với (2) ta được .
Min 
 Nhưng với , vậy sai lầm ở đâu?
Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 

“Lời giải đẹp”:
Ta thấy không đồng thời bằng 0 nên 
 đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi và đồng thời đạt giá trị nhỏ nhất.
 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 khi x = -1. 
Khi đó nên b đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi y = 0. 
Vậy giá trị nhỏ nhất của là 2 khi .
Phải chăng lời giải trên là đúng?
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Lời giải “boăn khoăn”: 
Ta có 
 
 
Suy ra . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Hệ trên vô nghiệm nên D không tồn tại giá trị lớn nhất.

Bạn có đồng ý với kết luận trên của bài toán không? Lời giải đã thuyết phục chưa?
A.2. Dạng sai lầm thứ hai

Bài 5. Cho x, y, z thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

Lời giải sai
Với mọi x, y, z ta có: 
Suy ra 
 
 
Mặt khác 
Suy ra 

Cộng theo từng vế của (1) và (2) suy ra .
Vậy giá trị lớn nhất của P là 42.
Bình luận
Bài làm khá “đẹp”, nhưng kết quả lại sai? Theo bạn lời giải sai ở đâu? Khắc phục như thế nào?
Bài 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

Lời giải sai: 
Ta có
Vậy . 
Bình luận: 
Lời giải rất “hồn nhiên” và “ngắn gọn” nhưng lập luận đã chặt chẽ chưa? Kết quả có chính xác không? Theo bạn “kẽ hở” ở chỗ nào?

Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức , với , a và b là các hằng số dương cho trước. 

Lời giải sai: 
Ta có 
 	 
Do đó 
 
Bình luận: 
Lời giải “thuyết phục” đấy chứ, có cần phải giải lại không?

Bài 8. Cho a, b, c là các số dương, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 
Một bạn học sinh đã giải như sau: 
Do a, b, c là các số dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 
 
Nhân từng vế của ba bất đẳng thức cùng chiều và các vế đều dương ta được
.
Do đó P nhỏ nhất bằng 
Các bạn có đồng tình với cách giải này không?

Bài 9. Cho a, b là hai số dương và x, y, z là các số dương tuỳ ý. 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 

Lời giải của một học sinh:

Dễ thấy và 
Vậy 
Tương tự ta có 
 .
Do đó .
Mặt khác chứng minh được 
Suy ra Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là , giá trị này đạt được khi và chỉ khi 
Cách giải trên phải chăng là … đúng! Bạn giải bài toán này như thế nào?

Bài 10.
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

“Lời giải đẹp”
Ta có 
 
Do nên 
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng .

Lời giải “quá gọn”, bạn có ý kiến gì không?

A.3. Dạng sai lầm thứ ba
Bài 11. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

Lời giải sai:
Điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa là 

Nhận xét: Với ta có 
, suy ra 
, suy ra 
Do đó, với thì nên P không có giá trị nhỏ nhất.

Bài 12. Tìm m để phương trình có tổng bình phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải của một học sinh:
Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
.
Khi đó tổng bình phương các nghiệm là:
 (Theo định lí Viét).
Ta có nên tổng bình phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất là -2 khi và chỉ khi 
Giá trị m = -1 không thoả mãn điều kiện (*) nên không tồn tại giá trị của m để tổng bình phương các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất.

A.4. Dạng sai lầm thứ tư

Bài 13. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

Lời giải sai:
Phân thức có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất.
Ta có: 
	
Vậy 
Bình luận: Lời giải có vẻ khá “trơn”, nhưng nếu đi thi mà làm vậy thì “trượt”. Tại sao vậy?

Bài 14. Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất.

Trong một lần kiểm tra có một học sinh đã giải bài toán này như sau:
Điều kiện ; .
Ta có .
Để biểu thức P đạt giá trị lớn nhất thì đạt giá trị nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi hay . Khi đó giá trị lớn nhất của 
Bình luận: 
Nhưng có thể thấy khi thì , do đó không phải là giá trị lớn nhất của P. Vậy sai lầm của lời giải ở đâu? Khắc phục sai lầm đó như thế nào?

A.5. Dạng sai lầm thứ năm

Bài 15. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với 
 
Lời giải sai: Khi hoán vị vòng quanh thì biểu thức A không đổi nên không mất tính tổng quát, giả sử , suy ra

Chia cả hai vế của (1) cho số dương xz ta được 

Mặt khác ta có 
Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều (2) và (3) ta được 

Từ đó suy ra 
Bình luận: 
Tuy kết quả đúng, nhưng xem ra lời giải bất ổn. Tại sao vậy?

Bài 16. Cho x, y, z là các số thực lớn hơn -1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
 

Có một lời giải như sau:
Nếu , ta thay x bởi (-x) thì hai hạng tử đầu của P không đổi còn hạng tử còn lại giảm xuống. Từ đó không mất tính tổng quát giả sử .
Từ , suy ra 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1.
Do đó 
Tương tự ta cũng có 
Từ đó suy ra . Dấu “=’ xảy ra khi và chỉ khi .
Theo các bạn lời giải trên đã chuẩn chưa? Lời giải của bạn như thế nào?

A.6. Một số dạng sai lầm khác thường mắc phải

Bài 17. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 

Lời giải sai.
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên 
 

Bình luận
Lời giải trên đã đúng chưa? Nếu chưa, giải thế nào thì đúng?

Bài 18. Cho hai số x; y thoả mãn x > y và . 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Lời giải sai.
Ta có 
Do x > y và nên 

Biết rằng nếu a > 0 thì (BĐT Côsi)
Do đó .
Vậy A có giá trị nhỏ nhất khi 
. 
Giải phương trình này được nghiệm x – y = 2.
Do đó ta có hệ phương trình sau , nghiệm của hệ phương trình là
(Thoả mãn điều kiện bài ra).
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 
Bình luận
Nhưng với thì có x > y; và 
 Tại sao lại như thế?

Bài 19. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

Một học sinh lên bảng làm như sau:
Ta có 
 .
Suy ra 
Đẳng thức xảy ra 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 5 khi 
Bình luận: 
Trong lớp có hai nhóm đưa ra các nhận xét khác nhau, nhóm thứ nhất cho là lời giải của bạn học sinh trên “có vấn đề”, nhóm thứ hai hoàn toàn nhất trí với lời giải trên. Còn bạn, bạn sẽ đứng ở nhóm nào? Tại sao?

Bài 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

“Lời giải hay”
Ta có với mọi x, suy ra và 
Suy ra 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là -1 khi x = 0.
Sai lầm ở đâu?

Bài 21. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

“Lời giải dễ hiểu”
Điều kiện 
Ta có 
 
 
 
Từ đó đánh giá được 
Bình luận: 
Lời giải rất ‘logic”, liệu các bạn có chấp nhận không?

Bài 22. Cho là nghiệm của hệ phương trình .
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 

“Lời giải hay”
Từ hệ (I) ta có 
Khi đó 
Ta thấy , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi nên khi và chỉ khi .
Mặt khác dễ thấy m càng lớn thì càng lớn, do đó biểu thức F không đạt giá trị lớn nhất.

Bình luận
Bài toán có lỗ hổng không? Nếu có thì nó nằm ở đâu?

Bài 23. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
 với .

Cách giải hay?
Đưa hàm số trên về dạng 
Trong hệ trục tọa độ Oxy, xét các điểm và 
Khi đó Vì , 
Trong đó ,
Suy ra 

Bài toán này giải bằng phương pháp đại số rất khó khăn nhưng nếu giải bằng phương pháp hình học như thế này thì “khá đơn giản” phải không các bạn? Còn bạn sẽ giải bài toán này như thế nào?

Bài 24. Cho a là số cố định, còn x, y là những số biến thiên. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Lời giải sai:
Do nên .
Do đó . Giá trị này đạt được khi và chỉ khi hệ có nghiệm.
Ta có 
Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi phương trì