Đề tài Phương pháp giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

A. MỞ ĐẦU
 Dạy và học tốn ở trường THPT là một quá trình tư duy và sáng tạo. Song song với việc dạy và học định lí và các khái niệm Tốn học, người thầy cịn phải dạy và rèn luyện cho học sinh quy tắc và phương pháp giải tốn, cùng với dạy học giải bài tập tốn. Trong thực tế dạy và học tốn hiện nay ở trường THPT, khơng nhiều học sinh cĩ kĩ năng vận dụng lí thuyết để giải được nhiều lớp bài tốn một cách chính xác và khoa học. Từ nhận thức đĩ tơi xin đưa ra một vài ý kiến và kinh nghiệm của mình xung quanh việc giải bài tập tốn.
I. Vị trí, chức năng của bài tập tốn học.
Ở trường THPT, dạy tốn là dạy hoạt động tốn học. Đối với học sinh, cĩ thể xem việc giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động tốn học. Các bài tốn ở trường phổ thơng là một phương tiện rất cĩ hiệu quả và khơng thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kĩ năng , kĩ xảo ứng dụng Tốn học vào thực tiễn. Phát triển tư duy, rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học. 
II. Dạy học phương pháp tìm tịi lời giải bài tốn
 Trong mơn Tốn ở trường THPT cĩ rất nhiều bài tốn chưa cĩ hoặc khơng cĩ thuật tốn để giải. Đối với những bài tốn ấy cĩ thể hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tịi lời giải. Khơng cĩ một thuật tốn tổng quát nào để giải mọi bài tốn. Chúng ta chỉ cĩ thể thơng qua dạy học giải một số bài tốn cụ thể mà dần dần truyền cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ tìm tịi giải các bài tốn. Thơng thường việc tìm lời giải bài tốn được tiến hành theo bốn bước sau:
Tìm hiểu nội dung bài tốn
Xây dựng chương trình giải
Thực hiện chương trình giải
Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.
Sau đây tơi trình bày một phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình.
B. NỘI DUNG 
Phương pháp giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ
* Phương pháp 
Bước 1: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện của ẩn phụ.
Bước 2: Chuyển PT đã cho về PT ẩn phụ. Giải PT chứa ẩn phụ và tìm nghiệm thỏa 
điều kiện của ẩn phụ.
Bước 3 : Tìm nghiệm PT ban đầu thỏa hệ thức khi đặt ẩn phụ.
* Một số dạng thường gặp
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
1. Phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng dạng :
PT không nhận x = 0 là nghiệm nên chia cả hai vế của PT cho ta được .
Đặt ẩn phụ :.
PT trở thành : .Giải PT này tìm t , từ đó tìm x.
w VD : 
v Giải : 
PT không nhận x = 0 là nghiệm nên chia cả hai vế của PT cho x2
 ta được .
Đặt ẩn phụ : 
ta có PT : 
 ( không thỏa ĐK)
2. Phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng lệch dạng:
PT không nhận x = 0 là nghiệm nên chia cả hai vế của PT cho ta được .
Đặt ẩn phụ :
PT trở thành : .Giải PT này tìm t , từ đó tìm x.
w VD : 
v Giải : PT không nhận x = 0 là nghiệm nên chia cả hai vế của PT cho ta được .
Đặt ẩn phụ : ta có PT :
3. Phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng tỉ lệ dạng:
PT không nhận x = 0 là nghiệm nên chia cả hai vế của PT cho ta được 
Đặt ẩn phụ :.
PT trở thành : 
Giải PT này tìm t , từ đó tìm x 
4. Phương trình bậc bốn hệ số không đối xứng dạng :
Biến đổi PT đã cho về dạng : 
Đặt ẩn phụ : , thu được PT mới : 
Giải PT này tìm t , rồi tìm x 
5. Phương trình dạng : 
Đặt ẩn phụ : ta có hệ : 
Trừ các vế của PT trong hệ ta được một PT hệ quả, từ đó tìm được x .
6) PT dạng : 
Đặt ẩn phụ : .PT (1) trở thành PT bậc hai ẩn t 
Từ đó tìm t , rồi tìm x.
w VD1 :Giải phương trình: 
v Giải: Đặt 
Phương trình này vô nghiệm vì .Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 
w VD2: Giải phương trình: 
v Giải:
ĐK:
Đặt 
7) PT dạng: 
ĐK : 
Đặt ẩn phụ : .
PT trở thành dạng : .
Giải PT này tìm t từ đó suy ra x.
w VD : 
v Giải: ĐK: 
Đặt ẩn phụ:
8) PT dạng :
ĐK : 
Đặt ẩn phụ : .
Thay vào PT (2) ta có PT .
Giải PT này cần xét hai trường hợp : và .
w VD : 
Giải: ĐK : 
 Đặt ẩn phụ : 
Xét hai trường hợp:
9) PT dạng : 
Nếu thì 
Nếu , chia hai vế PT cho P(x) và đặt 
PT trở thành .Giải PT tìm t , suy ra x.
10) PT dạng :
 (5)
ĐK : 
Đặt ẩn phụ : 
PT trở thành .Giải PT tìm t , suy ra x.
11) PT dạng : ; trong đó: (a là hằng số)
Đặt hai ẩn phụ : 
Thu được hệ : 
w VD : Giải phương trình: 
v Giải: TXĐ 
Đặt: 
Ta thu được hệ phương trình: 
Đặt 
TH1: 
TH2: vô nghiệm.
12) Phương trình chứa căn bậc hai và luỹ thừa bậc hai dạng :
 (6)
ĐK:
Đặt hai ẩn phụ: 
PT đã cho trở thành hệ phương trình hai ẩn.
w VD: Giải phương trình 
v Giải: TXĐ: 
* *
13) Phương trình chứa căn bậc ba và luỹ thừa bậc ba dạng :
 (7)
Đặt ẩn phụ : .
PT đã cho trở thành hệ :
 Trừ theo vế các PT trong hệ tìm được u , v , x.
w VD : 
II. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT
1. Tích của hai cơ số bằng 1(Các cơ số dương và khác 1)
a. Đối với mũ : và A.B=1
Đặt : 
Thu được phương trình : với t > 0
Giải phương trình tìm t , suy ra x.
w VD1 : 
v Giải : Chia cả hai vế PT cho và đặt 
b. Đối với logarit (cơ số dương và khác 1)
 với a.b=1
Đặt .
Khi đó đưa phương trình về cùng một cơ số 
w VD : 
v Giải: Nhận xét: 
2. Đặt toàn bộ PT bằng một ẩn phụ t
PP : - Đặt toàn bộ phương trình bằng một ẩn phụ , chẳng hạn ẩn t 
- Chuyển PT về hệ PT , giải tìm t sau đó tìm x.
w VD : 
v Giải: ĐK: x>0
Đặt 
Vế trái là hàm số nghịch biến ,vế phải là hàm số không đổi , suy ra 
phương trình có nghiệm duy nhất t = 2.
 Vậy x= 9 là nghiện của PT đã cho.
3. Đặt ẩn phụ nhưng ẩn của x vẫn còn 
PP : - Có thể đặt ẩn phụ t nhưng ẩn củ x vẫn còn 
- Đưa PT về PT ẩn phụ t và xem x là tham số 
- Giải tìm t theo x , sau đó tìm x.
w VD : 
v Giải: ĐK: x>-1
Đặt: 
Xét PT(*) ta có: 
hàm số nghịch biến và
 hàm số đồng biến trên 
Suy ra PT(*) có nghiệm duy nhất x=2.
Vậy PT có hai nghiệm: 
III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
DẤU HIỆU
Ẩn phụ
Điều kiện ẩn phụ
Biểu thức cần tính
Phụ thuộc vào bài toán cụ thể
1. Phương trình dạng : 
 Đặt ẩn phụ : 
ĐK của ẩn phụ là : 
 Suy ra : 
Thu được PT mới ẩn phụ t như sau : 
 .
* Chú ý 1:
Nếu phương trình dạng : 
 thì đặt ẩn phụ: 
 ĐK của ẩn phụ là : 
Suy ra : 
 Thu được PT mới ẩn phụ t như sau : 
* Chú ý 2: 
Phương trình có dấu giá trị tuyệt đối dạng
Thì ta đặt: 
 * Chú ý 3: 
Phương trình có dấu giá trị tuyệt đối dạng
Thì ta đặt: 
w VD1 : Giải phương trình
v Giải : Đặt ẩn phụ :
ĐK của ẩn phụ là : 
Suy ra : 
Thu được PT mới ẩn phụ t như sau:
Với 
Với 
w VD2: Giải phương trình
w Giải: Đặt 
Thu được phương trình: 
w VD3: Giải phương trình 
v Giải: 
Đặt: 
Điều kiện: 
Thu được phương trình: 
2. 	Phương trình dạng: 
* Cách giải :
B1 :Kiểm tra cos x = 0 có phải là nghiệm của PT hay không ? 
B2 : Khi chia cả hai vế của PT cho và 
 đặt ẩn phụ t = tan x ta thu được một PT mới như sau :
w VD1: Giải phương trình: 
v Giải: Nhận thấy không là nghệm của phương rình đã cho nên ta chia hai vế của phương trình ta thu được phương trình:
w VD2 : Giải phương trình: 
v Giải: Nhận thấy không là nghệm của phương rình đã cho nên ta chia hai vế của phương trình ta thu được phương trình:
w VD3: Cho PT: 
Tìm m để PT đã cho có nghiệm.
v Giải:
Nếu vậy m=2 là một giá trị cần tìm.
Nếu thì ta chia hai vế của phương trình cho . Thu được phương trình:
Đặt 
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 
Vậy phương trình có nghiệm khi 
3. Phương trình dạng: 
Đặt ẩn phụ: 
Điều kiện: 
Khi đó: 
Thu được phương trình: 
w VD: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
v Giải: Đặt ẩn phụ: 
Điều kiện: 
Khi đó: 
Thu được phương trình: 
Xét hàm số 
 Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định, ta có: f(-2) = 4 và f(2) = -4 
Kết luận phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: