Đề tài Sử dụng số phức vào giải một số bài toán đại số

SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 
Nguyễn Văn Mạnh 1
A. ĐẶT VẤN ĐỀ 
 Trong chương trình phổ thông, Đại số (phương trình , hệ phương trình, 
bất đẳng thức, lượng giác, ...) là một trong những nội dung trọng tâm, xuyên 
suốt quá trình , nó có mặt hầu hết trong các kì thi Đại học, Cao đẳng và 
Trung học chuyên nghiệp cũng như trong các kỳ thi học sinh giỏi trong 
những năm gần đây. 
 Việc giải các bài toán về Đại số có nhiều phương pháp như : biến đổi 
tương đương , đặt ẩn phụ , lượng giác hoá , hình học, mặc dù có nhiều 
cách giải như thế , nhưng đứng trước các bài toán dạng này vẫn còn nhiều 
học sinh lúng túng, chưa đưa ra được lời giải , hoặc đưa lời giải chưa chính 
xác . 
 Nhiều học sinh bây giờ đang còn học theo kiểu “làm nhiều rồi quen dạng , 
làm nhiều rồi nhớ”, nếu học như thế sẽ không phát triển được tư duy sáng 
tạo, sẽ không linh hoạt khi đứng trước một tình huống mới lạ hay một bài 
toán tổng hợp . 
 Vì lí do đó, để giúp học sinh tháo gỡ những vướng mắc trên , nhằm nâng 
cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục và giúp học 
sinh có thêm phương pháp trong giải toán ,tôi đã quyết định lấy đề tài : 
“Sử dụng số phức vào giải một số bài toán Đại số ”. 
 Với đề tài này tôi hy vọng sẽ giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt và vận 
dụng thành thạo số phức vào giải toán nói chung , giải các bài toán về Đại số 
nói riêng . 
 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
I. Cơ sở lý luận của vấn đề 
Trong chương trình THPT số phức được đưa vào và giảng dạy ở lớp 12. Sự 
ra đời của số phức là do nhu cầu mở rộng của tập hợp số, số phức là cầu nối 
hoàn hảo giữa các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và giải tích (thể 
hiện rõ qua công thức 1 0ie    ). Khi làm toán trên số phức học sinh sẽ dễ 
dàng thực hiện được vì các định nghĩa và phép toán trong chương trình khá 
cơ bản. Với những tính chất cơ bản của số phức, khi giảng dạy nội dung này 
giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán tạo nên sự lôi cuốn, 
hấp dẫn người học. Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức với một số 
kiến thức đơn giản về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên có 
thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn 
mới mẻ. Để giúp học sinh có sự nhìn sâu và rộng hơn về số phức và thấy 
được mối liên hệ mật thiết giữa số phức với Đại số, Lượng giác, Hình học và 
giải tích, trong quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi khai thác và kết hợp các 
kiến thức khác về toán học để xây dựng các bài tập cho học sinh. 
II. Thực trạng của vấn đề 
 Khái niệm về số phức và các phép toán là một trong những khái niệm cơ 
bản , đơn giản . Học sinh dễ dàng biết được việc thực hiện các phép toán về 
số phức ở dạng đại số cũng như dạng lượng giác và việc giải phương trình 
bậc hai. 
SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 
Nguyễn Văn Mạnh 2
Khi sử dụng định nghĩa hai số phức bằng nhau bằng cách tách phần thực, 
phần ảo sẽ cho ta một hệ phương trình, khi sử dụng công thức Moa-vrơ ta sẽ 
thấy được mối liên hệ giữa số phức với các biểu thức về lượng giác cũng như 
các biểu thức về knC trong khai triển nhị thức Niu-Tơn và khi sử dụng tính 
chất về môđun của số phức ở dạng bất đẳng thức sẽ cho ta các bất đẳng thức 
đại số tương ứng... . Điều đó chứng tỏ rằng số phức liên hệ rất gần gũi với 
các bài toán về đại số, nên ta có thể khai thác số phức như một công cụ để 
giải toán. Tuy nhiên việc vận dụng vấn đề này vào giải các bài toán đại số thì 
học sinh vẫn chưa thành thạo, còn lúng túng. Hướng dẫn các em vận dụng tốt 
phần này sẽ tạo cho các em có thêm phương pháp, có sự linh hoạt hơn trong 
việc giải quyết các dạng toán về đại số. 
Trước khi áp dụng đề tài này vào dạy học, tôi đã khảo sát chất lượng học tập 
của Học sinh (về vấn đề sử dụng số phức vào giải một số bài toán đại số). 
Đã thu được kết quả như sau : 
Lớp Sĩ số 
 Giỏi Khá TB Yếu Kém 
SL % SL % SL % SL % SL % 
12A3 50 3 6 18 36 28 56 1 2 0 0 
12A6 54 2 4 16 30 34 63 2 3 0 0 
12 B5 52 1 2 10 19 33 63 8 16 0 0 
 Như vậy số lượng Học sinh nắm bắt các dạng này không nhiều do chưa có 
được nguồn kiến thức và kĩ năng cần thiết . 
 Thực hiện đề tài này tôi đã khai thác việc sử dụng số phức thông qua các 
ứng dụng cụ thể và bài tập tương ứng cho mỗi ứng dụng đó . 
Cuối cùng là bài tập tổng hợp để học sinh vận dụng các tính chất đã được học 
vào giải quyết . Do khuôn khổ đề tài có hạn nên tôi chỉ đưa ra được bốn ứng 
dụng để giải quyết một số bài toán về đại số đó là: ứng dụng giải hệ phương 
trình, ứng dụng trong việc chứng minh bất đẳng thức, ứng dụng trong việc 
chứng minh các đẳng thức lượng giác và ứng dụng trong việc tính tổng các 
biểu thức chứa knC (số các tổ hợp chập k của n ). 
III. Giải pháp tổ chức thực hiện 
 Thực hiện đề tài này về nội dung tôi chia làm ba phần : 
 Phần 1 . Nêu các kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài 
 Phần 2 . Nêu các ứng dụng 
 Phần 3 . Giải một số bài toán về đại số thông qua các bài tập tương ứng cho 
mỗi ứng dụng. 
Sau đây là nội dung cụ thể : 
Phần 1. Các kiến thức cơ bản 
Các kiến thức cơ bản sử dụng trọng đề tài bao gồm các định nghĩa và tính 
chất từ sách giáo khoa mà học sinh đã được học. 
1. Định nghĩa 
* Một số phức là một biểu thức dạng a + bi , trong đó a , b là những số thực 
và i là số thỏa mãn 2 1i   . Kí hiệu số phức đó là z và viết z a bi  
SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 
Nguyễn Văn Mạnh 3
i được gọi là đơn vị ảo , a được gọi là phần thực , b được gọi là phần ảo của 
số phức z a bi  . 
 * Hai số phức 1 2 ; zz a bi c di    gọi là bằng nhau nếu a = c , b = d . 
 Khi đó ta viết 1 2z z . 
* Cho z a bi  , ta có số phức liên hợp của z là z a bi  , 
 môđun của z là 2 2z a b  . 
* Với mọi số phức 1 2 3 ; ; z z z ta có: 
 1 2 1 2z z z z   và 1 2 3 1 2 3z z z z z z     . 
2. Phương trình bậc hai 
Dạng : 2 0Az Bz C   , trong đó A, B , C là những số phức 0A  
Cách giải 
 Xét biệt thức 2 4B AC   
* Nếu 0  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 
 1 2
B
z
A
 
 , 2 2
B
z
A
 
 (trong đó  là một căn bậc hai của  ) 
* Nếu 0  thì phương trình có nghiệm kép 1 2 2
B
z z
A
   . 
3. Dạng lượng giác của số phức 
* Mỗi số phức z đều có thể viết được dưới dạng ( os )z r c isin   ( trong 
đó r là môđun của z và  là một acgumen của z ) được gọi là dạng lượng 
giác của số phức. 
* Nếu ( os )z r c isin   thì z có ba căn bậc ba là 
3 3 32 2 4 4( os .sin ) , ( os .sin ) , ( os .sin )
3 3 3 3 3 3
r c i r c i r c i
            
  
* Nếu ( os )z r c isin   thì *(cos sin ) (n N )n nz r n i n    (công thức Moa-vrơ). 
4. Công thức nhị thức Niu-tơn 
  0 1 1 ... ..n n n k n k k n nn n n na b C a C a b C a b C b        . 
Hệ quả   0 11 ... ..n k k n nn n n nx C C x C x C x       . 
5. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân 
Cho  nu là một cấp số nhân với công bội 1q  , ta có 
1
1 2
(1 )
...
1
n
n
u q
u u u
q

   

Phần 2. Các ứng dụng của số phức 
1. Ứng dụng giải hệ phương trình 
Kiến thức sử dụng 
* Hệ pt 
( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; )
A x y B x y
A x y iC x y B x y iD x y
C x y D x y

   

. 
SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 
Nguyễn Văn Mạnh 4
* Nếu ( os )z r c isin   thì z có ba căn bậc ba là 
3 3 32 2 4 4( os .sin ) , ( os .sin ) , ( os .sin )
3 3 3 3 3 3
r c i r c i r c i
            
  
2. Ứng dụng trong việc chứng minh bất đẳng thức 
Kiến thức sử dụng 
* Cho z a bi  , ta có môđun của z là 2 2z a b  . 
* Với mọi số phức 1 2 3 ; ; z z z ta có: 
1 2 1 2z z z z   và 1 2 3 1 2 3z z z z z z     . 
 3. Ứng dụng trong việc chứng minh các đẳng thức lượng giác 
Kiến thức sử dụng 
* Nếu ( os )z r c isin   thì *(cos sin ) (n N )n nz r n i n    (công thức Moa-vrơ). 
* Cho  nu là một cấp số nhân với công bội 1q  , ta có 
1
1 2
(1 )
...
1
n
n
u q
u u u
q

   

 4. Ứng dụng trong việc tính tổng các biểu thức chứa knC (số các tổ hợp 
chập k của n ) 
Kiến thức sử dụng 
*   0 11 ... ..n k k n nn n n nx C C x C x C x       . 
* Nếu ( os )z r c isin   thì *(cos sin ) (n N )n nz r n i n    (công thức Moa-vrơ). 
* A + Bi = C + Di 
A C
B D

 

Phần 3. Giải một số bài toán về đại số thông qua các bài tập tương ứng 
cho mỗi ứng dụng. 
Ta sẽ xét từng ứng dụng vào giải toán đại số thông qua các ví dụ . Sau 
cùng là các bài tập vận dụng . 
1. ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Kiến thức sử dụng 
* Hệ pt 
( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )
( ; ) ( ; )
A x y B x y
A x y iC x y B x y iD x y
C x y D x y

   

. 
* Nếu ( os )z r c isin   thì z có ba căn bậc ba là 
3 3 32 2 4 4( os .sin ) , ( os .sin ) , ( os .sin )
3 3 3 3 3 3
r c i r c i r c i
            
  
Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau: 
a. 
3 2
2 3
2 6 5
6 2 5 3
x xy
x y y
 

 
Giải 
SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 
Nguyễn Văn Mạnh 5
Hpt  3 2 2 32 6 6 2 5 5 3x xy i x y y i       3 1 35
2 2
x yi i
 
    
 
z x yi   là một căn bậc ba của 1 35
2 2
i
 
 
 
 ,vì 
1 3
5 5( os sin )
2 2 3 3
i c
  
    
 
1 3
5
2 2
i
 
 
 
 có ba căn bậc 3 là: 
3 3 3
0 1 2
7 7 13 13
5( os sin ) ; 5( os sin ) ; 5( os sin )
9 9 9 9 9 9
z c z c z c
     
     
xét 0 1 2 ; ; z z z z z z   , ta được : 
3 3 3
3 3 3
7 13
5. os 5. os 5. os
9 9 9 ; ; 
7 13
5.sin 5.sin 5.sin
9 9 9
x c x c x c
y y y
  
  
        
  
    
    
là nghiệm của hpt đã cho 
b. 
3 2 2 2
3 2
3 3 3 3 0
3 6 3 1 0
x xy x y x
y x y xy y
    

    
Giải 
Hpt 
3 2
2 3
( 1) 3 ( 1) 1
3( 1) 1
x y x
x y y
   
 
  
3 2 2 3( 1) 3 .( 1) 3( 1) . 1x y x i x y y i          
3( 1 ) 1x iy i     
1z x yi    là một căn bậc 3 của 1 i , vì 1 2( os sin )
4 4
i c
 
   
Nên 1 i có 3 căn bậc ba là: 
6 6 6
0 1 2
3 3 17 17
2( os sin ) ; 2( os sin ) ; 2( os sin )
12 12 4 4 12 12
z c i z c i z c i
     
     
 xét 0 1 2 ; ; z z z z z z   , ta được: 
6
6
1 2. os
12
2.sin
12
x c
y


   

 

 ; 
6
6
3
1 2. os
4
3
2.sin
4
x c
y


   

 

; 
6
6
17
1 2. os
12
17
2.sin
12
x c
y


   

 

Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình: 
a. 
2 2
2 2
5 7 5
7 0
7 5 5
0
x y
x
x y
x y
y
x y
 
  


   
Giải 
SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 
Nguyễn Văn Mạnh 6
ĐK 2 2 0x y  
Hpt
2 2 2 2
5 7 5 7 5 5
7
x y x y
x i y
x y x y
  
     
  
2 2 2 2
ix
5. 7 5. 7
x iy y
x yi
x y x y
 
    
 
 (*) 
Đặt 
2 2 2 2
1 ix
 ; 
x iy y i
z x yi
x y z x y z
 
    
 
 , khi đó : 
(*) 5 7 5. 7iz
z z
    2 7 5 7 5 0z z i    
7 5
5
z i
z i
  
 

Với 7 5z i  
7
5
x
y

 
 
 ; với 5z i
0
5
x
y

 

 (tmđk) 
KL: hệ phương trình có hai nghiệm là: (7 ; 5 ) và (0 ; 5 ) 
b. 
4 4 3 2
3 2 3 3 2 2
3 3 2 4 0
2 3 2 3 (2 1) 1 2 4
x y x xy x y
x y x y xy y x y y
     

       
Giải 
Hpt 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( )( ) 3 ( ) 2( 2 ) 0
2 ( ) 3 ( ) 4( ) 2(2 ) 0
x y x y x x y x y
xy x y y x y x y x y
      
 
       
Nếu x = y = 0 ; thỏa mãn hệ pt nên x = y = 0 là nghiệm của hệ 
Nếu 2 2 0x y  
Hpt 
2 2
2 2
2 2
2
3 2. 0
2
2 3 4 2. 0
x y
x y x
x y
x y
xy y
x y
     
 
    
 
 2 2
2 2
2
3 2.
x y
x y x
x y

  

+i.[
2 2
2
2 3 4 2.
x y
xy y
x y

  

 ] = 0 
2 2
2 2 2 2
( 2 ) 3( ) 2. 4. 4 0
x iy y xi
x xyi y x yi i
x y x y
 
        
 
2
2 2 2 2
( ) 3( ) 2. 4. 4 0
x iy y xi
x yi x yi i
x y x y
 
       
 
Đặt 
2 2 2 2
1 ix
 ; 
x iy y i
z x yi
x y z x y z
 
    
 
; ta có phương 
trình: 2 2 43 4 0iz z i
z z
    
SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 
Nguyễn Văn Mạnh 7
3 2 23 4 2 4 0 ( 1)( 2 4 2) 0z z iz i z z z i           
2
1
1
3
2 4 2 0
1
z
z
z i
z z i
z i

            
Với 
1
1
0
x
z
y

  

 ; với 
3
3
1
x
z i
y

   
 
 ; với 
1
1
1
x
z i
y
 
    

KL: hệ pt đã cho có 4 nghiệm là : (0 ; 0) ; (1; 0) ; (3 ; -1) và (-1; 1) . 
Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình: 
a. 
12
1 . 2
3
12
1 . 6
3
x
y x
y
y x
 
   

      
Giải 
ĐK : , 0 ; 3 0x y y x   
Đặt 
3
u x
v y
 


( u , v  0 ). Ta có hệ phương trình: 
2 2
2 2
12
2 3
12
6
u
u
u v
v
v
u v
   

  
 
2 2 2 2
12 12
2 3 6
u v
u i v i
u v u v
         
2 2
12. 2 3 6
u iv
u vi i
u v

    

 ; đặt z u iv 
2 2
1u iv
u v z

 

 ; ta có pt 
1
12. 2 3 6z i
z
   2 2( 3 3 ). 12 0z i z    
( 3 3) (3 3)
( 3 3) (3 3)
z i
z i
    
 
   
 ; do u , v  0 nên ( 3 3) (3 3)z i    
2
2
(3 3)
3 3 4 2 3
3
3 3 12 6 3
(3 3)
u xx
v y
y
           
      
LK: hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất :
4 2 3
12 6 3
x
y
  

 
 . 
SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 
Nguyễn Văn Mạnh 8
b. 
1
3 . 1 2
1
7 . 1 4 2
x
x y
y
x y
  
     

      
Giải 
ĐK : , 0 ; 0x y y x   ; đặt ; x u y v  ( u , v  0 ). 
 Ta có hệ phương trình:
2 2
2 2
2
3
4 2
7
u
u
u v
v
v
u v
   

   
2 2 2 2
2 4 2
. .
73
u v
u i v i
u v u v
         
2 2
2 4 2
73
u vi
u vi i
u v

    

; đặt z u iv 
2 2
1u iv
u v z

 

, ta có pt 
21 2 4 2 1 2 22 . 1 0
3 7 3 7
z i z i z
z
 
        
 
; có 
' 238 4 2 2. ( 2. )
21 21 21
i i      
1 2 2 2
2
3 21 7
1 2 2 2
2
3 21 7
z i
z i
   
      
   
             
Do u , v  0 , nên 
2
2
1 2 11 4
3 21 21 3 7
22 82 2
2
7 77
u x u
y vv
        
     
 
KL: hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất 11 4 22 8( ; ) ;
21 73 7 7
x y     
 
SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 
Nguyễn Văn Mạnh 9
2. ỨNG DỤNG TRONG VIỆC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
Kiến thức sử dụng 
* Cho z a bi  , ta có môđun của z là 2 2z a b  . 
* Với mọi số phức 1 2 3 ; ; z z z ta có: 
1 2 1 2z z z z   và 1 2 3 1 2 3z z z z z z     . 
Ví dụ 1. Chứng minh rằng với x R  , ta luôn có: 
2 22 5 2 5 2 5x x x x      
Giải 
Bđt    2 22 21 2 1 2 2 5x x       
Xét các số phức 1 1 2z x i   ; 2 1 2z x i   1 2 2 4z z i    
Vì 1 2 1 2z z z z       
2 22 2 2 21 2 1 2 2 4 2 5x x        
Nên đpcm 
Ví dụ 2. Chứng minh rằng với , ,x y z R  , ta luôn có: 
2 2 2 2 2 2x xy y x xz z y yz z        
Giải 
Bđt
2 22 2
2 23 3
2 2 2 2
y y z z
x x y yz z
                     
      
Xét 1
3
2 2
y y
z x i   ; 2
3
2 2
z z
z x i       1 2
1 3
2 2
z z y z y z i      
Vì 1 2 1 2z z z z  
2 22 2
3 3
2 2 2 2
y y z z
x x
                  
      
   
22
2 21 3
2 2
y z y z y yz z
             
 nên  đpcm 
Ví dụ 3. Chứng minh rằng với x R  , ta luôn có: 
2 2 2 21 1 16 32 1 1 4 82 4 10 4 2 2
2 2 5 5 2 2 5 5
x x x x x x x           
Giải 
Bđt 2 2 2 2
32 64 8 16
4 8 20 4 2 4
5 5 5 5
x x x x x x x             
SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 
Nguyễn Văn Mạnh 10
 
2 2 2 2
22 2 2 16 8 4 82 4 2 4 2 4
5 5 5 5
x x x x
                                          
Xét 1 2z x i  ; 2 4 2z x i   ; 3
16 8
5 5
z x i   ; 4
4 8
5 5
z x i   
 1 2 4 4z z i    ; 3 4
12 16
5 5
z z i    , vì 
1 2 3 4 1 2 3 4z z z z z z z z            
2 2
2 2 12 164 4 4 2 4
5 5
VT             
   
 nên  đpcm 
Ví dụ 4. Cho a , b, c, d là bốn số thực thỏa mãn điều kiện 
   2 2 2 21 2 ; c 36 12a b a b d c d        .Chứng minh rằng : 
     
62 2
2 1a c b d     
Giải 
Từ giả thiết ta có        2 2 2 21 1 1 ; 6 6 36a b c d        
Xét    1 2 31 1 , 6 6 , z 5 5z a b i z c d i i          
1 2 3 ( ) ( )z z z c a d b i       , vì 1 2 3 1 2 3z z z z z z     
   2 21 6 5 2 c a d b            62 2 2 1a c b d      
Ví dụ 5. Cho , , 0a b c  thỏa mãn ab + bc + ca = 1.Chứng minh rằng : 
2 2 2 2 2 22 2 2
3
b a c b a c
ba cb ac
  
   
Giải 
 Bđt 
2 2 2
2 2 2
1 2 1 2 1 2
3
a b b c c a
     
           
     
Xét 1 2 3
1 2 1 2 1 2
 ; ; z i z i z i
a b b c c a
      
1 2 3
1 1 1 1 1 1
2z z z i
a b c a b c
              
   
, vì 
1 2 3 1 2 3z z z z z z    
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3VT
a b c a b c a b c
                   
     
 ,vì 
ab + bc + ca = 1 1 1 1 1
a b c
    , nên VT 3  đpcm 
SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 
Nguyễn Văn Mạnh 11
Ví dụ 6. Chứng minh rằng với , , 0x y z  , ta có : 
 2 2 2 2 2 2 3x xy y y yz z z zx x x y z           
Giải 
Bđt 
 
2 2 22 2 2
3 3 3
3
2 2 2 2 2 2
y y z z x x
x y z x y z
                               
          
xét 1
3
2 2
y y
z x i   ; 2
3
2 2
z z
z y i   ; 3
3
2 2
x x
z z i   
   1 2 3
3 3
2 2
z z z x y z x y z i         ,vì 1 2 3 1 2 3z z z z z z     
     2 29 3 3
4 4
VT x y z x y z x y z           đpcm 
3. ỨNG DỤNG TRONG VIỆC CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC 
LƯỢNG GIÁC 
Kiến thức sử dụng 
* Nếu ( os )z r c isin   thì *(cos sin ) (n N )n nz r n i n    (công thức Moa-vrơ). 
* Cho  nu là một cấp số nhân với công bội 1q  , ta có 
1
1 2
(1 )
...
1
n
n
u q
u u u
q

   

Ví dụ 1. Chứng minh rằng: 
 a. 3 5 1os os os
7 7 7 2
c c c
  
   
b. 3 5 1sin sin sin .cot
7 7 7 2 14
   
   
Giải 
Xét os sin
7 7
z c i
 
  ; ta có: 
3 5 3 5 3 5os os os sin sin sin
7 7 7 7 7 7
z z z c c c i
                  
   
 (1) 
Mặt khác : 
7
3 5
2 2
1 1
1 1 1
z z z
z z z
z z z
  
    
  
= 
2 2
1 os sin1 1 17 7 .cot
2 2 141 os sin (1 os ) sin
7 7 7 7
c i
i
c i c
 

   
 
   
   
 (2) 
SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 
Nguyễn Văn Mạnh 12
Từ (1) và (2) 
3 5 1
os os os
7 7 7 2
3 5 1
sin sin sin .cot
7 7 7 2 14
c c c
  
   
   
 
   

 (đpcm) 
Ví dụ 2. Chứng minh rằng với 2x k   , ta có : 
a. 
( 1)
sin . os
2 2cos os2 ... cos 1
sin
2
n x nx
c
x c x nx
x

      
 b. 
( 1)
sin .sin
2 2sin sin2 ... sin
sin
2
n x nx
x x nx
x

    
Giải 
Đặt cos os2 ... cosA x c x nx    ; sin sin2 ... sinB x x nx    
Xét cos isinz x x  , ta có: 
2 ... nA Bi z z z     21 1 ... nA Bi z z z        
1 1
1
nz
z


1 os( 1) isin( 1)
1
1 cos s inx
c n x n x
A Bi
x i
   
   
 
2
2
( 1) ( 1) ( 1)
2sin 2 .sin . os
2 2 2
2sin 2 .sin . os
2 2 2
n x n x n x
i c
x x x
i c
  



( 1) ( 1)
sin . os sin .sin
2 2 2 21
sin sin
2 2
n x nx n x nx
c
A Bi i
x x
 
     
( 1) ( 1)
sin . os sin .sin
2 2 2 21 ; B = 
sin sin
2 2
n x nx n x nx
c
A
x x
 
    (đpcm) 
Ví dụ 3. Tính các tổng sau: 
0 0
.sin( ) ; T . os( )
n n
k k
n n
k k
S q k q c k   
 
     
( trong đó ; ; q  là các số thực cho trước ) 
Giải 
Ta có : 
     iS os isin os( ) .sin( ) ... os( ) .sin( )nn nT c q c i q c n i n                    
SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 
Nguyễn Văn Mạnh 13
2( os .sin ). 1 ( os .sin ) ( os2 .sin2 ) ... (cos .sin )nc i q c i q c i q n i n                 
đặt os .sinz c i   ; ta được 
2 2. ( os .sin ). 1 ... n nn nT i S c i qz q z q z         
1( ) 1
( os +i.sin ).
1
nqz
c
qz
 
 
   
( os .sin ) ( os(n+1) +i.sin(n+1) )-1
( os .sin ) 1
nc i q c
q c i
   
 
   
 
 
 
1 2
2
1 2
2
os . os(n - )-q os ( 1) os( )
1 2 cos
sin sin( ) sin( 1) sin( )
 .
1 2 cos
n n
n n
c qc c n q c n
q q
q n q n q n
i
q q
      

      

 
 
    
 
 
      

 
Vậy  
1 2
2
sin sin( ) sin( 1) sin( )
1 2 cos
n n
n
q n q n q n
S
q q
      

       

 
và  
1 2
2
os . os(n - )-q os ( 1) os( )
1 2 cos
n n
n
c q c c n q c n
T
q q
      

     

 
Ví dụ 4. Chứng minh rằng : 
 33 3 3 32 4 8 1os os os 5 3 7
7 7 7 2
c c c
  
    
Giải 
Ta có 2 2os .sin ; ( k = 0 ,1, ... ,6)
7 7k
k k
x c i
 
  là các nghiệm của pt 
7 1x  , từ đó kx (k = 0 ,1, ..., 6) là nghiệm của pt 
3 2
6 5 1 1 1... 1 0 2 1 0x x x x x x
x x x
                      
     
Đặt 
1
y x
x
  , khi đó 1 22. os
7k k k kk
k
y x x x c
x

     ( k = 1 ,2 ,3 ) là 
nghiệm của pt : 3 2 2 1 0y y y    .Theo định lý viet ta có: 
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
1
2
2
y y y
y y y y y y
y y y
   
    
  
 ; 
đặt 3 3 3 3 3 31 2 3 1 2 2 3 3 1 ; A y y y B y y y y y y      , ta có 
3 33
1 2 3 1 2 33 3 4 3 (1)A y y y y y y AB A AB         , tương tự 
3 5 3 (2)B AB   , Lấy (1) nhân với (2) ta được 
SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 
Nguyễn Văn Mạnh 14
      3 33 4 3 5 3 7 0AB AB AB AB       33 7AB   , thay vào 
(1) ta được 3 33 35 3 7 5 3 7A A     
 33 3 3 32 4 6 1os os os 5 3 7
7 7 7 2
c c c
  
     ,mà 6 8cos os
7 7
c
 
 
Nên  33 3 3 32 4 8 1os os os 5 3 7
7 7 7 2
c c c
  
     (đpcm) 
4. ỨNG DỤNG TRONG VIỆC TÍNH TỔNG CÁC BIỂU THỨC CHỨA 
k
nC (SỐ TỔ HỢP CHẬP k CỦA n ) 
 Kiến thức sử dụng 
*   0 11 ... ..n k k n nn n n nx C C x C x C x       . 
* Nếu ( os )z r c isin   thì *(cos sin ) (n N )n nz r n i n    (công thức Moa-vrơ). 
* A + Bi = C + Di 
A C
B D

 

Ví dụ 1. Tính tổng: 
 A = 10 0 9 2 8 4 7 6 2 16 18 2020 20 20 20 20 20 203 - 3 3 - 3 ... 3 - 3C C C C C C C    
Giải 
Xét khai triển: 
 
20
20 0 19 1 18 2 2 18 19 20
20 20 20 20 20 203 i ( 3) C i( 3) C ( 3) C ... ( 3) C i 3C C        = 
= ( 10 0 9 2 8 4 7 6 2 16 18 2020 20 20 20 20 20 203 C 3 C 3 C 3 C ... 3 C 3C C       ) + 
+  19 1 17 3 3 17 1920 20 20 20( 3) C ( 3) C ... ( 3) C 3C i    
Mặt khác: 
 
20 20
20
20 20 203 1 20 203 2 2 cos sin 2 cos sin
2 2 6 6 6 6
i i i i
                    
    
20 20 19 194 4 1 32 cos isin 2 i 2 2 3 i
3 3 2 2
             
   
So sánh phần thực của  
20
3 i trong hai cách tính trên ta có: 
10 0 9 2 8 4 7 6 2 16 18 20
20 20 20 20 20 20 203 - 3 3 - 3 ... 3 - 3C C C C C C C    = - 2
19 
Ví dụ 2. Tính các tổng sau: 
SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 
Nguyễn Văn Mạnh 15
A = 0 2 4 6 12 1415 15 15 15 15 15C -3C +5C -7C +...+13C -15C 
B = 1 3 5 7 13 1515 15 15 15 15 152C -4C +6C -8C +...+14C -16C 
Giải 
Xét khai triển: 
(1 + x)15 = 0 1 2 2 3 3 13 13 14 14 15 1515 15 15 15 15 15 15C C C C ... C C Cx x x x x x       
x(1 + x)15 = 0 2 1 3 2 4 3 14 13 15 14 16 1515 15 15 15 15 15 15C C C C ... C C x Cx x x x x x       
Đạo hàm hai vế ta có: 
(1 + x)15 + 15x(1 + x)14 = 
0 1 2 2 3 3 13 13 14 14 15 15
15 15 15 15 15 15 15 2 3 4 ... 14 15 16C xC x C x C x C x C x C        
Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = 
=  0 2 4 6 12 1415 15 15 15 15 15C 3C 5C 7C ... 13C 15C      + 
+ 1 3 5 7 13 1515 15 15 15 15 152C 4C 6C 8C ... 14C 16C      i 
Mặt khác: 
(1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = 
   
15 14
15 14
2 cos sin 15i. 2 cos isin
4 4 4 4
i
            
   
   15 157 715 15 14 14 2 22 cos isin 15.2 i cos isin 2 i 15.2
4 4 4 4 2 2
                    
     
7 7 7 7 7 8 72 2 15.2 14.2 2 7.2 2i i i        
So sánh phần thực và ảo của (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 trong hai cách tính trên ta 
có: 0 2 4 6 12 1415 15 15 15 15 15C -3C +5C -7C +...+13C -15C = 7.2
8 
 1 3 5 7 13 1515 15 15 15 15 152C -4C +6C -8C +...+14C -16C = -2
7 
Ví dụ 3. Tính tổng: S = 0 3 6 3 15 1820 20