Đề tài Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học

MỤC LỤC
Nội dung
Trang
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
2
Mục đích nghiên cứu
2
Đối tượng ngiên cứu
2
Giới hạn của đề tài
2
Nhiệm vụ của đề tài
2
Phương pháp nghiên cứu
2
Thời gian nghiên cứu
2
NỘI DUNG 
Cơ sở lí luận 
3
Cơ sở triết học
3
Cơ sở tâm lí học
3
Cơ sở giáo dục học
3
Thực trạng của đề tài
Thời gian và các bước tiến hành
3
Khảo sát chất lượng đầu năm môn hình học
3
Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên
3
Giải quyết vấn đề
Định nghĩa phép biến hình
4
Một số tính chất của phép biến hình
4
Biểu thức toạ độ của một số phép biến hình
5
Các dạng bài tập cơ bản
5
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
Kết quả 
15
Kết luận
15
Khuyến nghị
15
TÀI LIỆU THAM KHẢO
16
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài. 
 Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam.
 Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
 Qua nhiều năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 11 khi học về phép biến hình rất khó tiếp thu và áp dụng. Vì vậy để giúp học sinh học tốt môn hình học lớp 11 tôi đã chọn đề tài “ Ứng dụng các phép biến hình vào giải toán hình học”. 
2. Mục đích nghiên cứu.
 Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ các phép biến hình và ứng dụng của nó trong việc giải toán. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học.
3. Đối tượng ngiên cứu:
 Các phép biến hình và ứng dụng của nó trong giải toán hình học lớp 11.
4. Giới hạn của đề tài:
 Giúp đỡ học sinh học tốt các phép biến hình, ứng dụng của nó trong chương trình hình học lớp 11.
5. Nhiệm vụ của đề tài:
 Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt môn hình học lớp 11(Các phép biến hình, ứng dụng các phép biến hình vào giải toán)
 Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường THPT.
6. Phương pháp nghiên cứu:
 Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài.
Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).
Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,).
Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS thông qua trao đổi trực tiếp).
Phương pháp thực nghiệm.
7. Thời gian nghiên cứu:
Năm học 2011-2012
PHẦN II. NỘI DUNG
Trong các giờ học về phần: Các phép biến hình, ứng dụng của nó học sinh nắm chưa chắc, chưa hiểu bản chất. Tư duy hàm, suy luận lôgíc, khả năng khaí quát phân tích còn hạn chế, đặc biệt là phần ứng dụng các phép biến hình. Vì vậy học sinh còn lúng túng, xa lạ, khó hiểu chưa kích thích được nhu cầu học tập của học sinh. Để các em tiếp thu bài một cách có hiệu quả tôi xin đưa ra một vài ứng dụng của phép biến hình cụ thể trong giải toán hình học lớp 11:
1: Định nghĩa phép biến hình:
1.1: Định nghĩa:
Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.
1.2: Một số phép biến hình trong mặt phẳng:
1.2.1: Phép tịnh tiến:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho vectơ , phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho = , gọi là phép tịnh tiến theo vectơ .
Kí hiệu: .
Vậy: (M) = M’= .
1.2.2: Phép đối xứng trục:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng MM’ gọi là phép đối xứng trục d.
Kí hiệu: Đd.
Vậy: Đd(M) = M’ (M0 là giao điểm của d với đoạn thẳng MM’).
1.2.3: Phép đối xứng tâm:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm I, phép biến hình biến mỗi điểm M khác I thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ gọi là phép đối xứng tâm I.
Kí hiệu: ĐI.
Vậy: ĐI(M) = M’ .
1.2.4: Phép quay:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và góc lượng giác , phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM=OM’, góc lượng giác (OM,OM’) = gọi là phép quay tâm O, góc quay.
Kí hiệu: Q(O,)
Vậy: Q(O,)(M)=M’
1.2.5: Phép đồng nhất:
Định nghĩa: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó gọi là phép đồng nhất.
1.2.6: Phép vị tự:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và số k0, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho , gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.
Kí hiệu: V(O,k)
Vậy: V(O,k)(M)=M’
1.2.7: Phép dời hình:
Định nghĩa: Phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì gọi là phép dời hình.
1.2.8: Phép đồng dạng:
Định nghĩa: Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k(k>0) nếu với 2 điểm M,N bất kì và ảnh M’,N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’=kMN.
2: Một số tính chất của phép biến hình:
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay thay đổi thứ tự giữa ba điểm đó.
Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
Biến tam giác thành tam giác bằng nó ( hoặc đồng dạng với nó), biến góc thành góc bằng nó.
Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính R (hoặc kR).
3. Biểu thức toạ độ của một số phép biến hình:
3.1: Phép tịnh tiến:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu (M) = M’ thì 
3.2: Phép đối xứng trục:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu
 +) ĐOx(M) = M’ thì 
 	+) ĐOy(M) = M’ thì 
3.3: Phép đối xứng tâm:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho , M(x;y), M’(x’;y’). Khi đó nếu ĐI(M) = M’ thì 
4: Các dạng bài tập cơ bản:
Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua phép biến hình:
Phương pháp chung:
-Sử dụng định nghĩa.
-Sử dụng biểu thức toạ độ của phép biến hình.
-Sử dụng các tính chất của phép biến hình.
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho véctơ , đường thẳng d có phương trình: 3x-5y+3=0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ .
Cách 1: Chọn M(-1;0) thuộc d, M’=T(M) =(-3;3). M’ thuộc d’.Vì d’//d nên d’ có phương trình 3x-5y+C=0. M’ thuộc d’óC=24.
Vậy phương trình đường thẳng d’ là:3x-5y+24=0.
Cách 2: Từ biểu thức toạ độ của T thay vào phương trình của d ta được: 3x’ -5y’+24=0.
Vậy phương trình đường thẳng d’ là:3x-5y+24=0.
Cách 3: Lấy M,N bất kì thuộc d, tìm ảnh M’,N’ tương ứng của M và N qua phép tịnh tiến theo vectơ . Khi đó đường thẳng d’ là đường thẳng M’N’.
Bài 2:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho M(1;5), đường tròn (C) có phương trình x2+y2-2x+4y-4=0, đường thẳng d có phương trình x-2y+4=0.
a)Tìm ảnh của m,(C), d qua phép đối xứng trục Ox.
b)Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục d.
Giải:
Gọi M’,(C’),d’ lần lượt là ảnh của M, (C), d qua phép đối xứng trục Ox.
Ta có M’ (1;-5).
(C) có tâm I(1;-2), bán kính R=3. Đường tròn (C’) có tâm là I’=ĐOx(I)=(1;2) và bán kính R=3. Vậy phương trình (C) là: (x-1)2+(y-2)2=9.
Gọi N’(x’;y’) là ảnh của N(x;y) qua phép đối xứng trục Ox, ta có . Thay vào phương trình của d ta được: x’+2y’+4=0.
Vậy phương trình của d’ là x+2y+4=0.
b)Đường thẳng d1 đi qua M và vuông góc với d có phương trình là: 2x+y-7=0.
Gọi M0 là giao điểm của d và d1 thì toạ độ của M0 là nghiệm của hệ:
Vậy M0(2;3)
Gọi M1 là ảnh của M qua phép đối xứng trục d thì M0 là trung điểm đoạn thẳng MM1 nên M1(3;1).
Bài 3:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(3;4).Hãy tìm toạ độ điểm A’ là ảnh của A qua phép quay tâm O góc quay 900.
Gọi B(3;0), C(0;4) lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các trục Ox,Oy. 
Phép Q(O,900) biến hình chữ nhật OBAC thành hình chữ nhật OB’A’C’. Ta thấy B’(0;3), C’(-4;0) 
=>A’(-4;3)
Giải;
Bài 4Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình:3x+2y-6=0.Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-2.
Giải:
Cách 1: V(O,k)(d)=d’ =>d’//d => d’ có phương trình:3x+2y+C=0. Lấy M(0;3) thuộc d.Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép vị tự đã cho, ta có 
Vậy M’(0;-6), M’ thuộc d’ =>C=12.
Do đó phương trình d’ là:3x+2y+12=0.
Cách2: Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M(x;y) qua phép vị tự tamO tỉ số k=-2, ta có
Điểm M thuộc d .
Vậy phương trình d’ là:3x+2y+12=0.
Cách 3:
Lấy M,N bất kì trên d, tìm ảnh M’,N’ của M,N qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-2. Khi đó d’ là đường thẳng M’N’.
Bài 5:Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình:
x+y-2=0.Hãy viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm I(-1;-1), tỉ số k= và phép quay tâm O góc quay -450.
Giải:
Phép vị tự tâm I tỉ số k= biến d thành d1 => d//d1 =>d1 có phương trình:x+y+C=0.
Lấy M(1;1) thuộc d, V(I,)(M)=O, O thuộc d1 => d1 có phương trình:x+y=0.
Q(O,-450)(d1)=Oy.
 Vậy phương trình d’ là: x=0.
Dạng 2: Dùng phép biến hình để giải một số bài toán dựng hình:
Phương pháp: Để dựng điểm M ta làm như sau:
Cách 1: Xác định M như ảnh của một điểm đã biết qua một phép biến hình.
Cách 2: Xem M như là giao điểm của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép biến hình.
Bài1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(-1;-1),B(3;1),C(2;3). Tìm toạ độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Giải:
Giả sử điểm D(x;y). Ta có , mà 
Do đó: . Vậy D(-2;1).
Bài 2: Hai thôn nằm ở vị trí A, B cách nhau một con sông(Xem hai bờ sông là hai đường thẳng song song). Người ta dự định xây một chiếc cầu MN bắc qua sông(cầu vuông góc với bờ sông) và làm hai đoạn đường AM, NB(như hình vẽ). Hãy xác định vị trí chiếc cầu MN sao cho AM+NB ngắn nhất. 
Giải:
Trưòng hợp 1: Coi con sông rất hẹp. Bài toán trở thành: Cho hai điểm A,B nằm ở hai phía khác nhau so với đường thẳng a. Tìm vị trí M trên A để AM+AN nhỏ nhất. Khi đó M là giao điểm của AB với a.
Trưòng hợp 2: a//b
Nhận xét: a,b cố định =>cố định. 
T(A) =A’ =>A’N = AM.
Ta có AM+BN = A’N+NB =A’B
Cách dựng: Dựng A’=T(A). Nối A’ với B cắt b tại N. Từ N hạ đường thẳng vuông góc với a tại M. Khi đó MN là vị trí xây cầu.
Bài 3: Cho hai điểm A,B nằm về một phía của đường thẳng d. Hãy xác định điểm M trên d sao cho AM+MB bé nhất.
Giải:
Nhận xét: Gọi A’= Đd(A) =>AM=AM’
Vậy: AM+MB =A’M+MB=A’B
Cách dựng:
Dựng A’= Đd(A) 
Nối A’ với B cắt d tại M, khi đó AM+MB nhỏ nhất.
Giải:
Nhận xét: Gọi A’ = ĐOx(A), A”=ĐOy(A)
=>A’B=AB, A”C=AC
=>AB+BC+CA=A’B+BC+A”C=AA” (nhỏ nhất)
Dựng:
A’ = ĐOx(A)
A”=ĐOy(A)
Nối A’ với A”, AA” cắt Ox và Oy lần lượt tại B và C. Khi đó chu vi tam giác ABC nhỏ nhất.
Bài 4: Cho góc nhọn , điểm A nằm trong góc đó. Hãy xác định điểm B trên Ox, điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
Bài 5: Cho góc nhọn , điểm A thuộc miền trong của góc đó. Hãy tìm một đường thẳng đi qua A, cắt Ox, Oy lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của MN.
Giải:
Giả sử đã dựng được hai điểm M,N thoả mãn yêu cầu của bài toán. Khi đó N=ĐA(M). Gọi O’x’ = ĐA(Ox), ta có N là giao điểm của O’x vàOy. Từ đó ta có cách dựng:
Dựng O’x’ = ĐA(Ox), gọi N là giao điểm của O’x và Oy, M=ĐA(N).Khi đó M,N là hai điểm cần tìm. 
Theo cách dựng trên cặp điểm M,N là duy nhất
Bài 6:Cho đường tròn (O;R) và (O1;R1) cắt nhau tại A và B. Hãy dựng đường thẳng d đi qua A và cắt (O;R) và (O1;R1) lần lượt tại M và M1 sao cho A là trung điểm của MM1
Giải:
Giả sử đã dựng được đường thẳng d thoả mãn điều kiện đề bài. Khi đó ta có M1=ĐA(M). Gọi đường tròn (O’,R) là ảnh của đường tròn (O,R) qua phép đối xứng tâm A. Ta có M1 là giao điểm của (O’;R) với đường tròn (O1,R1).
Cách dựng:
Dựng đường tròn (O’,R) là ảnh của đường tròn (O,R) qua phép đối xứng tâm A.Gọi M1 là giao điểm của (O’;R) với đường tròn (O1,R1) không trùng với A, M=ĐA(M1). đường thẳng d là đường thẳng MM1.
Theo cách dựng trên có một đường thẳng d thoả mãn điều kiện đề bài.
Bài 7:Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b, một điểm C. Tìm trên a và b các điểm A và B tương ứng sao cho tam giác ABC vuông cân ở A.
Giải:
Giả sử đã dựng được hai điểm A,B thoả mãn điều kiện đầu bài. Ta thấy:
=450, ==> B là ảnh của A qua phép đồng dạng F có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm C, góc quay -450, phép vị tự tâm C tỉ số . Gọi a” là ảnh của a qua phép đồng dạngF. Ta có B là giao điểm của b và a” 
Cách dựng:
Dựng a’ là ảnh của a qua phép quay tâm C, góc quay -450.
Dựng a” là ảnh của a’ qua phép vị tự tâm C tỉ số .
B là giao điểm của a” và b
Dựng B’ là ảnh của B qua phép quay tâm C, góc quay 450.
Dựng A là ảnh của B’ qua phép vị tự tâm C tỉ số ()-1.
Theo cách dựng trên cặp điểm A,B là duy nhất
Bài 8: Cho đường tròn (O) với dây cung PQ. Dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A,B nằm trên đường thẳng PQ và hai đỉnh C,D nằm trên đường tròn.
Giải:
Giả sử đã dựng được hình vuông ABCD thoả mãn điều kiện của bài toán. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng PQ thì OI là đường trung trực của PQ nên cũng là đường trung trực của DC và do đó cũng là đường trung trực của AB. Từ đó suy ra, nếu dựng hình vuông PQMN thì có phép vị tự tâm I biến hình vuông PQMN thành hình vuông ABCD.
Cách dựng:
Dựng hình vuông PQMN. Lấy giao điểm C và C’ của đường thẳng IM và đường tròn, lấy giao điểm D và D’ của IN và đường tròn( ta kí hiệu sao cho hai điểm C, D nằm về một phía đối với đường thẳng PQ). Gọi các điểm B,A,B’,A’ lần lượt là hình chiếu của các điểm C,D,C’,D’ trên đường thẳng PQ. Ta được các hình vuông ABCD và A’B’C’D’ thoả mãn điều kiện của bài toán.
Dạng 3: Dùng phép biến hình để giải một số bài toán tìm tập hợp điểm.
Phương pháp:
Chứng minh tập hợp điểm cần tìm là ảnh của một hình đã biết qua một phép biến hình.
Bài 1: Cho đường tròn (O) và tam giác ABC. Một điểm M thay đổi trên đường tròn(O). Gọi M1 là điểm đối xứng của M qua A, M2 là điểm đối xứng của M1 qua B, M3 là điểm đối xứng của M2 qua C. Tìm quỹ tích của điểm M3.
Giải:
Gọi D là trung điểm của MM3 thì ABCD là hình bình hành. Do đó điểm D cố định. Phép đối xứng qua điểm D biến M thành M3.
Do đó Quỹ tích điểm M3 là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm D.
Bài 2:
Cho hai điểm phân biệt B,C cố định (BC không phải là đường kính) trên đường tròn (O), điểm A di động trên (O). Chứng minh rằng khi A di động trên (O) thì trực tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn.
Giải:
Cách1:
Gọi H là trực tâm tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Tia BO cắt đường tròn (O) tại D . Ta có =900 nên DC//AH, AD//CH => tứ giác ADCH là hình bình hành => .
Vì không đổi => T2(A) =H.
Vậy khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì H di chuyển trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo 2
Cách 2:
Gọi H là trực tâm tam giác ABC
Gọi I, H’ lần lượt là giao điểm của tia AH với đoạn thẳng BC vả đường tròn (O). Ta có:
; 
Do đó tam giác HCH’ cân tại C => H và H’ đối xứng nhau qua BC.
Khi A chạy trên đường trong (O) thì H’ cũng chạy trên đường tròn (O) => khi A di động trên (O) thì trực tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn là ảnh của (O) qua phép đối xứng trục BC.
Cách 3:
Gọi H là trực tâm tam giác ABC, I là trung điểm của BC. Tia AO và BO cắt (O) lần lượt tại M và D. Theo chứng minh trong cách 1ta có .
Trong tam giác AHM có OI//AH và OI = AH => OI là đường trung bình của tam giác AHM => I là trung điểm của HM => H và M đối xứng nhau qua I. Vì BC cố định nên I cố định.
Khi A di động trên (O) thì M di chuyển trên (O). Do đó khi A di động trên (O) thì trực tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép đối xứng tâm I.
Bài 3:
Cho đường tròn (O;R), I cố định khác O. Một điểm M thay đổi trên (O). Tia phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Tìm quỹ điểm N.
Giải:
Vì ON là tia phân giác của góc nên hay vì (O), I cố định nên =k( k là hằng số, k 0)
Vậy phép vị tự tâm I tỉ số biến điểm M thành điểm N.
Do đó khi M chạy trên đường tròn (O) thì N di động trên đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn (O) qua phép vị tự tâm I tỉ số .
Bài 4: Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm C thay đổi trên đường tròn đó. Dựng hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích điểm B và điểm D.
Giải:
Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M sao cho AM=AB=AD. 
Khi đó, ta có:.
Ngoài ra; (AM,AB)=450 và (AM,AD)=-450.
Suy ra, phép vị tự V tâm A, tỉ số k= biến điểm C thành điểm M và phép quay Q tâm A góc quay 450 biến điểm M thành điểm B. Vậy nếu gọi F là phép hợp thành của V và Q thì F biến C thành B. Vì quỹ tích của C là đường tròn (O), nên quỹ tích của B là ảnh của đường
 tròn đó qua phép đồng dạng F.
Đường tròn quỹ tích B có thể xác định như sau:
Gọi AR là đường kính đường tròn (O) và PQ là đường kính của (O) vuông góc với AR (ta kí hiệu các điểm P,Q sao cho (AR,AP)=450). Khi đó ta thấy phép đồng dạng F biến AR thành AP. Vậy quỹ tích điểm B là đường tròn đường kính AP.
Tương tự ta có quỹ tích điểm D là đường tròn đường kính AQ.
Bài 5:Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn đó. Một đường thẳng thay đổi đi qua P, cắt (O) tại hai điểm A và B. Tìm quỹ tích điểm M sao cho: .
Giải:
Gọi I là trung điểm của AB thì .
Bởi vậy = 2.
Gọi V là phép vị tự tâm P tỉ số k=2 thì V biến điểm I thành điểm M.
Vì I là trung điểm của AB nên OIAB. Suy ra quỹ tích của điểm I là đường tròn (C) đường kính PO.
Vậy quỹ tích của điểm M là đường tròn
 (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự V. Nếu ta lấy O’ sao cho thì (C’) là đường tròn đường kính PO’
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết quả thực hiện đề tài: 
 Số liệu về kết quả học tập của các lớp kiểm chứng là 11A2, 11A3, 11B1 Trường THPT Hoàng Mai (đây là các lớp tập trung học sinh khá) từ học kỳ I năm học 2011-2012 (lớp 11A3 là lớp đối chứng). Số liệu thống kê như sau :Lớp thực nghiệm: 11A2, 11B1 mỗi lớp 10 em ngẫu nhiên.Lớp đối chứng: 11A3: 20 em ngẫu nhiên.
Bảng thực nghiệm
Nhóm thực nghiệm
Nhóm đối chứng
 Học sinh
KT đầu năm
KT trước tác động
KT sau tác động
KT đầu năm
KT trước tác động
KT sau tác động
1
5
6
7
4
7
7
2
6
5
7
5
6
5
3
4
6
7
6
3
4
4
6
6
8
7
6
5
5
7
8
10
5
6
6
6
4
5
6
8
6
9
7
3
3
4
8
9
10
8
5
6
8
4
6
7
9
6
4
6
5
6
6
10
5
7
9
3
5
4
11
4
3
6
4
4
6
12
4
2
6
6
5
8
13
9
7
9
7
6
7
14
6
7
10
3
4
4
15
5
7
8
6
8
7
16
7
9
10
9
6
8
17
8
6
8
7
8
7
18
4
5
7
4
4
5
19
3
6
7
5
5
4
20
6
7
7
4
6
5
Môt(mode)
6.0
6.0
7.0
4.0
6.0
7.0
Trung vị(median)
5.0
6.0
7.0
5.0
6.0
6.0
Giá trị trung bình(average)
5.35
5.75
7.50
5.50
5.80
6.20
Độ lệch chuẩn(stdev)
1.60
1.74
1.57
1.73
1.47
1.74
P(ttess)
0.78
0.92
0.03
Điểm trung bình của nhóm thực nghiệm: 7,5 điểm, của lớp đối chứng: 6,2 điểm cho thấy: Điểm trung bình, tỷ lệ bài kiểm tra đạt loại khá, giỏi ở lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng. 
- Trong bảng thực nghiệm cho thấy kết quả kiểm tra của nhóm đối chứng có độ lệch chuẩn thấp hơn sau khi có sự tác động chứng tỏ sự đồng đều hơn trong các bài kiểm tra đã có hiệu quả.
- Phép kiểm chứng t-test độc lập giúp chúng ta xác định xem chênh lệch giữa giá trị trung bình của hai nhóm khác nhau có khả năng xảy ra ngẫu nhiên hay không. Trong phép kiểm chứng t-test độc lập, chúng ta tính giá trị p, trong đó: p là xác xuất xảy ra ngẫu nhiên. Với mức ý nghĩa p = 0,03< 0,05 Giá trị p bằng 0,03 của phép kiểm chứng t-test là có ý nghĩa và kết quả không có khả năng xảy ra ngẫu nhiên. Vậy ta đưa ra giả thuyết rằng kết quả về điểm trung bình và tỷ lệ đạt loại khá giỏi khi dạy bằng phương pháp tôi đưa ra sẽ tốt hơn so với kết quả dạy bằng phương pháp cũ. Điều này khẳng định thêm sự tiến bộ tích cực do tác động mang lại
2. Kết luận:
Qua thời gian nghiên cứu đề tài và vận dụng đề tài vào giảng dạy tôi rút ra được một số ý kiến sau:
Giáo viên: 
Tạo ra tâm thế hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức môn học để thúc đẩy tính tích cực tư duy của học sinh, khắc phục tâm thế ngại, sợ khi tiếp cận nội dung môn học. Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp môn học sẽ trở lên hấp dẫn và người học thấy được ý nghĩa của môn học.
Về phương pháp dạy học, cần chú ý hơn đến phương pháp lĩnh hội tri của HS, giúp các em có khả năng tiếp thu sáng tạo và vận dụng linh hoạt tri thức trong tình huống đa dạng
Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật trong việc thực hiện các kĩ năng giải toán thông qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính độc lập, tính tự giác ở người học, thông qua đó hình thành và phát triển nhân cách của các em.
Phải thường xuyên học hỏi trau rồi chuyên môn để tìm ra phương pháp dạy học phù hợp.
Phải nhiệt tình, gương mẫu quan tâm tới học sinh, giúp đỡ các em để các em không cảm thấy áp lực trong học tập.
Luôn tạo ra tình huống có vấn đề, kích thích hứng thú tìm tòi học tập ở học sinh.
Cho học sinh thấy ứng dụng của lý thuyết vào thực hành.
Đặt ra câu hỏi gợi mở phù hợp với đối tượng học sinh.
Học sinh:
Chăm chỉ nắm chắc lý thuyết.
Có ý thức học tập, hiểu vấn đề một cách sâu sắc.
Biết chuyển ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ Toán.
Có óc tưởng tượng, phán đoán lôgíc
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Sách giáo khoa hình học lớp 11.
Sách giáo viên hình học lớp 11.
Để học tốt hình học lớp 11 .
Sách hướng dẫn giảng dạy hình học lớp 11.
Phương pháp dạy học môn toán.
Một số vấn đề phát triển hình học 11.
Sách chuyên đề nâng cao hình học THPT.
Tạp chí giáo dục và thời đại.
Tạp chí toán học tuổi trẻ.