Đề tài Vài bài toán về phương trình logarit khác cơ số

Chuaån bò cho kyø thi Ñaïi hoïc 
 Page 1 
Vài bài toán về phương trình 
logarit khác cơ số 
 Huỳnh Đức Khánh – 0975.120.189 
 Descartes Giải tích – ĐH Quy Nhơn 
 Phương trình logarit với cơ số khác nhau luôn là vấn đề gây khó dễ cho học sinh khi gặp phải 
trong các đề thi. Học sinh thường lúng túng khi biến đổi, gặp khó khăn để đưa về cùng cơ số hoặc đưa về 
các phương trình cơ bản. Tôi viết bài xin đóng góp vài bài mẫu về vấn đề này, nó được dùng các phương 
pháp: Đổi cơ số, đặt ẩn phụ để đưa về phương trình mũ, biến đổi tương đương, đánh giá hai vế. 
Ví dụ 1. Giải phương trình: 
2 3 4 20
log x log x log x log x+ + = . 
Điều kiện: x 0> . 
Với điều kiện trên phương trình tương đương 
2 3 2 4 2 20 2
log x log 2. log x log 2. log x log 2.log x+ + = 
 ( )2 3 4 20log x 1 log 2 log 2 log 2 0⇔ + + − = 
2
log x 0⇔ = (do 
3 4 20
1 log 2 log 2 log 2 0+ + − ≠ ) 
 x 1⇔ = (thỏa mãn). 
Vậy phương trình có nghiệm x 1= . 
Ví dụ 2. Giải phương trình: 
( )23 2log x 3x 13 log x− − = . 
Điều kiện: 
2x 3x 13 0 3 61
x
x 0 2
 − − > + ⇔ >
 >
. 
Đặt: t
2
log x t x 2= ⇔ = . 
Phương trình trở thành: ( )t t3log 4 3.2 13 t− − = 
 t t t4 3.2 13 3⇔ − − = 
t t t
3 1 2
1 13 3
4 4 4
         ⇔ = + +               
. (*) 
Hàm số 
t t t
3 1 2
y 13 3
4 4 4
         = + +               
 là tổng của các hàm nghịch biến nên y nghịch biến, 
hàm y 1= là hàm hằng. Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất. 
Ta có: 
3 3 3
3 1 2
1 13 3
4 4 4
         = + +               
. Suy ra phương trình (*) có nghiệm t 3= . 
Với 3t 3 x 2 8= ⇒ = = (thỏa mãn). 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 8= . 
Chuaån bò cho kyø thi Ñaïi hoïc 
 Page 2 
Ví dụ 3. Giải phương trình: 
( )2 3log 1 x log x+ = . 
Điều kiện: x 0> . 
Đặt: t
3
log x t x 3= ⇔ = . 
Phương trình trở thành: ( )t2log 1 3 t+ = 
 t t1 3 2⇔ + = 
tt
1 3
1
2 2
    ⇔ + =      
. (*) 
Hàm số 
tt
1 3
y
2 2
    = +       
 là tổng của các hàm nghịch biến nên y nghịch biến, hàm 
y 1= là hàm hằng. Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất. 
Ta có: 
22
1 3
1
2 2
    + =      
. Suy ra phương trình (*) có nghiệm t 2= . 
Với 2t 2 x 3 9= ⇒ = = (thỏa mãn). 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 9= . 
Ví dụ 4. Giải phương trình: 
( ) ( )2 23 2log x 2x 1 log x 2x+ + = + . (1) 
Điều kiện: 
2
2
x 2x 1 0 x 2
x 0x 2x 0
  + + > + >  
. 
Đặt: 2u x 2x= + . Phương trình (1) trở thành: ( )3 2log u 1 log u+ = . (2) 
Xét phương trình (2). Ta đặt: t
2
log u t u 2= ⇔ = . 
Phương trình (2) trở thành: ( )t3log 2 1 t+ = 
 t t2 1 3⇔ + = 
t t
2 1
1
3 3
     ⇔ + =        
. (3) 
Hàm số 
t t
2 1
y
3 3
     = +        
 là tổng của các hàm nghịch biến nên y nghịch biến, hàm y 1= 
là hàm hằng. Do đó phương trình (3) có nghiệm duy nhất. 
Ta có: 
1 1
2 1
1
3 3
     + =        
. Suy ra phương trình (3) có nghiệm t 1= . 
Với 1 2
x 1 3
t 1 u 2 2 x 2x 2
x 1 3
 = − −= ⇒ = = ⇒ + = ⇔ 
= − +
 (thỏa mãn). 
Vậy phương trình có nghiệm x 1 3; x 1 3= − − = − + . 
Chuaån bò cho kyø thi Ñaïi hoïc 
 Page 3 
Ví dụ 5. Giải phương trình: 
( ) ( )3 5log x 1 log 3x 1 4+ + + = . 
Điều kiện: 
x 1 0 1
x
3x 1 0 3
 + > ⇔ > −
 + >
. 
Đặt: ( ) t3log x 1 t x 1 3+ = ⇔ + = , suy ra: 
t3x 1 3.3 2+ = − . 
Phương trình trở thành: ( )t5t log 3.3 2 4+ − = 
 ( )t5log 3.3 2 4 t⇔ − = − 
 t 4 t3.3 2 5 −⇔ − = 
 t
t
625
3.3 2
5
⇔ − = 
 t t3.15 2.5 625⇔ − = 
t t
1 1
3 625 2
15 3
     ⇔ = +        
. 
Hàm số 
t t
1 1
y 625 2
15 3
     = +        
 là tổng của các hàm nghịch biến nên y nghịch biến, hàm 
y 3= là hàm hằng. Do đó phương trình có nghiệm duy nhất. 
Ta có: 
2 2
1 1
3 625 2
15 3
     = +        
. Suy ra phương trình có nghiệm t 2= . 
Với 2t 2 x 1 3 x 8= ⇒ + = ⇔ = (thỏa mãn). 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 8= . 
Cách khác: ● Kiểm tra x 8= là nghiệm của phương trình. 
● Nếu x 8> thì 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )3 3 3 5
5 5
log x 1 log 8 1 2
log x 1 log 3x 1 4
log 3x 1 log 3.8 1 2
+ > + =  ⇒ + + + >
+ > + = 
. 
● Nếu x 8< thì 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )3 3 3 5
5 5
log x 1 log 8 1 2
log x 1 log 3x 1 4
log 3x 1 log 3.8 1 2
+ < + =  ⇒ + + + <
+ < + = 
. 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 8= . 
Chuaån bò cho kyø thi Ñaïi hoïc 
 Page 4 
Ví dụ 6. Giải phương trình: 
( ) ( ) ( )22 5 1
2
log x 5x 4 log x 4 1 log 5x 5− + + − = − − . 
Điều kiện: 
2x 5x 4 0
x 4 0 x 4
5x 5 0
 − + > − > ⇔ >
 − >
. 
Với điều kiện trên phương trình tương đương 
 ( )( ) ( ) ( )2 5 2log x 1 x 4 log x 4 1 log 5 x 1   − − + − = + −    
 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 5 2 2log x 1 log x 4 log x 4 1 log 5 log x 1⇔ − + − + − = + + − 
( ) ( )2 5 2 2log x 4 log 2. log x 4 1 log 5⇔ − + − = + 
( ) ( )5 2 21 log 2 log x 4 1 log 5⇔ + − = + 
( ) 22
5
1 log 5
log x 4
1 log 2
+
⇔ − =
+
( )2 2log x 4 log 5⇔ − = 
x 4 5⇔ − = 
x 9⇔ = (thỏa mãn). 
Vậy phương trình có nghiệm x 9= . 
Ví dụ 7. Giải phương trình: 
( ) ( )2 23x 7 2x 3log 4x 12x 9 log 6x 23x 21 4+ ++ + + + + = . (1) 
Điều kiện: 
3
x 1
2
− < ≠ − . 
Với điều kiện trên phương trình tương đương 
 ( ) ( )( )
2
3x 7 2x 3
log 2x 3 log 3x 7 2x 3 4
+ +
 + + + + =  
 ( ) ( )3x 7 2x 32 log 2x 3 log 3x 7 1 4+ +⇔ + + + + = 
( )
( )3x 7 3x 7
1
2 log 2x 3 3
log 2x 3+
+
⇔ + + =
+
. (2) 
Đặt: ( )3x 7t log 2x 3+= + . Phương trình (2) trở thành 
2
t 1
1
2t 3 2t 3t 1 0 1
t t
2
 =

+ = ⇔ − + = ⇔
 =

. 
• Với ( )3x 7t 1 log 2x 3 1 2x 3 3x 7 x 4+= ⇒ + = ⇔ + = + ⇔ = − (loại). 
• Với ( )
( )
3x 7
x 2 loai
1 1
t log 2x 3 2x 3 3x 7 1
2 2 x
4
+
 = −

= ⇒ + = ⇔ + = + ⇔
 = −

. 
Vậy phương trình có nghiệm 
1
x
4
= − . 
Chuaån bò cho kyø thi Ñaïi hoïc 
 Page 5 
Ví dụ 8. Giải phương trình: 
( )xlog x 1 lg2+ = . 
Điều kiện: 0 x 1< ≠ . 
● Nếu 0 x 1 , ta có 
( )x xlog x 1 log 1 0 lg1 lg2+ < = = < . 
● Nếu x 1> thì x 1 x+ > , ta có 
( )x xlog x 1 log x 1 lg10 lg2+ > = = > . 
Vậy phương trình vô nghiệm. 
Ví dụ 9. Giải phương trình: 
( ) ( ) ( )2 3 4 5log x log x 1 log x 2 log x 3+ + = + + + . 
Điều kiện: x 0> . 
● Kiểm tra x 2= là một nghiệm của phương trình. 
● Nếu 0 x 2< < thì 
x x 2 x 1 x 3
1 và 1
2 4 3 5
+ + +
> > > > , 
Suy ra 
2 2 2
x x 2 x 2
log log log
2 4 4
+ +
> > ( )2 4log x log x 2⇒ > + . 
3 3 5
x 1 x 3 x 3
log log log
3 5 5
+ + +
> > ( ) ( )3 5log x 1 log x 3⇒ + > + . 
Suy ra 
( ) ( ) ( )2 3 4 5log x log x 1 log x 2 log x 3+ + > + + + . 
● Tương tự cho trường hợp x 2> , ta được 
( ) ( ) ( )2 3 4 5log x log x 1 log x 2 log x 3+ + < + + + . 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2= . 
Ví dụ 10. Giải phương trình: 
( ) ( )2 3 3 2log log x log log x= . 
Điều kiện: x 1> . 
Đặt: ( ) ( )2 3 3 2log log x log log x t= = . Khi đó 
( )
( )
t
2 3 3
t
3 2 2
log log x t log x 2 (1)
log log x t log x 3 (2)
 =  = ⇔ 
 = =  
. 
Suy ra: ( )
t tt
3 x
3 2 3t
2 x 3
log x log 22 2 2
log 2 t log log 2
log x log 3 3 33
     = ⇔ = ⇔ = ⇔ =        
. 
Từ (1) suy ra: 
( )log log 22 3
t 32 2x 3 3= = . 
Chuaån bò cho kyø thi Ñaïi hoïc 
 Page 6 
Bài tập tương tự. Giải các phương trình sau: 
 1. ( )7 5log x 2 log x+ = . 2. ( )46 42 log x x log x+ = . 
 3. ( )23 2log x 1 log x− = . 4. ( ) ( )
2 3
2 3
log x 1 log x 1 0+ − + = . 
 5. ( ) ( )2 26 5log x 2x 2 log x 2x 3− − = − − . 6. 2 3log x log x= . 
-- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- Chuùù ùcc cc aùù ù cc em hoïï ï cc ss ii nh ñaïï ïtt keáá átt quaûû û tt oáá á tt tt rr ong kyøø ø tt hii saéé ép tt ôùù ù ii -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --