Đề tài Về phương trình và các bất phương trình

Về phương trình và bất phương trình
...............................................................
A.Mở đầu:
1.Những điều phải nói ngay:
Chả phải nói riêng bài toán về phương trình(ptr) hay bất phương trình(bptr),trước
bất kỳ bài toán nào mà bạn phải tiếp cận và giải quyết nên trải qua 3 câu hỏi kinh
điển sau:
(H1) Có những đối tượng đặc biệt nào xuất hiện trong bài toán của chúng
ta ?
(H2) Các đối tượng đó cóliên quan gì đặc biệt với nhau?
(H3) Cần sử dụng công cụ gì để khai thác quan hệ đã khám phá trên?
2.Bản chất bài toán ptr, bptr Khi quan trắc cuộc sống với nhiều đối tượng
con người nảy sinh các sự so sánh giá trị có 2 lối rẽ trong tư duy con người khi so
sánh
1) Khẳng định sự chênh lệch giá trị giữa các đối tượng đã quan trắc khẳng định này
có tính đúng sai minh bạch tạo nên các đẳng thức và bất đẳng thức .
2)Thiết lập các điều kiện so sánh và kiếm tìm giá trị của đối tượng thay đổi làm thỏa
mãn sự so sánh đã thiết lập đó. Sự so sánh được thiết lập ra ko kèm theo khẳng định
mà là để tạo ra các mục tiêu (đk) tìm kiếm tạo nên các phương trình bất phương trình.
.Khái niệm ptr 1 ẩn số
Là một đk được thiết lập dạng:
f(x) = g(x)
Với f(x) và g(x) là 2 biểu thức (hàm số) biến x, trong ptr nó là đối tượng chưa biết
trước gọi là ẩn số mà ta cần tìm kiếm (giải thoát) khỏi những ràng buộc để thỏa mãn
sự so sánh.
.Chú ý
+Nếu thay dấu ”=” bởi các dấu ss khác ta có các bptr.
+Nếu có nhiều đk ss được thiết lập (cùng với có thể xuất hiện nhiều đối tượng tìm
kiếm) đồng thời ta có các hệ (ptr và bptr)
Những lý lẽ phía trên của tôi hy vọng giúp các bạn không bao giờ hàm hồ mà
phát biểu rằng ptr hay bptr này là đúng hay sai cả mà chỉ có các đẳng thức hay bất
đẳng thức sai mà thôi.
+Các tình huống xảy ra với 1 ptr (bptr):
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
2th1: Vô No (ko tìm được giá trị thỏa đk thiết lập so sánh)
th2: Có duy nhất 1 gtrị tìm được thỏa mãn .....
th3+..: Tìm được nhiều...thậm chí vô số
+Về nghiệm của ptr :
đó là giá trị tìm thấy của ẩn số thỏa đảm sự so sánh trong ptr bạn hãy nhớ trước khi
ss đối tượng ss cần phải ”sống được” đã. Và đó là lý do cần xác lập sự tồn tại của
các biểu thức bị bế đi mà ss.
Với hệ ptr nhiều ẩn số No của nó phải là 1 bộ giá trị đồng thời làm thỏa mãn sự
ss thiết lập, tôi phải nói vậy vì đôi khi tôi thấy rằng có bạn đi kl 1 hệ bậc nhất 2 ẩn
có 2 No !
3.Bàn về sự so sánh
phép so sánh xuôi phép so sánh ngược
= 6=
> 
< á
phép so sánh ngược phép so sánh xuôi
+Các cấu trúc được thiết lập nên để so sánh với nhau chính là các biểu thức (hàm
số) mà biến số chính là giá trị chưa biết trước (cần tìm kiếm) gọi là ẩn số. Các biểu
thức ấy chẳng qua là các công thức liên kết lại từ các phép toán cơ bản. Vì thế về
cơ bản công việc giải phương trình là giải thoát ẩn số khỏi những ràng buộc rắc rối
đã được thiết lập, sự giải thoát ấy ắt hẳn phải đi kèm việc biến đổi ”tác động” vào
đối tượng đưa về hình thức dễ khai thoát hơn(cơ bản) .
+Không phải lúc nào cũng có thể (hay là cũng nên) tìm kiếm (giải thoát) trực
tiếp ẩn số, có thể với 1ptr( bptr ) quá cồng kềnh ta nên tìm kiếm 1 đối tượng trung
gian chứa ẩn số trực tiếp := ẩn số phụ, hệt như người ta tìm vàng (ẩn số trực tiếp),
thực ra là tìm ”quặng chứa vàng” (ẩn số phụ) rồi từ quặng mà đãi ra vàng 10.Cũng
phải nói ngay là chẳng phải cứ đá quặng nào cũng đãi ra vàng,vì thế nếu đặt ẩn số
phụ thì phải đặt điều kiện cho ẩn phụ.
+Cũng cần nhớ rằng do có các sự so sánh giá trị := sự đánh giá. Thế nên không
được quên rằng đôi khi việc tìm kiếm (giải thoát) phải cần tới các kỹ năng đánh giá
để cá biệt hóa điều kiện so sánh.
Tóm lại :
Có 3 giải pháp cơ bản trước 1 ptr( bptr)
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
3(gp1)B: Biến đổi các đối tượng có mặt theo những mục đích sau:
(+)Đưa về các hình thức căn bản
(+)Xuất hiện đối tượng thể hiện chung (ẩn số phụ)
(+)Bắt nhân tử
(gp2)a: Tìm ra đối tượng thể hiện chung để đặt ẩn phụ với mục đích làm đơn
giản kết cấu (đặc biệt chú ý điều này với bài toán có tham số)
(gp3)d:Đánh giá tương thích các đối tượng có mặt để cá biệt hóa sự so sánh
Cần phải nắm được điều này nếu muốn xác định mục đích bài toán cũng
như hình thành các phương án giải
4.Sự giải thoát khỏi các phép toán
Do các cấu trúc được thiết lập nên để so sánh là các biểu thức (hàm số) mà các
hàm số sơ cấp của chúng ta lại là các quy tắc dưới hình thức các công thức cho tương
ứng giá trị được hình thành trên các phép toán cơ bản (quy tắc định trị cơ bản). Ta
đã biết các phép toán cơ bản như sau:
Bảng 2:
phép toán xuôi phép toán ngược
+ -
Ê Ơ
(::)n n
p
:::
cos(:::) arccos(:::)
sin(::) arcsin(:::)
a(:::) loga(:::)
phép toán ngược phép toán xuôi
Các phép toán tác động trực tiếp vào biến số đó cộng với các phép hợp hàm số
giúp hình thành nên các lớp hàm số sơ cấp sau:
1,Hàm đa thức
2,Hàm phân thức
3,Hàm vô tỷ
4,Hàm lượng giác
5,Hàm số mũ và logarit
6,Các hàm tổng hợp từ cả 6 phép trên
Trong việc giải ptr(bptr) bạn cần nắm chắc điều này để có được hệ thống về các
hình thức ptr(bptr) và ý tưởng (giải pháp) cơ bản về kỹ năng xử lý.
Ví dụ1:
Giải phương trình:
2:
p
3xĂ 2Ă 3: 3pxĂ 1 = 1:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
4Trước khi bắt đầu lời giải cần có những nhận xét sau:
Có:
căn bậc 2 (liên quan: đến phép lũy thừa bậc2) và bậc 3 (nghĩ đến phép lũy thừa
bậc 3) của những lượng bậc nhất (rất dễ hóa giải nhờ phép nhân chia cho hằng số
và phép cộng trừ)
Tạo quan hệ:
(
p
3xĂ 2)2 = 3x - 2
( 3
p
xĂ 1)3 = x - 1
3(x - 1) - (3x - 2) = -1 $ (p3xĂ 2)2 - 3( 3pxĂ 1)3 = 1 (*)
Như vậy nếu rút bớt 1 đối tượng căn vd:
p
3xĂ 2 = 3
3
pxĂ 1 + 1
2
ta tìm ra đối
tượng thể hiện chung (ẩn số phụ) ( 3pxĂ 1) = t đem thay vào (*) để có
ptr $ Ă4t3 + 3t2 + 2tĂ 1 = 0 đây là 1ptr bậc 3 nhưng có no đặc biệt t = 1...
—————-
Phải nói luôn nhược điểm của chương trình phổ thông hiện tại khi vắng mặt hai
”2 viên thuốc giải” cho 2 phép toán lượng giác đó là phép lấy arccos và arcsin
chả khác nào đẻ con gái ra (những đứa con gái siêu việt) rồi để nó ế chồng! Phá
mất sự hài hòa của cấu trúc.
4.Về bài toán có tham số
Xin quay lại sự ví von việc giải ptr như là đi tìm vàng, sự kiếm tìm không chỉ
phụ thuộc cách thức, công nghệ tìm kiếm mà còn phụ thuộc nhiều yếu tố. Giải
phương trình cũng thế, trong những điều kiện thực tế khác nhau một đối tượng sẽ
có những giải pháp kiếm tìm và giải thoát khác nhau. Việc đó không chỉ phụ thuộc
đối tượng trực tiếp (ẩn số) ta đi tìm mà còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố, những yếu
tố phụ gia (giống như chất xúc tác trong phản ứng điều chế chất hóa học) có thể
chưa tường minh giá trị (cũng như một biến số trong biểu thức hàm được thiết lập
so sánh) nhưng ta không coi nó là ẩn số (vì có phải mục đích là đi tìm nó đâu!) mà
gọi là tham số và ứng với mỗi tình huống đặc biệt xảy đến với tham số tình huống
và điều kiện giải thoát lại khác đi buộc ta phải luận xét tường minh (quá trình biện
luận). Vì lý do trên tôi nghĩ về bản chất
tham số là:
số tham gia vào sự thiết lập so sánh trong phương trình có thể gây đến những
giải pháp khác nhau cho việc tìm kiếm ẩn số
Xin đặt mình vào xúc cảm của một người chỉ huy một trận đánh khi gặp bài toán
biện luận nói riêng hay có tham số nói chung. Hãy đặt ra những chữ ”nếu” có lý
(một cách tự nhiên) cho những tình huống xảy đến cho trận đánh ”giải thoát của
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
5bạn”; đó thực chất là một quá trình diễn dịch các ý tưởng giải thoát. Tôi nhận thấy
có những câu hỏi thường diễn ra tự nhiên với mình như sau :
(B1) Bây giờ sẽ tấn công thế này...nhưng lỡ...thì sao? vậy nên xét.
(B2)Nếu (điều kiện) thuận lợi cho phép ”tấn công kia” không xảy ra thì sao?...(chọn
cáh tấn công khác tránh đi cạm bẫy đã nhận ra hay điều kiện không cho phép vừa
nhận ra)
(B3) Quay lại (B1).......
Cứ thế quá trình luận xét vét hết được các tình huồng xảy đến để cuối cùng cho
ta một kết luận tổng hợp.
Nói chung tôi hơi khó hiểu là 1 số hs rất ngán việc giải và biện luận ptr, bptr
có tham số mong bạn hãy bình thản hơn thì tốt. Thực ra loại bài tập này cần ở bạn
phẩm chất của 1 bác nông dân. Nó ko khó nhưng rắc rối vì những suy luận vụn vặt
kiểu vét cạn, ngày còn hs tôi thường đối diện với nó như thể cần đi qua một con
đường mưa lầy vậy. Còn bạn hãy xuất phát việc ”giải và biện luận” từ thuật giải và
khi nào cái tham số đáng ghét kia ngăn cản tính có lý của giải thuật thì ta sẽ vật nó
ra mà mổ xẻ và xem xét ...vậy thôi!
VD1:
Giải biện luận với m là tham số ptr:
m+ x = 1 +m2x
—————
ptr $ (mĂ 1) = (m2 Ă 1)x
Nếu m2 Ă 1 = 0 $ (mĂ 1)(m+ 1) = 0 $ m = 1 hoặc m = Ă1
m = 1 ptr $ 0x = 0 nhận R: tập nghiệm
m = Ă1 ptr $ 0x = Ă2: vô nghiệm
Nếu m2 Ă 1 6= 0 $ m 6= 1 và -1
ptr $ x = mĂ 1
m2 Ă 1
$ x = 1
m+ 1
Vậy:
+Với m = 1 tập nghiệm ptr là R
+Với m = Ă1 ptr vô nghiệm
+Với m 6= 1 và -1 ptr có nghiệm duy nhất x = 1
m+ 1
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
6Cũng phải nói thêm là khi dùng kỹ năng đặt ẩn số phụ giải phương trình (bptr)
có tham số bạn cần đặt điều kiện cho ẩn số phụ kẻo không cái điều kiện ”tưởng bở”
mà bạn luận ra cho nghiệm của phương trình không xác thực.
VD3:
Tìm tham số m để phương trình:
cos2xĂ 2m:cosx+ 1 = 0 có 2 ngiệm phân biệt x 2 (0;ẳ
2
)
————–
Tai nạn xảy đến là đặt cosx = t rồi thì ptr có ngiệm $ ptr t2Ă 2m:t+ 1 = 0 có
2ngiệm phân biệt (thậm chí 2nghiệm phân biệt 2 (0; ẳ
2
))!
lời giải đúng phải là:
đặt cosx = t 2 (0; 1) khi x 2 (0;ẳ
2
) mà với mỗi t 2 (0; 1) thì cosx = t sẽ sinh ra
duy nhất đúng 1 n0x 2 (0; ẳ
2
)
Vậy nên để ptr đề ra có ngiệm như yêu cầu$ ptr t2 Ă 2m:t+ 1 = 0 có 2ngiệm
phân biệt t 2 (0; 1) đến đây bạn hãy xem lại VD2.
Từ VD3 có thể rút ngay ra một bài học là:
Trong việc xử lý việc có nghiệm (hay luận xét số các nghiệm) một phương trình
có tham số mà ta đặt ẩn số phụ:
(+)đặt điều kiện cho ẩn số phụ theo điều kiện của ấn số gốc, công việc này chính là
tìm miền giá trị của hàm t = p(x) : ẩn phụ trên miền x thỏa điều kiện ẩn số
(+) Muốn xét số nghiệm cần xét cả tính cảm sinh nghiệm x từ nghiệm t của
phương trình ẩn phụ (phép giải ngược).
B. Một số giải pháp chi tiết:
Hãy xem lại bảng(2) các phép toán cơ bản để hiểu ý tưởng hình thành các kỹ
năng cơ bản mà tôi bày ra sau đây
1. Phương trình (bptr) bậc nhất:
Tôi xem trọng loại này khi dạy cho h/s mất căn bản (phần nhiều trong những
đứa trẻ từng ngồi trước tôi ) không phải vì nó dễ mà vì nó báo động được cho chúng
điều chúng đã mất.
1.1,Khái niệm:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
7Là bài toán liên quan tới điều kiện so sánh với các biểu thức hình thành bởi 3phép
toán (+),(-) và (.) với hằng số (các hàm bậc nhất).
1.2,Điều cơ bản cần biết:
(-)sự giải thoát:
(xem bảng 2)
(-)luật lệ:
Nhớ là (+) và (-) thì vô tư nhưng (:) thì cần số chia (mẫu số phân thức) 6= 0
2.Phương trình đa thức bậc cao hơn 1:
Đây là nền tảng cho các thể loại ptr hay bptr có thể giải được sau này
1.1,Khái niệm:
Là bài toán liên quan tới điều kiện so sánh với các biểu thức hình thành bởi 3phép
toán (+),(-) , (.) với hằng số và các hàm lũy thừa bậc tự nhiên(các hàm đa thức).
2.2,Điều cơ bản cần biết:
(-)Sự giải thoát:
Tìm cách phân tích triệt để đa thức về tích các nhân tử bậc nhất và bậc 2 vô nghiệm
(-)Luật lệ:
(+)Cần nắm vững các kiến thức về tam thức bậc 2
(+)Kỹ năng phân tích nhân tử gồm
(kng0)Cách nhẩm nghiệm môt đa thức bậc lớn hơn 2 (mò ra giá trị làm đa thức
triệt tiêu )
(kng1)Định lý Bơzu:
Nếu đa thức P(x) có nghiệm là c (tức là P(c) = 0) thì P(x) có nhân tử (x - c),
(nghĩa là P(x) = (x - c).Q(x) với Q(x): đa thức )
(kng2): 2 Dạng phân tích cơ bản của 1 tam thức bậc 2 gồm phân tích chính tắc
và phân tích nhân tử.
(+)Phương pháp xét dấu bằng bảng và trục đan dấu
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com