Đề tham khảo thi học sinh giỏi môn : toán 12 thời gian : 180 phút

 SÔÛ GD -ÑT VÓNH LONG 	ÑEÀ THAM KHAÛO THI HS GIOÛI
TRÖÔØNG THPT PHAÏM HUØNG	MOÂN : TOAÙN 12
	–—4–—	 THÔØI GIAN : 180 PHUÙT
BAØI I : (2 ÑIEÅM)
Khoâng giaûi phöông trình baäc ba : 	x3 – x + 1 = 0
Haõy tính toång caùc luõy thöøa baäc taùm cuûa ba nghieäm cuûa noù.
	BAØI II : (2 ÑIEÅM)
	Haõy xaùc ñònh haøm soá f : R R sao cho baát ñaúng thöùc sau
 ñuùng vôùi caùc soá thöïc x, y , z baát kyø : 
	f(xy) + f(xz) – f(x).f(yz) 
	BAØI III : (2 ÑIEÅM)
Goïi R vaø r laø baùn kính caùc maët caàu ngoaïi tieáp vaø noäi tieáp hình choùp 2008 giaùc ñeàu.
a) Chöùng minh raèng : 
b) Tính dieän tích xung quanh cuûa hình choùp coù caïnh ñaùy baèng a, khi baát ñaúng thöùc treân xaûy ra daáu baèng.
BAØI IV : (2 ÑIEÅM)
Cho caáp soá coäng goàm 2008 soá haïng vôùi soá haïng ñaàu 
u1 = vaø coâng sai d = . Tính giaù trò cuûa toång : 	
S = 
ôû ñoù toång chöùa taát caû caùc soá haïng öùng vôùi taát caû caùc soá haïng khaùc nhau coù theå ñöôïc ñeå laáy daáu (+) hay (-) tröôùc caùc soá u1, u2, . , u2008.
BAØI V : (2 ÑIEÅM)
Chöùng minh raèng : (sint + cost) 2 (0 t )
Tìm y sao cho : 1 + (0 y )
 -------------------
HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI VAØ ÑAÙP AÙN 
BAØI
HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI
ÑIEÅM
I
Xeùt phöông trình baäc ba : 	x3 – x + 1 = 0	 (1)
Theo ñònh lyù Vieùt ta coù : 	
Töø (1) ta ñöôïc : 	(vôùi i = 1, 2, 3)
1
Nhö vaäy :	 . Töø ñoù suy ra :
+ + = 2 + + ) - () + 6	 (2)
Nhöng : + + = ()2 - 2( ) = 2
Thay vaøo (2) ta ñöôïc : + + = 10
1
II
Cho x = y = z = 0 , thay vaøo baát ñaúûng thöùc ta coù : 
	f2(0) – f(0) + 0 hay 0
	Suy ra 	f(0) = 
	Cho y = z = 0 , coøn x tuøy yù thay vaøo baát ñaúûng thöùc ñaõ cho 
vaø chuù yù raèng 	f(0) = , ta coù :
	 f(0) + f(0) – f(x)f(0) 
Hay f(0) – f(x)f(0) ; - f(x) 	
Töø ñoù : 	f(x) 	(1)
1
Cho x = y = z = 1 , thay vaøo baát ñaúûng thöùc ñaõ cho, ta coù
f(1) – f2(1) hay 0 suy ra f(1) = 
	Cho y = z = 1 , coøn x tuøy yù , chuù yù raèng f(1) = , ta coù : 
	f(x) + f(x) – f(x)f(1) 
 hay f(x) , f(x) 	(2)
	Töø (1) vaø (2)suy ra f(x) = vôùi moïi soá thöïc x. 
	NX : Thöû laïi, ta thaáy ñuùng.
1
III
 a) Ta phaûi xeùt hai tröôøng hôïp tuøy theo taâm O cuûu maët caàu ngoaïi tieáp ôû trong hoaëc ôû ngoaøi hình choùp. Ta coù :
 SH = SO + OH 	(tröôøng hôïp O naèm ôû trong )
	Hoaëc 	 SH = SO - OH 	(tröôøng hôïp O naèm ôû ngoaøi )
1
 b) Dieän tích xung quanh cuûa hình choùp laø :
Sxq = 
1
IV
Ñeå giaøi baøi toaùn ta caàn chöùng minh (baèng pp qui naïp) :
ª Vôùi n = 1 : cos u1 + cos (-u1) = 2 cos u1
	n = 2 : cos(u1+u2) + cos(u1- u2) + cos(-u1+u2) + cos(-u1- u2)
	= 2 cos u1 cosu2 + 2 cos(- u1) cosu2 = 4 cos u1 cosu2
ª G/s baøi toaùn ñuùng vôùi n, khí ñoù : 
	= 2() cos un+1 = 2
1
 cos un+1
	= 
	Trôû laïi ñeà baøi, ta coù : 	. 
 Vì laø caáp soá coäng neân : 
u2007 = u1 + 2006 d = + = 
	Do ñoù : cos u2007 = 0 . Vaäy : S = 0
1
V
a) Ta coù : (1 – sin2t)2 = (1 – 2sintcost)2 0 (1)
hay 1 – 4sint cost + 4 sin2 t cos2 t 0
Maët khaùc : (1 + 2sintcost)2 - 8 sintcost = (1 – 2 sint cost)2 0
theo (1) hay (sint + cost)4 8 sintcost (2)
Do 0 t neân sint , cost 0 
Vaäy töø (2) suy ra : 
Theo BÑT Coâ-si . daáu baèng xaõy ra khi vaø khi : sin2t = 1 , t = 
1
b) Thay tan 2y = ; cot 2y = vaø coty = vaøo BÑT phaûi CM ta ñöôïc :
 2 (1)
Neáu : tan2 y < 1 thì töù (1) : tan2 y (3- tan2 y) 0 (2)
Do : 0 0 vaø töø (2) coù : tan2 y 3 , khoâng ñöôïc
Neáu : tan2 y > 1 thì töø (1) coù : tan2 y (3- tan2 y) 0 , töø ñoù tan2 y 3
 Vaäy vôùi moïi y ta coù : 1 < tan2 y 3 , töùc laø 1 < 
vaø giaù trò cuûa y phaûi tìm laø : y vaø y 
1
	GV : NGUYEÃN TRÍ HUEÄ