Đề thi bồi dưởng học sinh giỏi giải truyền thống 19/4 môn toán đề thi số 1 thời gian làm bài : 150 phút

ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI
 GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4
MÔN TOÁN
ĐỀ THI SỐ 1
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1 : ( 2 đ )
Cho phương trình ( có ẩn số là x )
4x2 + 2 (3- 2m)x +-3m +2 = 0
Chứng tỏ rằng phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m .
Tìm m để có tích của hai nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất .
Câu 2 : ( 2 điểm).
Giải các phương trình và các hệ phương trình :
a)
 	x2 + y2 =2 (xy + 2)
x + y = 6
 b) 
Câu 3 : (2 điểm )
Cho a> c , b> c , c > 0 . Chứng minh :
Cho a> 0 , b> 0 . Chứng minh :
Câu 4: (1 điểm)
Tìm số chính phương có 4 chử số biết rằng khi tăng thêm mỗi chử số một đơn vị thì số mới được tạo thành cũng là một số chính phương .
Câu 5 : ( 1,5 điểm )
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R ), gócC bằng 450, Đường tròn đường kính AB cắt các cạnh AC và BC lần lượt tại M và N .
Chứng minh MN vuông góc với OC .
Chứng minh :
Câu 6 : ( 1,5 điểm).
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn ( O;R) . Điểm M lưu động trên cung nhỏ BC . Từ M kẻ các đường thẳng MH, MK lần lượt vuông góc với AB, AC.
(H thuộc đường thẳng AB , K thuộc đường thẳng AC )
a)Chứng minh 2 tam giác MBC và MHK đồng dạng với nhau .
b) Tìm vị trí của M để độ dài đoạn HK lớn nhất .
ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI
 GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4
MÔN TOÁN
ĐỀ THI SỐ 2
Thời gian làm bài : 150 phút
Câu 1:	( 4 điểm)
a)Định m để hai phương trình
x2 + x + m = 0 và x2 + mx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm chung .
b)Cho a , b , c , là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng phương trình :
b2x2 + ( b2 + c2 –a2) x + c2 = 0 vô nghiệm .
Câu 2: 	(4 điểm )
Giải phương trình và hệ phương trình :
x3 -y3 = 3( x- y)
x + y = -1 
 b) 
Câu 3: 	(4 điểm)
a) Chứng minh 2(a4 + b4) với mọi a , b .
b) Chứng minh với a>b>0 .
Câu 4 : 	( 2 điểm )
Tìm các số nguyên dương có 2 chữ số, biết số đó là bội của tích 2 chữ số của chính số đó .
Câu 5 : 	( 4 điểm ) 
Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn, AB< AD . Tia phân giác của góc BAD cắt BC tại M và cắt DC tại N.Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác NCN 
Chứng minh rằng : DN = BC và CK vuông góc MN .
 Chứng minh rằng BKCD là một tứ giác nội tiếp .
Câu 6 : 	( 2 điểm )
Cho tam giác ABC có góc A = 2 góc B . Chứng minh rằng :
 BC2 = AC2 + AB . AC
ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI
 GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4
MÔN TOÁN
ĐỀ THI SỐ 3
 (Thời gian làm bài : 150 phút . )
 Câu 1 :
Rút gọn biểu thức sau :
Giải phương trình :
Câu 2: 
Chứng minh rằng ( n3 + 17 n ) chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n .
Câu 3 :
 Giả sử x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình, trong đ01 m là tham số. Tìm m để biểu thức |x1 - x2 | đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 4 : 
Cho hình vuông ABCD . Hai điểm I, J lần lượt thuộc hai cạnh BC và CD sao cho góc IAJ = 450 . Đường chéo BD cắt AI và AJ theo tương ứng tại H và K . Tính tỉ số 
Câu 5 :
 Cho 2 đường tròn (O1;R1) ; (O2;R2) có R1>R2 tiếp xúc ngoài với nhau tại A . Đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O1;R1) tại M và cắt đường tròn (O2;R2) tại N ( Các đểm M, N khác A )
Xác định vị trí của đường thẳng d để đoạn thẳng MN lớn nhất .
Tìm tập hợp các trung điểm I của các đoạn thẳng MN khi đường thẳng MN khi đường thẳng d quay quanh điểm A
ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI
 GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4
MÔN TOÁN
ĐỀ THI SỐ 4
(Thời gian làm bài : 150 phút . )
Câu 1:
Tìm chữ số tận cùng của số (19 6 )2005 ..
Tìm tất cả các số tụ nhiên n sao cho n2 -14n -256 là số chính phương
Câu 2:
 Giải hệ phương trình : 
Câu 3 : 
 Tìm các số nguyên a,b, c thoả mãn 
 a2 + b2 c2 +2 < ab +3b +2c
Câu 4 :
 Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a (a > 0 ) và một điểm M chuyển động trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Chứng minh rằng nếu M thuộc cung nhỏ AB thì MA + MB = MC . 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA + MB + MC
Câu 5 :
 Cho hình vuông ABCD có AB = 14 cm .
Trong hình vuông có đánh dấu 76 điểm phân biệt . Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn có bán kính 2 cm chứa trong nó ít nhất 4 điểm trong các số điểm trên .
ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI
 GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4
MÔN TOÁN
ĐỀ THI SỐ 5
 ( Thời gian làm bài : 150 phút )
Câu 1 : Giải hệ phương trình
Câu 2 :
 Giải phương trình
Câu 3 :
 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 
 x2 + 17y2 +34xy + 51 ( x + y ) = 1740
Câu 4 
Cho 2 đường tròn (O) , (O’) nằm ngoài nhau có tâm tương ứng là O và O’ . Một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn tiếp xúc với (O) tại A và (O’) tại B .
Một tiếp tuyến chung trong của 2 đường tròn cắt AB tại I , tiếp xúc với (O) tại C và (O’) tại D . Biết rằng C nằm giữa I và D .
a) hai đường thẳng OC , O’B cắt nhau tại M . Chứng minh rằng OM > O’M.
b) Kí hiệu (S) là đường tròn điqua A,C, B và (S’) là đường tròn đi qua A,D,B . Đường thẳng CD cắt (S) tại E khác C và cắt ( S’) tại F khác D . Chứng minh AF vuông góc với BE .
Câu 5 
Giả sử x,y, z là các số dương thay đổi và thoả mãn điều kiện 
 xy2z2 + x2z + y = 3 z2
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI
 GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4
MÔN TOÁN
ĐỀ THI SỐ 6
 ( Thời gian làm bài : 150 phút )
Câu 1: 
 Giải phương trình :
Câu 2 : 
 Giải hệ phương trình :
 x3 + y3 –xy2 = 1
 4x4 + y4 = 4x + y
Câu 3 :
Giả sử x ,y là những số không âm thay đổi thoả mãn điều kiện x2 + y2 =1
 a) Chứng minh rằng 1 ≤ x+ y ≤ .
 b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 
Câu 4 :
 Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm trong tam giác ABC. 
Giả sử góc BPC = 135 0 . Chưng minh rằng 2PB2 + PC2 = PA2 .
Các đường thẳng AP và CP cắt các cạnh BC và BA tương ứng tại các điểm M và N . Gọi Q là điểm đối xứng của với B qua trung điểm của đoạn MN
Chứng minh khi P thay đổi trong tam giác ABC, đường thẳng PQ lu ôn đi qua D .
Câu 5 :
Cho đa giác đều ( H) có 14 đỉnh . Chứng minh rằng trong 6 đỉnh bất kỳ của (H) luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của một hình thang .
 Có bao nhiêu phân số tối giản lớn hơn 1 ( m ,n là các số nguyên dương ) thoả mãn m.n = 13860 .
ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI
 GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4
MÔN TOÁN
ĐỀ THI SỐ 7
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1 ( 3 điểm )
Thực hiện phép tính :
Cho biểu thức 
Với x≥ 0 vàx ≠ 4
Rút gọn biêủ thức A và tìm giá trị của x để A = 
Giải phương trình và hệ phương trình sau :
a) x2 -9x + 2 = 0
b) 
Bài 2 (3 điểm ) 
1) Tìm các giá trị của m để hàm số y = (2m +1 ) x +3 nghịch biến và đồ thị của nó đi qua điểm( 1; 2)
2) Tìm m để hệ phương trình 
 Có nghiệm duy nhất .
 Cho phương trình x2 –(2m + 1 ) x +m2 + m – 6 = 0
Tìm các nghiệm của phương trình theo m .
 Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm đều âm .
Bài 3 : ( 3 điểm ) 
Cho M là 1 điểm bất kỳ trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R ( M không trùng với A, B ). Vẽ các tiếp tuyến Ax , By , Mz của nửa đường tròn đó . Đường thẳng AM cắt By tại C và đường thẳng BM cắt tại D . Chứng minh :
Tứ giác AOMN nội tiếp được trong đường tròn .
Tam giác NOP là tam giác vuông .
Các điểm N va P lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AD và BC .
Bài 4 ( 1 điểm )
Cho tam giác ABC vuông tại A có AD là đường phân giác của góc A . Cho biết AB = c , AC = bvà AD = d . 
Chứng minh : 
ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI
 GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4
MÔN TOÁN
ĐỀ THI SỐ 8
( Thời gian làm bài : 120 phút )
Bài 1 . (1,5 điểm ). Cho biểu thức : 
Tìm điều kiện đối với a,b để biểu thức A được xác định .
Rút gọn biểu thức A .
Bài 2 . (2 điểm )
Giải hệ phương trình: 
Giải bất phương trình :
 x +|x -1| > 5
Bài 3 . (1,5 điểm) . Chưng minh rằng , nếu phương trình :
 x2 + 2mx + n = 0 (1)
có nghiệm, thì phương trình :
 (2)
Cũng có nghiệm . (m,n,k là các tham số: k ≠ 0 )
Bài 4 . (1,5 điểm ) Cho hàm số y ax + b có đồ thị (D) và hàm số y = k x2 có đồ thị là (p) .
Tìm a , b biết rằng (D ) đi qua A (-1 ;3) và B ( 2 ; 0 ) 
Tìm k ≠ 0 sao cho (p) tiếp xúc với đường thẳng (D) vừa tìm được . Viết phương trình của ( P) .
Bài 5 . ( 3,5 điểm ).
Cho tam giác ABC không cân có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O . Đường cao AI và BE cắt nhau tại H . 
Chứng minh : góc CHI = góc CBA .
Chứng minh : EI C O 
Co góc ACB = 600. Chứng minh : CH = CO .
ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI
 GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4
MÔN TOÁN
ĐỀ THI SỐ 9
( Thời gian làm bài : 150 phút )
Câu 1.
 Giải hệ phương trình :
 x2 –xy + y2 = 19 
 x4 + x2y2 + y4 = 931
Câu 2 .
 Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm :
Câu 3.
 Chứng minh rằng :
Câu 4 . 
1) Chứng minh rằng số n =(186)2004 có tính chất là tồn tại 2 số nguyên dương p và q thoả mãn điều kiện : 
 0< p <q <n 
 (p + (p+1) + (p+2) +. +q ) chia hết cho n 
2) Số n = ( 166)2004 có tính chất nói trên hay không ? 
Câu 5 .
 Cho tam giác ABC có góc ABC = 400 và điểm P trong tam giác ABC sao cho góc PAC = 100 , góc PCA = 200 , góc PAP = 300 . Giả sử Q là điểm đối xứng với điểm P qua đường trung trực của đoạn AB . 
Tam giác CPQ là tam giác gì ?
Tính góc CPB .
ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI
 GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4
MÔN TOÁN
ĐỀ THI SỐ 1O
( Thời gian làm bài : 150 phút )
Câu 1 .
 Cho x,y,z là 3 số dương thay đổi luôn thoả mãn điều kiện : x+ y+ z = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Câu 2 .Tìm tất cả các bộ ba số dương ( x, y, z ) thoả mãn hệ phương trình :
 2x2004 = y6 + z6
 2y2004 = z6 + x6
 2z2004 = x6 + y6
Câu 3 Giải phương trình 
Câu 4 .
Mỗi bộ ba số nguyên dương ( x,y,z ) thoả mãn phương trình :
 x2 + y2 + z2 = 3 xyz 
được gọi là một nghiệm nguyên dương của phương trình này .
Hãy chỉ ra 4 nghiệm nguyên dương khác của phương trình đã cho .
Chứng minh rằng phương trình đã cho có vô số nghiệm nguyên dương.
Câu 5 .
 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (C ) . Một đường thẳng () thay đổi nhưng luôn đi qua A cắt 2 tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (C ) tương ứng tại M và N . Giả sử () cắt lại đường tròn ( C ) tại E ( E ≠ A ) . MC cắt BN tại F . Chứng minh rằng : 
Tam giác CAN đồng dạng với tam giác MBA. Tam giác MBC đồng dạng với tam giác BCN . 
Tứ giác BMEF là tứ giác nội tiếp . 
 Đường thẳng EF luôn đ qua một điểm cố định ( Khi () thay đổi nhung luôn đi qua A ) 
ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI
 GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4
MÔN TOÁN
ĐỀ THI SỐ 11
( Thời gian làm bài : 150 phút )
Bài 1 ( 2 đ )
Rút gọn biểu thức sau :
 Với m ≥ 0 , n ≥ 0 và m ≠ n 
2) Với a> 0 , b > 0 
Bài 2 ( 1đ) 
Giải phương trình :
Bài 3 ( 3 đ )
Cho các đường thẳng : ( d1) : y = 2x+ 2 ; (d2 ) : y = - x + 2 ; 
( d3) :y =mx ( m là tham số )
 1) Tìm toạ độ các giao điểm A, B , C theo thứ tự của ( d1) với ( d2) ; ( d1) 
 với trục hoành và ( d2) với trục hoành .
2Tìm tất cả các giá trị của m sao cho ( d3) cắt cả 2 đường thẳng ( d1), ( d2 ) .
 Tìm tấ cả các giá trị của m sao cho ( d3 ) cắt cả AB và AC .
Bài 4 ( 3 đ ) 
 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn ( O ) và D là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A . trên tia AD ta lấy điểm E sao cho AE = DC . 
Chứng minh tam giác ABE = tam giác CBD2
 Xác định vị trí của D sao cho tổng DA + DB lớn nhất 
 Bài 5 ( 1 đ ) 
Tìm x , y dương thoả mản hệ 
ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI
 GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4
MÔN TOÁN
ĐỀ THI SỐ 12
( Thời gian làm bài : 150 phút )
 Bài 1: ( 2 đ) 
Chứng minh rằng với mọi x thỏa mãn 1 ≤ x ≤ 5 , ta có :
Giải phương trình :
Bài 2 ( 2 đ) 
 Cho x, y,z là các số dương thoả mãn
 xy + yz + xz = 1
Chứng minh rằng : 1 + x2 = (x+ y) ( x +z)
Tính giá trị biểu thức :
Bài 3( 3 đ ) Cho hai đường tròn (O ) và (O’) cắt nhau tại A và B sao cho hai tâm O và O’ nằm về hai phía khác nhau đối đường AB .Đường thẳng (d) quay quanh B , cắt các đường tròn (O) lần lượt tại C và D ( C khácA,B và D khác A,B)
Chứng minh rằng số đo các góc ACD , ADC và CAD không đổi . 
Xác định vị trí của (d) sao cho đoạn thẳng CD có độ dài lớn nhất .
Các điểm M ,N ần lượt chạy trên (O ) , ngược chiều nhau sao cho các góc MOA, NO’A bằng nhau . Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định .
Bài 4 ( 2 đ) 
Tìm a , b để hệ sau có nghiệm duy nhất : 
 xyz +z = a 
 xy z2 + z = b 
 x2 + y2 + z2 = 4 
Bài 5 ( 1 đ) Cho ba số a , b , c thoả mãn : 
 0 ≤ a ≤ 2 ; 0 ≤ b ≤ 2 0 ≤ c ≤ 2 và a + b + c = 3 . 
Chứng minh rằng : a3 + b3 + c3 ≤ 9 
ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI
 GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4
MÔN TOÁN
ĐỀ THI SỐ 13
( Thời gian làm bài : 150 phút )
Bài 1 ( 2 đ )
Cho biểu thức :
Rút gọn P
Tìm x để 
Bài 2 ( 2 đ )
Cho phương trình:
x2 – ( m – 2) x – m2 + 3m -4 = 0 ( m là tham số )
Chứng minh rằng phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giátrị của m.
 Tìm m để tỉ số giữa hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng 2.
Bài 3 ( 2 đ ) 
Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình :
 2kx + (k – 1) y = 2 ( k là tham số )
1)Với giá trị nào của k thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = x
 Khi đó hãy tính góc tạo bởi đường thẳng (d) với tia Ox .
2)Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất .
Bài 4 ( 4 đ )
Cho góc vuông xOy và 2 điểm A , B tên cạnh Ox ( A nằm giữa O và B ) , điểm M bất kỳ trên cạnh Oy . Đường tròn ( T ) đường kính AB cắt tia MA , MB lần lượt tại điểm thứ hai là F .
Chứng minh 4 điểm O,A ,E ,M nằm trên một đường tròn, xác định tâm của đường tròn đó .
Tứ giác OCFM là hình gì ? Tại sao ?
 Chứng minh hệ thức : OE.OF +BE .BM = OB2 
 Xác định vị trí của điểm M để tứ giác OCFM là hình bình hành , tìm mối quan hệ giữa OA và AB để tứ giác là hình thoi .