Đề thi chọn đội dự tuyển học sinh giỏi môn toán năm học 2013 – 2014 trường THPT chuyên Thăng Long – Đà Lạt

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG
 TRƯỜNG THPT CHUYÊN THĂNG LONG – ĐÀ LẠT
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI DỰ TUYỂN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN
NĂM HỌC 2013 – 2014
Ngày thi: 30 / 8 /2013
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (2đ): Giải hệ phương trình:
xy-x-y=14x3-12x2+9x=-y3+6y+7
Câu 2 (3đ): Cho tam giác nhọn ABC, trên cạnh BC lấy các điểm E, F sao cho các góc ∡BAE=∡CAF, gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng AB và AC, kéo dài AE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Chứng minh rằng tứ giác AMDN và tam giác ABC có diện tích bằng nhau.
Câu 3 (4đ): Tìm tất cả các đa thức f(x) có hệ số thực thỏa mãn hệ thức
x+14x2+2x+1f2x-1=x-14x2-2x+1f2x, ∀x ϵ R
Câu 4 (3đ): Cho đường tròn (O) đườ ng kính AB. P là một điểm di động trên tiếp tuyến tại B của (O) sao cho P không trùng với B, đường thẳng PA cắt (O) tại điểm thứ hai C. Gọi D là điểm đối xứng với C qua O. Đường thằng PD cắt (O) tại điểm thứ hai E. Chứng minh rằng các đường thẳng AE, BC, PO đồng quy.
Câu 5 (4đ): Cho dãy số un xác định bởi
u1=2012un+1=un2+20132un, ∀n≥1
Chứng minh rằng dãy số un có giới hạn và tính giới hạn đó.
Câu 6 (4đ): Tìm tất cả hàm số f:R⟶R sao cho:
f(x2+xy+fy=[fx2+xfy+y, ∀x,y ϵR
------------------------- Hết -------------------------