Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2008 - 2009 môn thi: toán, khối 12 thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm 	 ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI
 Tổ Toán – Tin	 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2008 - 2009
	 Môn thi: Toán, khối 12 
 	 Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Bài 1(3.0 điểm). 
Cho 
Giải hệ phương trình
Bài 2(3.0 điểm). 
Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + + a15x15 
1) Tính a0 + a1 + a2 + a3 + + a15 
2) Tìm hệ số a10?
Bài 3(3.0 điểm). 
Cho dãy số (un) xác định bởi: . 
Tính u2009.
Bài 4(3.0 điểm). 
Chứng minh rằng với mọi x, y ta có: 
Bài 5(3.0 điểm). 
1) Xác định đa thức P(x) thoả mãn
a) 
b) .
2) Cho hai đa thức mà . Chứng minh rằng nếu vô nghiệm thì cũng vô nghiệm.
Bài 6(3.0 điểm). 
Cho tam giác ABC, M là điểm tùy ý ở miền trong của tam giác. Các đường 
thẳng AM, BM, CM lần lượt cắt BC, CA, AB tại A’, B’, C’. 
Chứng minh rằng: 
Bài 7(2.0 điểm). 
Cho hình vuông ABCD cạnh a, S là một điểm không thuộc mặt phẳng (ABCD) 
sao cho tam giác SAB đều. Cho SC = SD = . Gọi H, K lần lượt là trung 
điểm của SA, SB. M là một điểm trên cạnh AD. Mặt phẳng (HKM) cắt BC tại N.
Chứng minh tứ giác HKNM là hình thang cân. Đặt AM = x . Tính diện
 tích hình thang HKNM theo a và x. 
-----------------------------------------------Hết ---------------------------------------------------------
Họ và tên thí sinh:	 	Số báo danh:
Chữ ký giám thị 1:	Chữ ký giám thị 2:
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI
CẤP TỈNH NĂM HỌC 2008 – 2009
BÀI
NỘI DUNG
ĐIỂM
1
Xét phương trình (1): 
0.5
Xét hàm số có 
0.5
Suy ra hàm số f(t) luôn luôn đồng biến trên 
0.5
nên 
0.5
Thay vào (2): 
1.0
2
1) Ta có P(1) = a0 + a1 + a2 + a3 + + a15 
0.5
 = (1 + 1 + 1 + 1)5 = 45 
0.5
2) Ta có P(x) = [(1 + x)(1 + x2)]5
0.5
 = 
0.5
Hệ số a10 = 
1.0
3
Ta có: 
0.5
Từ giả thiết: 
0.5
0.5
Dự đoán 
0.5
Chứng minh công thức bằng quy nạp
0.5
Do đó 
0.5
4
Gọi ta có a + b = 1
0.5
BĐT viết lại: 
0.25
0.25
0.25
 Xét hàm số f(t) = eat – aet + a - 1
0.25
 f’(t) = aeat – aet = a(eat – et); f’(t) = 0 t = 0
0.25
Hàm f(t) đồng biến trong khoảng 
 nghịch biến trong khoảng 
0.25
f(0) = 0 
 Hay eat – aet + a - 1
0.5
Thay t = x – y ta có điều phải chứng minh
0.5
5
1) a)
0.25
+ thoả mãn.
0.25
+. Thay vào (1) được .
0.25
+. Thay vào (1) không có thoả mãn.
0.25
+. Thay vào (1) không có thoả mãn. Vậy .
0.25
b. Thay vào đồng nhất thức, ta thấylà các nghiệm của. 
0.25
Suy ra.
0.25
Thay vào đồng nhất thức, ta có. 
0.25
Ta có . Vậy .
0.25
2. Xét , ta thấy liên tục trên . Do vô nghiệm nên 
0,25
 hoặc .
0,25
Ta có 
Luôn âm hoặc luôn dương. Suy ra điều phải chứng minh
0,25
6
Vẽ các đường thẳng AH, MK vuông với BC tại H và K.
Ta có: 
Tương tự: 
0.5
0.5
0.5
0.5
HV 0.5
0.5
7
Ta có HK // MN suy ra HKNM là hình thang
Hai tam giác SAD và SBC bằng nhau
Nên MH = KN suy ra HKNM là hình thang cân
Gọi S là diện tích hình thang KHNM 
 P là hình chiếu của H lên MN
Ta có 
HK = 
MN = a
HP = 
 (góc A bằng 1200)
Vậy S = 
0.5
HV 0.5
0.5
0.5