Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT năm học 2009 - 2010

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN Kè THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009 - 2010
Mụn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phỳt
Ngày thi: 04/11/2009
Cõu 1. (4,0 điểm)
Cho dóy số  np là dóy tất cả cỏc số nguyờn tố thoả món 1 2p  và
*
1, .n np p n   Đặt 1 2 ... .n nS p p p    Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiờn
1n  luụn tồn tại số tự nhiờn m sao cho 2 1.n nS m S  
Cõu 2. (4,0 điểm)
Cho ba số thực dương thay đổi ,x y và z thoả món 1.xyz  Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của
biểu thức 3 3 3 3 3 3 6( ).P x y y z z x x y z     
Cõu 3. (4,0 điểm)
Tỡm tất cả cỏc hàm số :f   sao cho ( ( ) ( )) 2 ( ) , , .f xf y f x f x xy x y    
Cõu 4. (4,0 điểm)
Cho hỡnh thang ABCD cú AB khụng song song với CD . Đường trũn 1( )O đi qua
hai điểm ,A B và tiếp xỳc với đường thẳng CD tại M , đường trũn 2( )O đi qua hai
điểm ,C D và tiếp xỳc với đường thẳng AB tại N . Hai đường trũn 1( )O và 2( )O cắt
nhau tại E và F . Gọi I là trung điểm MN . Chứng minh rằng ba điểm ,E F và I
thẳng hàng.
Cõu 5. (4,0 điểm)
Cho hai số tự nhiờn k và n thoả món 1 .k n  Lấy tất cả cỏc tập con cú k phần tử
của tập hợp  1;2;...; .n Mỗi tập con này đều cú phần tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất.
Gọi a là trung bỡnh cộng của cỏc phần tử nhỏ nhất và b là trung bỡnh cộng của cỏc
phần tử lớn nhất. Chứng minh rằng .b ka
----------Hết----------
Họ và tờn: ..........................................................................................................Số bỏo danh:.......................
Đề chính thức